Войти
4-дуговая (красные точки) в проективной плоскости порядка 2 (плоскость Фано). (простая) дуга в конечной проективной геометрии - это набор точек, который интуитивно удовлетворяет особенность изогнутых фигур в непрерывной геометрии. Грубо говоря, это наборы точек, которые далеки от «линейных» на плоскости или далеких от «плоских» в трехмерном пространстве. В этой конечной настройке обычно указывается количество точек в наборе в имени, поэтому эти простые дуги называются k-дугами . Важным обобщением концепции k-дуги, также называемой в литературе дугой, являются (k, d) -дуги.
В конечной проективной плоскости π (не обязательно дезаргова ) множество A из k (k ≥ 3) точек такое, что никакие три точки A не являются коллинеарными (на прямой), называется k-дугой . Если плоскость π имеет порядок q, то k ≤ q + 2, однако максимальное значение k может быть достигнуто, только если q четное. В плоскости порядка q (q + 1) -дуга называется oval, а если q четно, (q + 2) -дуга называется гипервал.
Каждая коника в дезарговой проективной плоскости PG (2, q), то есть множество нулей неприводимого однородного квадратного уравнения, является овалом. Знаменитый результат Бениамино Сегре утверждает, что когда q нечетно, каждая (q + 1) -дуга в PG (2, q) является коникой (теорема Сегре ). Это один из новаторских результатов в конечной геометрии.
Если q четно и A является (q + 1) -дугой в π, то с помощью комбинаторных аргументов можно показать, что должна существовать единственная точка в π (называемое ядром A) такое, что объединение A и этой точки является (q + 2) -дугой. Таким образом, любой овал можно однозначно продолжить до гиперовала в конечной проективной плоскости четного порядка.
k-дуга, которую нельзя продолжить до большей дуги, называется полной дугой . В дезарговых проективных плоскостях PG (2, q) нет полных q-дуг, поэтому все они могут быть продолжены до овалов.
В конечное проективное пространство PG (n, q) с n ≥ 3, набор A из k ≥ n + 1 точек, таких, что никакие n + 1 точки не лежат в общей гиперплоскости, называется a (пространственная) k-arc . Это определение обобщает определение k-дуги на плоскости (где n = 2).
A (k, d) - arc (k, d>1) в конечном проективная плоскость π (не обязательно дезаргова ) - это множество A из k точек из π таких, что каждая прямая пересекает A не более чем в d точках, и есть по крайней мере одна прямая, которая пересекает A в d пунктах. (K, 2) -дуга представляет собой k-дугу и может называться просто дугой, если размер не имеет значения.
Количество точек k (k, d) -дуги A на проективной плоскости порядка q не превосходит qd + d - q. Когда происходит равенство, A называют максимальной дугой.
Гиперовали - это максимальные дуги. Полные дуги не обязательно должны быть максимальными.
