В математической логике, а точнее в теории моделей, бесконечная структура (M, <,...) which is полностью упорядоченное < is called an o-минимальной структурой тогда и только тогда, когда каждое определимое подмножество X ⊂ M (с параметрами, взятыми из M) является конечным объединение из интервалов и точек.
O-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключения кванторов. Структура M является o-минимальной, если и только если каждая формула с одной свободной переменной и параметрами в M эквивалентна бескванторной формуле, включающей только упорядочение, также с параметрами в M. Это аналогично структурам minimal, wh ich - в точности аналогичное свойство с точностью до равенства.
A теория T является o-минимальной теорией, если каждая модель T является o-минимальной. Известно, что полная теория T o-минимальной структуры является o-минимальной теорией. Этот результат примечателен тем, что, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно должна быть строго минимальной теорией, то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, которая не является минимальной..
Содержание
- 1 Теоретико-множественное определение
- 2 Теоретическое определение модели
- 3 Примеры
- 4 См. Также
- 5 Примечания
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Set -теоретическое определение
O-минимальные структуры могут быть определены без обращения к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M теоретико-множественным образом, как последовательность S = (S n), n = 0,1,2,... такую, что
- Snявляется логическая алгебра подмножеств M
- , если A ∈ S n, то M × A и A × M находятся в S n + 1
- множество {(x 1,..., x n) ∈ M: x 1 = x n } находится в S n
- если A ∈ S n + 1 и π: M → M - отображение проекции на первые n координат, то π (A) ∈ S n.
Если M имеет плотный линейный порядок без конечные точки на нем, скажем <, then a structure S on M is called o-minimal if it satisfies the extra axioms
- множество {(x, y) ∈ M: x < y} is in S2
- множества в S 1 - это в точности конечные объединения интервалов и точек.
Буква «o» означает «порядок», поскольку любая o-минимальная структура требует упорядочения в нижележащем наборе.
Теоретическое определение модели
O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое, но эквивалентное определение, использующее язык теории моделей. В частности, если L - это язык, включающий двоичное отношение <, and (M,<,...) is an L-structure where < is interpreted to satisfy the axioms of a dense linear order, then (M,<,...) is called an o-minimal structure if for any definable set X ⊆ M there are finitely many open intervals I1,..., I r без конечных точек в M ∪ {± ∞} и конечное множество X 0 такое, что
Примеры
Примеры о-минимальных теорий:
- Полная теория плотных линейных порядков на языке только с упорядочением.
- RCF, теория реальных замкнутых полей.
- Полная теория вещественного поля с добавлением ограниченных аналитических функций (т. Е. Аналитических функций в окрестности [0,1], ограниченных до [0,1]; обратите внимание, что неограниченная синусоидальная функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может быть определим в о-минимальной структуре.)
- Полная теория действительного поля с символом для экспоненциальной функции по теореме Уилки. В более общем плане, полная теория действительных чисел с добавлением функций Пфаффа.
- Последние два примера могут быть объединены: при любом o-минимальном расширении реального поля (например, поле с ограниченными аналитическими функциями), можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является о-минимальной структурой. (Замыкание структуры по Пфаффу, в частности, замкнуто относительно цепочек Пфаффа, где вместо полиномов используются произвольные определимые функции.)
В случае RCF определимые множества - это полуалгебраические множества. Таким образом, изучение o-минимальных структур и теорий обобщает реальную алгебраическую геометрию. Основное направление текущих исследований основано на обнаружении о-минимальных расширений реального упорядоченного поля. Несмотря на общность приложения, можно многое показать о геометрии множества, определяемого в o-минимальных структурах. Есть теорема разложения клеток, Уитни и Вердье стратификация теоремы, а также хорошее понятие размерности и эйлеровой характеристики.
См. Также
Примечания
Ссылки
- ван ден Дрис, Лу (1998). Ручная топология и о-минимальные структуры. Серия лекций Лондонского математического общества. 248 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045.
- Маркер, Дэвид (2000). "Обзор" Прирученной топологии и о-минимальных структур "" (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 37(3): 351–357. doi : 10.1090 / S0273-0979-00-00866-1.
- Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: введение. Тексты для выпускников по математике. 217 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034.
- Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах I» (PDF). Труды Американского математического общества. 295 (2): 565–592. DOI : 10.2307 / 2000052. JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023.
- Найт, Джулия ; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах II». Труды Американского математического общества. 295 (2): 593–605. DOI : 10.2307 / 2000053. JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024.
- Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1988). «Определимые множества в упорядоченных структурах III». Труды Американского математического общества. 309 (2): 469–476. DOI : 10.2307 / 2000920. JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024.
- Уилки, А.Дж. (1996). "Результаты полноты модели для расширений упорядоченного поля действительных чисел ограниченными функциями Пфаффа и экспоненциальной функцией" (PDF). Журнал Американского математического общества. 9(4): 1051–1095. doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00216-0.
- Denef, J.; ван ден Дрис, Л. (1989). «p-адические и вещественные субаналитические множества». Анналы математики. 128 (1): 79–138. DOI : 10.2307 / 1971463. JSTOR 1971463.
Внешние ссылки
