Овал (проективная плоскость)

К определению овала: e: внешняя (проходная) линия, t: касательная, s: секущая

В проективной геометрии овальная форма точка установлена в плоскости, которая определяется инцидентности свойств. Стандартные примеры - невырожденные коники. Однако коника определяется только в папповой плоскости, тогда как овал может существовать в проективной плоскости любого типа. В литературе есть много критериев, которые подразумевают, что овал является коническим, но есть много примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в папповых плоскостях, которые не являются кониками.

Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут быть определены для удовлетворения других критериев, например, в дифференциальной геометрии с помощью условий дифференцируемости в реальной плоскости.

Более высокомерным аналогом овала является овоид в проективном пространстве.

Обобщением концепции овала является абстрактный овал, который представляет собой структуру, не обязательно вложенную в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в какой проективной плоскости.

• 1 Определение овала
• 2 Примеры
  • 2.1 Конические секции
  • 2.2 Овалы, не являющиеся конусами
• 3 Критерии того, что овал является коническим
• 4 Дальнейшие результаты об овалах в конечных плоскостях
  • 4.1 Дезарговский случай: PG (2,2 ^ч)
  • 4.2 Известные гиперовали в PG (2,2 ^ч)
  • 4.3. Гиперовали в PG (2, q), q четное, q ≤ 64
    • 4.3.1 PG (2,16)
    • 4.3.2 PG (2,32)
    • 4.3.3 PG (2,64)
• 5 абстрактных овалов
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 ссылки
• 9 Внешние ссылки

• На проективной плоскости множество точек Ω называется овалом, если:

1. Любая прямая l пересекает Ω не более чем в двух точках, и
2. Для любой точки P ∈ Ω существует ровно одна касательная t, проходящая через P, т. Е. T ∩ Ω = { P }.

Когда | l ∩ Ω | = 0 прямая l является внешней линией (или проходной), если | l ∩ Ω | = 1 касательные и если | l ∩ Ω | = 2 линия является секущей.

Для конечных плоскостей (т.е. множество точек конечно) у нас есть более удобная характеристика:

• Для конечной проективной плоскости порядка n (т. Е. Любая прямая содержит n + 1 точку) множество точек Ω является овалом тогда и только тогда, когда | Ω | = П + 1, и никакие три точки не коллинеарны (на одной линии).

Набор точек на аффинной плоскости, удовлетворяющий приведенному выше определению, называется аффинным овалом.

Аффинный овал всегда является проективным овалом в проективном замыкании (добавление линии на бесконечности) лежащей в основе аффинной плоскости.

Овал также можно рассматривать как особое квадратичное множество.

Конические секции

проективная коника в неоднородных координатах: парабола плюс бесконечно удаленная точка оси проективная коника в неоднородных координатах: гипербола плюс бесконечно удаленные точки асимптот

На любой папповой проективной плоскости существуют невырожденные проективные конические сечения, и любое невырожденное проективное коническое сечение является овалом. Это утверждение можно проверить простым вычислением для любой из коник (например, параболы или гиперболы ).

Невырожденные коники - это овалы со специальными свойствами:

• Справедливы теорема Паскаля и ее различные вырождения.
• Есть много проекций, которые оставляют конический инвариант.

Овалы, не являющиеся конусами

в реальном самолете

1. Если плавно склеить половину круга и половину эллипса, получится неконический овал.
2. Если взять неоднородное представление конического овала в виде параболы плюс бесконечно удаленной точки и заменить выражение x ² на x ⁴, получится овал, который не является коникой.
3. Если взять неоднородное представление конического овала в виде гиперболы плюс две бесконечно удаленные точки и заменить выражение 1/Икс от 1/х ³получается овал, не являющийся конусом.
4. Неявная кривая x ⁴ + y ⁴ = 1 - неконический овал.

в конечной плоскости четного порядка

1. В конечной папповой плоскости четного порядка невырожденная коника имеет ядро (единственную точку, через которую проходит каждая касательная), которое можно поменять местами с любой точкой коники, чтобы получить овал, который не является коникой.
2. Для поля K = GF (2 ^m) с 2 ^m элементами положим

${\ Displaystyle \ Omega = \ {(х, у) \ в К ^ {2} \; | у = х ^ {2 ^ {к}} \; \} \; \ чашка \; \ {(\ infty) \}}$

Для к ∈ {2,..., т - 1} и к и т взаимно просты, то множество Ω представляет собой овал, который не является коническая.

Дополнительные конечные примеры можно найти здесь:

Чтобы овал был коническим, овал и / или плоскость должны удовлетворять дополнительным условиям. Вот некоторые результаты:

1. Овал в произвольной проективной плоскости, удовлетворяющий условию инцидентности теоремы Паскаля или его 5-точечное вырождение, является невырожденной коникой.
2. Если Ω - овал в папповой проективной плоскости и группа проективностей, оставляющих Ω инвариантной, 3-транзитивна, т.е. для 2 троек A 1, A 2, A 3  ; В 1, В 2, В 3 точек существует проективность π с π ( я) = B I, I = 1,2,3. В конечном случае достаточно 2-транзитивности.
3. Овал Ω в папповой проективной плоскости характеристики ≠ 2 является коникой тогда и только тогда, когда для любой точки P касательной существует инволютивная перспективность (симметрия) с центром P, которая оставляет Ω инвариантным.
4. Если Ω - овал в конечной дезарговской (папповой) проективной плоскости нечетного порядка PG (2, q), то Ω - коника ( теорема Сегре, ( Segre 1955)). Это означает, что после возможной смены координат каждый овал PG (2, q) с нечетным q имеет параметризацию:

${\ displaystyle \ {(t, t ^ {2}, 1) \ mid t \ in GF (q) \} \ cup \ {(0,1,0) \}.}$

Для топологических овалов выполняются следующие простые критерии:

5. Любой замкнутый овал комплексной проективной плоскости является коникой.

Овал в конечной проективной плоскости порядка q - это ( q + 1, 2) - дуга, другими словами, набор из q + 1 точек, без трех коллинеарных точек. Овалов в дезарговой (pappian) проективной плоскости PG (2, д) для д нечетное являются лишь несингулярные коники. Однако овалы в PG (2, q) для q даже еще не классифицированы.

В произвольной конечной проективной плоскости нечетного порядка q не существует множеств с числом точек больше, чем q + 1, три из которых не являются коллинеарными, как впервые указал Боз в статье 1947 года о приложениях такого рода математики к статистической статистике. дизайн экспериментов. Кроме того, по теореме Квиста через любую точку не на овале проходят либо ноль, либо две касательные к этому овалу.

Гиперовал (4 красные точки) в 7-точечной плоскости Фано.

Когда q четно, ситуация совершенно иная.

В этом случае наборы из q + 2 точек, никакие три из которых не коллинеарны, могут существовать в конечной проективной плоскости порядка q, и они называются гиперовалами ; это максимальные дуги степени 2.

Для данного овала существует уникальная касательная через каждую точку, и если q - даже теорема Квиста, ( Qvist (1952)) показывает, что все эти касательные совпадают в точке P вне овала. Добавление этой точки (называемой ядром овала или иногда узлом) к овалу дает гиперовал. И наоборот, удаление любой точки из гиперовала немедленно дает овал.

Поскольку все овалы в случае четного порядка содержатся в гиперовалах, описание (известных) гиперовалов неявно дает все (известные) овалы. Овалы, полученные удалением точки из гиперовала, проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда удаленные точки находятся на одной орбите группы автоморфизмов гиперовала. Есть только три небольших примера (на дезарговых плоскостях), где группа автоморфизмов гиперовала транзитивна в своих точках (см. ( Korchmáros 1978)), так что, как правило, существуют разные типы овалов, содержащихся в одном гиперовале.

Дезарговский случай: PG (2,2 ^ч)

Это наиболее изученный случай, и поэтому об этих гиперовалах известно больше всего.

Каждая неособая коника на проективной плоскости вместе со своим ядром образует гиперовал. Их можно назвать гиперкониками, но более традиционный термин - обычные гиперовалы. Для каждого из этих наборов существует такая система координат, что набор имеет следующий вид:

${\ displaystyle \ {(t, t ^ {2}, 1) \ mid t \ in GF (q) \} \ cup \ {(0,1,0) \} \ cup \ {(1,0,0) \}.}$

Однако многие другие типы гиперовалей PG (2,  q) могут быть найдены, если q  gt; 8. Гиперовали PG (2,  q) для q даже были классифицированы только для q  lt;64.

В PG (2,2 ^h), hgt; 0, гиперовал содержит не менее четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой. Таким образом, по основной теореме проективной геометрии мы всегда можем считать, что точки с проективными координатами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и (1,1,1) содержатся в любом гиперовале. Остальные точки гиперовала (когда hgt; 1) будут иметь вид (t, f (t), 1), где t пробегает значения конечного поля GF (2 ^h), а f - функция на этом поле, которая представляет собой перестановку и может быть однозначно выражен как полином степени не выше 2 ^h - 2, т. е. это полином перестановки. Обратите внимание, что f (0) = 0 и f (1) = 1 вызваны предположением о включении указанных точек. Другие ограничения на f вызваны условием отсутствия трех точек коллинеарности. Е, которая производит гиперовал таким образом, называется о-многочленом. В следующей таблице перечислены все известные гиперовалы (по состоянию на 2011 г.) PG (2,2 ^h), указав o-полином и любые ограничения на значение h, которые необходимы для того, чтобы отображаемая функция была o-полиномом. Обратите внимание, что все показатели должны быть взяты по модулю (2 ^ч - 1).

Известные гиперовалы в PG (2,2 ^ч)

Имя	O-полином	Ограничение поля	Справка
Гиперконический	f (t) = t 2	Никто	Классический
Перевод	${\ Displaystyle е (т) = т ^ {2 ^ {я}}}$    (i, h) = 1	Никто	( Сегре, 1962 г.)
Сегре	f (t) = t 6	ч нечетный	( Сегре 1962); ( Сегре и Барточчи, 1971)
Глинн I	f (t) = t 3σ + 4 (см. ниже)	ч нечетный	( Глинн 1983)
Глинн II	f (t) = t σ + γ (см. ниже)	ч нечетный	( Глинн 1983)
Пэйн	f (t) = t 1/6 + t 1/2 + t 5/6	ч нечетный	( Пейн 1985)
Cherowitzo	f (t) = t σ + t σ + 2 + t 3σ + 4.	ч нечетный	( Cherowitzo 1986) ; ( Cherowitzo 1998) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFCherowitzo1986 ( справка )
Субиако	см. а) ниже	Никто	( Cherowitzo et al. 1996)
Аделаида	см. б) ниже	ч даже	( Черовицо, О'Киф и Пенттила, 2003)
Пенттила-О'Киф	см. в) ниже	в = 5	( О'Киф и Пенттила, 1992)
где. ${\ Displaystyle \ гамма ^ {4} \ эквив \ сигма ^ {2} \ эквив 2 ({\ bmod {(}} 2 ^ {ч} -1))}$

^a) o-многочлен Субиако определяется выражением: всякий раз, где tr - функция абсолютного следа GF (2 ^h). Этот o-полином порождает единственный гиперовал, если и два неэквивалентных гиперовала, если. ${\ displaystyle f (t) = {{d ^ {2} t ^ {4} + d ^ {2} (1 + d + d ^ {2}) t ^ {3} + d ^ {2} (1 + d + d ^ {2}) t ^ {2} + d ^ {2} t} \ over {t ^ {4} + d ^ {2} t ^ {2} +1}} + t ^ {1 / 2},}$${\ displaystyle tr (1 / d) = 1 {\ hbox {and}} d \ not \ in GF (4) {\ hbox {if}} h \ Equ 2 ({\ bmod {4}})}$${\ Displaystyle ч \ не \ эквив 2 ({\ bmod {4}})}$${\ Displaystyle ч \ эквив 2 ({\ bmod {4}}), чgt; 2}$

^б) Чтобы описать гиперовалы Аделаиды, мы начнем с немного более общей постановки. Пусть F = GF (q) и K = GF (q ²). Пусть - элемент нормы 1, отличный от 1, т.е. b ^{q + 1} = 1,. Рассмотрим многочлен, при, ${\ displaystyle b \ in K}$${\ displaystyle b \ neq 1}$${\ displaystyle t \ in F}$

f (t) = ( tr (b)) ⁻¹tr (b ^m) (t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹tr ((bt + b ^q) ^m) (t + tr (b) t ^½ + 1) ^{1 − m} + t ^½,

где tr (x) = tr K / F (x) = x + x ^q. Когда q = 2 ^h, с четным h и m = ± (q - 1) / 3, указанная выше f (t) является o-полиномом для гиперовала Аделаиды.

^c) О-полином Пенттила-О'Киф определяется по формуле:

f (t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰) + η ⁶ (t ¹² + т ²⁴),

где η - первообразный корень GF (32), для которого η ⁵ = η ² + 1.

Гиперовали в PG (2, q), q четное, q ≤ 64

Поскольку все гиперовали в дезарговых плоскостях порядков 2, 4 и 8 являются гиперкониками, мы будем исследовать только плоскости порядков 16, 32 и 64.

PG (2,16)

В ( Lunelli amp; Sce 1958) приведены подробности компьютерного поиска полных дуг в плоскостях малого порядка, выполненного по предложению Б. Сегре. В PG (2,16) они обнаружили ряд гиперовалов, которые не были гиперкониками. В 1975 г. М. Холл-младший ( Холл, 1975) показал, также со значительной помощью компьютера, что существует только два класса проективно неэквивалентных гиперовалей в этой плоскости: гиперконики и гиперовали, найденные Лунелли и Сцэ. Из 2040 o-полиномов, которые дают гиперовал Лунелли-Сче, мы отображаем только один:

f (x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ²,

где η - примитивный элемент GF (16), такой, что η ⁴ = η + 1.

В своей статье 1975 года Холл описал ряд коллинеаций плоскости, которые стабилизировали гипервал Лунелли-Шче, но не показали, что они порождают полную группу автоморфизмов этого гиперовала. ( Payne amp; Conklin 1978), используя свойства родственного обобщенного четырехугольника, показали, что группа автоморфизмов не может быть больше группы, данной Холлом. ( Korchmáros 1978) независимо друг от друга дал конструктивное доказательство этого результата, а также показал, что в дезарговых плоскостях гипервал Лунелли-Сче является единственным нерегулярным гипервалом (негиперконическим), допускающим группу транзитивных автоморфизмов (и что единственные гиперконики, допускающие такую ​​группу - порядки 2 и 4).

( O'Keefe amp; Penttila 1991) опровергли результат классификации Холла без использования компьютера. Их аргумент состоит в нахождении верхней границы числа o-полиномов, определенных над GF (16), а затем в исследовании возможных групп автоморфизмов гиперовалов в этой плоскости, показывающем, что если на этой плоскости существовал гипервал, отличный от известных, тогда будет превышена верхняя граница. ( Brown amp; Cherowitzo 1991) предоставляет теоретико-групповую конструкцию гиперовала Лунелли-Шче как объединение орбит группы, порожденной элициями PGU (3,4), рассматриваемой как подгруппа PGL (3,16). В эту статью также включено обсуждение некоторых замечательных свойств, касающихся пересечений гиперовалов Лунелли-Сче и гиперконик. В ( Cherowitzo et al. 1996) показано, что гиперовал Лунелли-Сче является первым нетривиальным членом семейства Субиако (см. Также ( Brown amp; Cherowitzo 1991)). В ( Cherowitzo, O'Keefe amp; Penttila 2003) показано, что это первый нетривиальный член семьи Аделаиды. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBrownCherowitzo1991 ( справка )ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBrownCherowitzo1991 ( справка )

PG (2,32)

Поскольку h = 5 нечетно, ряд известных семейств имеет здесь своего представителя, но из-за небольшого размера плоскости есть некоторые ложные эквивалентности, на самом деле каждый из гиперовалов типа Глинна проективно эквивалентен трансляционному гиперовалу, а гипервал Пейна проективно эквивалентен гипервалу Субиако (этого не происходит в больших плоскостях). В частности, существует три класса гиперовалов (мономиального типа): гиперконики (f (t) = t ²), гиперовали собственно трансляции (f (t) = t ⁴) и гиперовали Сегре (f (t) = t ⁶).. Существуют также классы, соответствующие гиперовалам Пейна и гиперовалям Черовицо (подробнее см. ( Cherowitzo 1988). В ( O'Keefe, Penttila amp; Praeger 1991) определены группы коллинеаций, стабилизирующие каждый из этих гиперовалов. Обратите внимание, что в первоначальное определение группы коллинеации для гиперовалов Пейна случай q = 32 нужно было рассматривать отдельно и в значительной степени полагаться на компьютерные результаты. В ( O'Keefe, Penttila amp; Praeger 1991) дается альтернативная версия доказательства, которая не зависят от компьютерных вычислений.

В 1991 году О'Киф и Пенттила открыли новый гиперовал в этой плоскости посредством детального исследования свойств делимости порядков групп автоморфизмов гипотетических гиперовалов ( O'Keefe amp; Penttila 1992). Один из его o-полиномов определяется выражением:

f (x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰) + η ⁶ (x ¹² + х ²⁴),

где η - примитивный корень GF (32), такой, что η ⁵ = η ² + 1. Полная группа автоморфизмов этого гиперовала имеет порядок 3.

( Penttila amp; Royle 1994) грамотно структурировал исчерпывающий компьютерный поиск всех гиперовалов в этой плоскости. В результате вышеприведенный список является полным, в PG всего шесть классов гиперовалов (2,32).

PG (2,64)

Распространяя идеи из ( O'Keefe amp; Penttila 1992) на PG (2,64), ( Penttila amp; Pinneri 1994) смогли найти гиперовалы, группа автоморфизмов которых допускала коллинеацию порядка 5. Они нашли два и показали, что нет на этой плоскости существует другой гипервал, обладающий таким автоморфизмом. Это утвердительно разрешило давно открытый вопрос Б. Сегре, который хотел знать, есть ли в этой плоскости какие-либо гиперовалы, кроме гиперкоников. Гиперовали:

f (x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁰ + x ³⁸ + x ⁴⁴ + x ⁴⁸ + х ⁵⁴ + х ⁵⁶ + х ⁵⁸ + х ⁶⁰ + х ⁶²) + η ⁴² (х ² + х ⁶ + х ²⁶ + х ²⁸ + х ³² + х ³⁶ + х ⁴⁰),

который имеет группу автоморфизмов порядка 15, и

f (x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁴ + x ³⁸ + x ⁴⁰ + x ⁴⁴ + x ⁴⁶ + x ⁵² + х ⁵⁴ + х ⁵⁸ + х ⁶⁰) + η ⁴² (х ⁶ + х ¹² + х ¹⁸ + х ²⁰ + х ²⁶ + х ³² + х ³⁶ + х ⁴² + х ⁴⁸ + х ⁵⁰),

который имеет группу автоморфизмов порядка 60, где η - примитивный элемент GF (64), удовлетворяющий условию η ⁶ = η + 1. В ( Cherowitzo et al. 1996) показано, что это гиперовали Субиако. Усовершенствовав программу компьютерного поиска ( Penttila amp; Royle, 1994), расширили поиск до гиперовалов, допускающих автоморфизм порядка 3, и нашли гиперовал:

f (x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ + x ¹⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³⁰ + x ³² + x ⁴⁰ + х ⁵⁸) + η ⁴² (х ¹⁰ + х ¹⁸ + х ²⁴ + х ³⁶ + х ⁴⁴ + х ⁵⁰ + х ⁵² + х ⁶⁰),

который имеет группу автоморфизмов порядка 12 (η - примитивный элемент группы GF (64), как указано выше). Этот гиперовал - первый отчетливый гиперовал Аделаиды.

Пенттила и Ройл ( Penttila amp; Royle 1995) показали, что любой другой гипервал на этой плоскости должен иметь тривиальную группу автоморфизмов. Это означало бы, что будет много проективно эквивалентных копий такого гипервала, но общие поиски на сегодняшний день не нашли ни одной, что подтверждает гипотезу о том, что других на этой плоскости нет.

Следуя ( Bue1966), абстрактный овал, также называемый B-овалом, порядка - это пара, где - набор элементов, называемых точками, и набор инволюций, действующих строго квазидвухтранзитивным образом, т. Е., для любых двух с для существует ровно один с и. Любой овал, вложенный в проективную плоскость порядка, может быть наделен структурой абстрактного овала того же порядка. Обратное, как правило, неверно для ; действительно, поскольку есть два абстрактных овала, которые нельзя вложить в проективную плоскость, см. ( Fa1984). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (F, {\ mathfrak {G}})}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {G}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}), (b_ {1}, b_ {2}) \ in F}$${\ displaystyle a_ {i} \ neq b_ {j}}$${\ displaystyle i, j \ in \ {1,2 \}}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathfrak {G}}}$${\ Displaystyle \ sigma (а_ {1}) = а_ {2}}$${\ displaystyle \ sigma (b_ {1}) = b_ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle п \ geq 8}$${\ displaystyle n = 8}$

Когда является четным, аналогичная конструкция дает абстрактные гиперовалы, см. ( Po1997): абстрактный гиперовал порядка - это пара, где - набор элементов и набор инволюций без неподвижных точек, действующих на таких, что для любого набора из четырех различных элементов есть ровно один с. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (F, {\ mathfrak {G}})}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n + 2}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {G}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a, b, c, d \ in F}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathfrak {G}}}$${\ Displaystyle \ сигма (а) = б, \ сигма (с) = г}$

• Яйцевид (проективная геометрия)

• Бойтельшпахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-48364-3
• Buekenhout, F. (1966), "Études intrinsèque des ovales.", Rend. Мат. E Прил., 25 (5): 333–393, MR   0218956
• Браун, Юлия М.Н.; Cherowitzo, Уильям Э. (2000), "Гиперовал Лунелли-Сче в PG (2,16)", J. Geom., 69 (1-2): 15-36, DOI : 10.1007 / BF01237471, МР   1800454
• Cherowitzo, Уильям (1988), "Гиперовалы в десарговых плоскостях четного порядка", Ann. Дискретная математика., Анналы дискретной математики, 37: 87-94, DOI : 10.1016 / s0167-5060 (08) 70228-0, ISBN   9780444703699, Руководство по ремонту   0931308
• Cherowitzo, W. (1996), "Гиперовалы в дезарговых плоскостях: обновление", Discrete Math., 155 (1–3): 31–38, DOI : 10.1016 / 0012-365X (94) 00367-R, MR   1401356
• Cherowitzo, W. (1998), "α-флоки и гиперовали", Geom. Dedicata, 72 (3): 221-246, DOI : 10,1023 / A: 1005022808718, МР   1647703
• Cherowitzo, William E.; О'Киф, Кристин М. ; Пенттила, Тим (2003), "Единая конструкция конечных геометрий, связанных с q -кланами в характеристике 2", Adv. Геом., 3 (1): 1-21, DOI : 10,1515 / advg.2003.002, МР   1956585
• Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Ройл, GF (1996), "Стаи и овалы", Geom. Dedicata, 60 (1): 17-37, DOI : 10.1007 / BF00150865, МР   1376478
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   3-540-61786-8, MR   0233275
• Файна, Г. (1984), "B-овалы порядка q ≤8", J. Combin. Теория Сер., 36 (3): 307-314, DOI : 10,1016 / 0097-3165 (84) 90038-4, МР   0744079
• Глинн, Дэвид Г. (1983), «Две новые последовательности овалов в конечных дезарговых плоскостях четного порядка», (Комбинаторная математика, X) Лекции по математике., 1036, Берлин:. Springer, С. 217-229, DOI : 10.1007 / BFb0071521, MR   0731584
• Холл, Маршалл младший (1975), «Овалы в дезарговской плоскости порядка 16 », Ann. Мат. Pura Appl. (4), 102: 159-176, DOI : 10.1007 / bf02410604, МР   0358552
• Хиршфельд, JWP (1998), Проективные геометрии над конечными полями (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press Oxford University Press, стр. Xiv + 555, ISBN   0-19-850295-8, Руководство по ремонту   1612570
• Корчмарош, Г. (1978), "Группы коллинеаций, транзитивные в точках овала [ q + 2- дуги] в S2, q для четных q ", Atti Sem. Мат. Fis. Univ. Модена (на итальянском и английском языках), 27 (1): 89–105 (1979), MR   0551092
• Корчмарош, Г. (1991), "Старые и новые результаты об овалах в конечных проективных плоскостях", (Обзор комбинаторики, 1991) London Math. Soc. Лекция Сер., 166, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 41–72, MR   1161460
• Lunelli, L.; Сцена, М. (1958),k -archi completeti nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16(на итальянском языке), Милан: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, p. 15, Руководство по ремонту   0157276
• О'Киф, Кристин М. ; Пенттила, Тим (1992), «Новый гипервал в PG (2,32)», J. Geom., 44 (1-2): 117-139, DOI : 10.1007 / BF01228288, МР   1169414
• О'Киф, Кристин М. ; Пенттила, Тим (1991), «Гиперовалы в PG (2,16)», Европейский журнал комбинаторики, 12 (1): 51–59, DOI : 10.1016 / s0195-6698 (13) 80007-8, MR   1087648
• О'Киф, Кристин М. ; Пенттила, Тим; Praeger, Cheryl E. (1991), "Стабилизаторы гиперовалей в PG (2,32)", достижения в области конечных геометрий и конструкций, Chelwood Gate, 1990, Нью-Йорк: Oxford Univ. Press, стр. 337–351, MR   1138755
• Пейн, Стэнли Э. (1985), «Новое бесконечное семейство обобщенных четырехугольников», Congressus Numerantium, 49: 115–128, MR   0830735
• Пейн, Стэнли Э.; Конклин, Джеймс Е. (1978), "Необычный обобщенный четырехугольник порядка шестнадцати", Журнал комбинаторной теории, Серия А, 24 (1): 50-74, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90044-4, MR   0462984
• Пенттила, Тим; Пиннери, Ивано (1994), "Неправильные гиперовалы в PG (2,64)", J. Geom., 51 (1-2): 89-100, DOI : 10.1007 / BF01226860, МР   1298348
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1994), "Классификация гиперовалов в PG (2,32)", J. Geom., 50 (1-2): 151-158, DOI : 10.1007 / BF01222672, МР   1280636
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1995), "О гиперовалах в малых проективных плоскостях", J. Geom., 54 (1-2): 91-104, DOI : 10.1007 / BF01222857, МР   1358279
• Польстер Б. (1997), "Абстрактные гиперовали и планы Адамара", Australas. J. Combin., 16: 29–33, MR   1477516
• Qvist, B. (1952), "Некоторые замечания относительно кривых второй степени на конечной плоскости", Ann. Акад. Sci. Fennicae. Сер. AI Math.-Phys., 1952 (134): 27, MR   0054977
• Сегре, Beniamino (1955), "овалы в конечной проективной плоскости", Canadian Journal математики, 7: 414-416, DOI : 10,4153 / CJM-1955-045-х, ISSN   0008-414X, МР   0071034
• Сегре, Бениамино (1962), "Овальная кривая, не имеющая аналогов в Галуа, характерные особенности", Atti Accad. Наз. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Мат. Nat. (8) (на итальянском языке), 32: 785–790, MR   0149361
• Segre, B.; Барточчи, У. (1971), "Ovali ред Altre кривой Nei Piani - ди - ди - caratteristica Галуа из - за", Acta Арифметика (на итальянском), 18: 423-449, DOI : 10,4064 / аа-18-1-423-449, MR   0295201

• Гиперовальная страница Билла Черовицо