Нормальный порядок

редактировать

В квантовой теории поля продукт квантовых полей или, что эквивалентно их операторы создания и уничтожения обычно называется нормально упорядоченным (также называемым Wick order ), когда все операторы создания находятся слева от всех операторов уничтожения в продукте. Процесс размещения продукта в обычном порядке называется обычным заказом (также называется заказ фитиля ). Термины антинормальный порядок и антинормальный порядок определяются аналогичным образом, где операторы уничтожения помещаются слева от операторов создания.

Нормальное упорядочение квантовых полей продукта или операторы создания и уничтожения также могут быть определены многими другими способами. Какое определение является наиболее подходящим, зависит от ожидаемых значений, необходимых для данного расчета. В большей части этой статьи используется наиболее распространенное определение нормального упорядочения, приведенное выше, которое подходит при принятии значений ожидания с использованием состояния вакуума операторов создания и уничтожения.

Процесс нормального упорядочивания особенно важно для квантово-механического гамильтониана. При квантовании классического гамильтониана существует некоторая свобода выбора порядка операторов, и этот выбор приводит к различиям в энергии основного состояния.

Содержание

1 Обозначение
2 Бозоны
- 2.1 Одиночные бозоны
  - 2.1.1 Примеры
- 2.2 Множественные бозоны
  - 2.2.1 Примеры
3 Фермионы
- 3.1 Одиночные фермионы
  - 3.1.1 Примеры
- 3.2 Множественные фермионы
  - 3.2.1 Примеры
4 Использование в квантовой теории поля
- 4.1 Свободные поля
- 4.2 Теорема Вика
5 Альтернативные определения
6 Ссылки

Обозначение

Если $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ обозначает произвольное произведение операторов создания и / или уничтожения (или, что эквивалентно, квантовых полей), тогда нормальная упорядоченная форма $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ обозначается $: O ^: {\ displaystyle {\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {: }}}$ ${\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {:}}$ .

Альтернативное обозначение: $N (O ^) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ hat {O}})}$ ${\ mathcal {N}} ({\ hat {O}})$ .

Обратите внимание, что нормальный порядок - это pt, что имеет смысл только для продуктов операторов. Попытка применить нормальный порядок к сумме операторов бесполезна, поскольку нормальное упорядочение не является линейной операцией.

Бозоны

Бозоны - это частицы, которые удовлетворяют статистике Бозе – Эйнштейна. Теперь мы исследуем нормальный порядок продуктов операторов бозонного рождения и уничтожения.

Одиночные бозоны

Если мы начнем с одного типа бозонов, нас интересуют два оператора:

$b ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger }}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger}$ : оператор создания бозона.
$b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}}}$ $\ шляпа {b}$ : оператор аннигиляции бозона.

Они удовлетворяют коммутатор соотношение

[b ^ †, b ^ †] - = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}} ^ {\ dagger}, {\ hat {b}} ^ {\ кинжал} \ right] _ {-} = 0}

\ left [{\ hat {b}} ^ {\ dagger}, {\ hat {b}} ^ {\ dagg er} \ right] _ {-} = 0

[b ^, b ^] - = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}}, {\ hat {b}} \ right] _ {-} = 0}

\left[{\hat {b}},{\hat {b} }\right]_{-}=0

[b ^, b ^ †] - = 1 {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}}, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = 1}

\ left [{\ hat {b}}, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = 1

где $[A, B] - ≡ AB - BA {\ displaystyle \ left [A, B \ right] _ {-} \ Equiv AB-BA}$ $\ left [A, B \ right] _ {-} \ Equiv AB-BA$ обозначает коммутатор . Мы можем переписать последний как: $b ^ b ^ † = b ^ † b ^ + 1. {\ displaystyle {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} + 1.}$ ${\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagg er} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} + 1.$

Примеры

1. Сначала рассмотрим простейший случай. Это нормальный порядок $b ^ † b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}$ :

: b ^ † b ^: = b ^ † Ь ^. {\ displaystyle {: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, { \ hat {b}}.}

{: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}}.

Выражение $b ^ † b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}}$ не был изменен, потому что он уже находится в обычном порядке - оператор создания $(b ^ †) {\ displaystyle ({\ hat {b}} ^ {\ dagger})}$ $({\ hat {b}} ^ {\ dagger})$ уже слева от оператора аннигиляции $(b ^) {\ displaystyle ({\ hat {b}})}$ $({\ hat {b}})$ .

2. Более интересным примером является нормальный порядок $b ^ b ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagg эр}$ :

: b ^ b ^ †: = b ^ † b ^. {\ displaystyle {: \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, { \ hat {b}}.}

{: \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}}.

Здесь обычная операция упорядочения изменила порядок терминов, поместив $b ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger}$ слева от $b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}}}$ $\ шляпа {b}$ .

Эти два результата могут быть объединены с отношением коммутации, которому подчиняется $b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}} }$ $\ шляпа {b}$ и $b ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger}$ , чтобы получить

b ^ b ^ † = b ^ † b ^ + 1 =: b ^ b ^ †: + 1. {\ displaystyle {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} ^ {\ кинжал} \, {\ hat {b}} + 1 = {: \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} \; + 1. }

{\ hat {b}} \, {\ hat {b} } ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} + 1 = {: \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b }} ^ {\ da gger} {\,:} \; + 1.

или

b ^ b ^ † -: b ^ b ^ †: = 1. {\ displaystyle {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} - { : \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} = 1.}

{\ hat {b}} \, {\ hat {b }} ^ {\ dagger} - {: \,} {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} = 1.

Это уравнение используется для определения сокращений, используемых в Теорема Вика.

3. Пример с несколькими операторами:

: b ^ † b ^ b ^ b ^ † b ^ b ^ † b ^: = b ^ † b ^ † b ^ † b ^ b ^ b ^ b ^ = (b ^ †) 3 б ^ 4. {\ displaystyle {: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ кинжал} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ кинжал} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} = ({\ hat {b}} ^ {\ dagger}) ^ {3} \, {\ hat {b}} ^ {4}.}

{: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, { \ hat {b}} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} {\,:} = {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, { \ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b}} \, {\ hat {b }} \, {\ hat {b}} = ({\ hat {b}} ^ {\ dagger}) ^ {3} \, {\ hat {b}} ^ {4}.

4. Простой пример показывает, что нормальный порядок не может быть расширен линейностью от мономов на все операторы самосогласованным образом:

: b ^ b ^ †: =: 1 + b ^ † b ^: =: 1: + : b ^ † b ^: = 1 + b ^ † b ^ ≠ b ^ † b ^ =: b ^ b ^ †: {\ displaystyle {: \,} {\ hat {b}} {\ hat {b} } ^ {\ dagger} {\,:} = {: \,} 1 + {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} {\,:} = {: \,} 1 {\,:} + {: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} {\,:} = 1 + {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} \ neq {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} = {: \,} {\ hat {b}} {\ hat {b}} ^ { \ dagger} {\,:}}

{: \,} {\ hat {b}} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:} = {: \,} 1 + {\ hat {b}} ^ {\ dagger } {\ hat {b}} {\,:} = {: \,} 1 {\,:} + {: \,} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} {\,:} = 1 + {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} \ neq {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} = { : \,} {\ hat {b}} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\,:}

Подразумевается, что нормальный порядок не является линейной функцией операторов.

Множественные бозоны

Если мы теперь рассмотрим $N {\ displaystyle N}$ $N$ разных бозонов, мы получим $2 N {\ displaystyle 2N}$ $2N$ операторы:

$b ^ i † {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {b}} _ { i} ^ {\ dagger}$ : $ith {\ displaystyle i ^ { th}}$ $i ^ {th}$ оператор создания бозона.
$b ^ i {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i}}$ ${\ hat {b}} _ {i}$ : $iith {\ displaystyle i ^ {th}}$ $i ^ {th}$ оператор аннигиляции бозона.

Здесь $i = 1,…, N {\ displaystyle i = 1, \ ldots, N}$ $i = 1, \ ldots, N$ .

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[b ^ i †, b ^ j †] - = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {b}} _ {j } ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = 0}

\ left [{\ hat {b }} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = 0

[b ^ i, b ^ j] - = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}} _ {i}, { \ hat {b}} _ {j} \ right] _ {-} = 0}

\ left [{\ hat {b}} _ {i}, {\ hat {b}} _ {j} \ right] _ {-} = 0

[b ^ i, b ^ j †] - = δ ij {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}} _ {i}, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = \ delta _ {ij}}

\ left [{\ hat {b}} _ {i}, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {-} = \ delta _ {{ij}}

где $i, j = 1,…, N {\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$ $i, j = 1, \ ldots, N$ и $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ обозначает дельту Кронекера.

Их можно переписать так:

b ^ i † b ^ j † = b ^ j † b ^ i † {\ displaystyle {\ hat {b }} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ шляпа {b}} _ {i} ^ {\ dagger}}

{\ hat {b}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {i} ^ {\ dagger}

b ^ ib ^ j = b ^ jb ^ i {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i} \, {\ hat {b }} _ {j} = {\ hat {b}} _ {j} \, {\ hat {b}} _ {i}}

{\ hat { b}} _ {i} \, {\ hat {b}} _ {j} = {\ hat {b}} _ {j} \, {\ hat {b}} _ {i}

b ^ ib ^ j † = b ^ j † b ^ i + δ ij. {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i} \, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {i} + \ delta _ {ij}.}

{\ hat {b}} _ {i} \, {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {b}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {i} + \ delta _ {{ij}}.

Примеры

1. Для двух разных бозонов ( $N = 2 {\ displaystyle N = 2}$ $N = 2$ ) имеем

: b ^ 1 † b ^ 2: = b ^ 1 † b ^ 2 {\ displaystyle : {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2}}

: {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ кинжал} \, {\ hat {b}} _ {2}

: b ^ 2 b ^ 1 †: = b ^ 1 † b ^ 2 {\ displaystyle: {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} }

: {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2}

2. Для трех разных бозонов ( $N = 3 {\ displaystyle N = 3}$ $N = 3$ ) мы имеем

: b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3: = b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3 {\ displaystyle: {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}}

: {\ шляпа {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}: \, = {\ hat {b} } _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}

Уведомление что, поскольку (посредством коммутационных соотношений) $b ^ 2 b ^ 3 = b ^ 3 b ^ 2 {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3 } = {\ hat {b}} _ {3} \, {\ hat {b}} _ {2}}$ ${\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3} = {\ hat {b}} _ {3} \, {\ hat {b}} _ {2}$ порядок, в котором мы пишем операторы уничтожения, не имеет значения.

: b ^ 2 b ^ 1 † b ^ 3: = b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3 {\ displaystyle: {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {3}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b} } _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}}

: {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {3}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ шляпа {b}} _ {3}

: b ^ 3 b ^ 2 b ^ 1 †: = b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3 {\ displaystyle: { \ hat {b}} _ {3} {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}}

: {\ hat {b}} _ {3} {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {b}} _ { 1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {b}} _ {2} \, {\ hat {b}} _ {3}

Фермионы

Фермионы - это частицы, которые удовлетворяют статистике Ферми – Дирака. Теперь мы рассмотрим нормальный порядок продуктов операторов фермионного рождения и аннигиляции.

Отдельные фермионы

Для одного фермиона интересны два оператора:

$f ^ † {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {f}} ^ {\ dagger}$ : оператор создания фермиона.
$f ^ {\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat {f }}$ : оператор аннигиляции фермиона.

Они удовлетворяют антикоммутатору отношения

[f ^ †, f ^ †] + = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}} ^ {\ dagger}, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = 0}

\ left [{\ hat {f}} ^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0

[е ^, е ^] + = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}}, {\ hat {f}} \ right] _ {+} = 0 }

\ left [{\ hat {f}}, {\ hat {f}} \ right] _ {+} = 0

[f ^, f ^ †] + = 1 {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}}, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = 1 }

\ left [{\ hat {f}}, {\ hat {f} } ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = 1

где $[A, B] + ≡ AB + BA {\ displaystyle \ left [A, B \ right] _ {+} \ Equiv AB + BA}$ $\ left [A, B \ right] _ {+} \ Equiv AB + BA$ обозначает антикоммутатор. Их можно переписать как

f ^ † f ^ † = 0 {\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} = 0}

{\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} = 0

е ^ е ^ = 0 {\ displaystyle {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} = 0}

{\ hat {f}} \, {\ hat {f}} = 0

f ^ f ^ † = 1 - f ^ † f ^. {\ displaystyle {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} = 1 - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}.}

{\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} = 1- { \ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}.

Чтобы определить нормальное упорядочение продукта фермионных операторов рождения и уничтожения, мы должны учитывать количество обменов между соседними операторами. При каждой такой замене мы получаем знак минус.

Примеры

1. Мы снова начнем с простейших случаев:

: f ^ † f ^: = f ^ † f ^ {\ displaystyle: {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}: \, = {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}}

: {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}: \, = {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}

Это выражение уже находится в нормальном порядке, поэтому ничего не изменилось. В обратном случае мы вводим знак минус, потому что нам нужно изменить порядок двух операторов:

: f ^ f ^ †: = - f ^ † f ^ {\ displaystyle: {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}}

: {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}}

Их можно комбинировать вместе с антикоммутационные соотношения, чтобы показать

f ^ f ^ † = 1 - f ^ † f ^ = 1 +: f ^ f ^ †: {\ displaystyle {\ hat {f}} \, {\ hat {f} } ^ {\ dagger} \, = 1 - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} = 1 +: {\ hat {f}} \, {\ hat {f }} ^ {\ dagger}:}

{\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, = 1 - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} = 1 +: {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger}:

или

f ^ f ^ † -: f ^ f ^ †: = 1. {\ displaystyle {\ hat {f}} \, {\ hat {f} } ^ {\ dagger} -: {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: = 1.}

{\ hat {f}} \, {\ hat {f }} ^ {\ dagger} -: {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: = 1.

Это уравнение, которое имеет ту же форму, что и бозонный случай выше, используется при определении сокращений, используемых в теореме Вика.

2. Обычный порядок любых более сложных случаев дает ноль, потому что по крайней мере один оператор создания или уничтожения встречается дважды. Например:

: f ^ f ^ † f ^ f ^ †: = - f ^ † f ^ † f ^ f ^ = 0 {\ displaystyle: {\ hat {f}} \, {\ hat {f }} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} = 0}

{\ displaystyle: {\ шляпа {f}} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} {\ hat {f}} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f }} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} \, {\ hat {f}} = 0}

Несколько фермионов

Для $N {\ displaystyle N }$ $N$ разные фермионы существуют $2 N {\ displaystyle 2N}$ $2N$ операторов:

$f ^ i † {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {f}} _ {i} ^ { \ dagger}$ : $ith {\ displaystyle i ^ {th}}$ $i ^ {th}$ оператор создания фермиона.
$f ^ i {\ displaystyle {\ hat { f}} _ {i}}$ ${\ hat {f}} _ {i}$ : $ith {\ displaystyle i ^ {th}}$ $i ^ {th}$ оператор аннигиляции фермиона.

Здесь $i = 1, …, N {\ displaystyle i = 1, \ ldots, N}$ $i = 1, \ ldots, N$ .

Они удовлетворяют соотношениям коммутации:

[f ^ i †, f ^ j †] + = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = 0}

\ left [{\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger } \ right] _ {+} = 0

[f ^ i, f ^ j] + = 0 {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}} _ {i}, {\ hat {f}} _ {j} \ right] _ {+} = 0}

\ left [{\ hat {f}} _ {i}, {\ hat {f}} _ {j} \ right] _ {+} = 0

[f ^ i, f ^ j †] + = δ ij {\ displaystyle \ left [{\ hat {f}} _ {i}, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = \ delta _ { ij}}

\ left [ {\ hat {f}} _ {i}, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] _ {+} = \ delta _ {{ij}}

где $i, j = 1,…, N {\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$ $i, j = 1, \ ldots, N$ и $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ обозначает дельту Кронекера.

Их можно переписать как:

f ^ i † f ^ j † = - f ^ j † f ^ i † {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} = - {\ hat {f}} _ {j} ^ { \ dagger} \, {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}}

{\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} = - {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}

f ^ if ^ j = - f ^ jf ^ i {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i } \, {\ hat {f}} _ {j} = - {\ hat {f}} _ {j} \, {\ hat {f}} _ {i}}

{\ hat {f}} _ {i} \, {\ hat {f}} _ {j } = - {\ hat {f}} _ {j} \, {\ hat {f}} _ {i}

f ^ if ^ j † = δ ij - f ^ j † f ^ i. {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i} \, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} = \ delta _ {ij} - {\ hat {f}} _ {j } ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {i}.}

{\ hat {f}} _ {i} \, {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} = \ delta _ {{ij}} - {\ hat {f}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {i}.

При вычислении нормального порядка произведений фермионных операторов мы должны учитывать количество обменов из соседние операторы, необходимые для перестановки выражения. Это как если бы мы притворились, что операторы создания и уничтожения антикоммутируют, а затем переупорядочиваем выражение, чтобы гарантировать, что операторы создания находятся слева, а операторы уничтожения - справа - все время с учетом антикоммутационных соотношений.

Примеры

1. Для двух разных фермионов ( $N = 2 {\ displaystyle N = 2}$ $N = 2$ ) мы имеем

: f ^ 1 † f ^ 2: = f ^ 1 † f ^ 2 {\ displaystyle : {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}}

: {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ { \ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}

Здесь выражение уже нормально упорядочено, поэтому ничего не меняется.

: f ^ 2 f ^ 1 †: = - f ^ 1 † f ^ 2 {\ displaystyle: {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}}

: {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger } \, {\ hat {f}} _ {2}

Здесь мы вводим знак минус, потому что поменяли местами порядок двух операторов.

: f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 2 †: = f ^ 1 † f ^ 2 † f ^ 2 = - f ^ 2 † f ^ 1 † f ^ 2 {\ displaystyle: {\ hat {f }} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat { f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} = - {\ hat {f }} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}}

: { \ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} = - { \ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2}

Обратите внимание, что порядок в котором мы пишем здесь операторы, в отличие от бозонного случая, имеет значение.

2. Для трех разных фермионов ( $N = 3 {\ displaystyle N = 3}$ $N = 3$ ) мы имеем

: f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3: = f ^ 1 † f ^ 2 е ^ 3 = - е ^ 1 † е ^ 3 е ^ 2 {\ displaystyle: {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat { f}} _ {3} = - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2 }}

: {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3 }: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3} = - { \ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2}

Обратите внимание, что, поскольку (по антикоммутационным отношениям) $f ^ 2 f ^ 3 = - f ^ 3 f ^ 2 {\ displaystyle {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3} = - {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2}}$ ${\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3} = - {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2 }$ порядок, в котором мы пишем операторы, дело в этом случае.

Аналогично

: f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 3: = - f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3 = f ^ 1 † f ^ 3 f ^ 2 {\ displaystyle : {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3}: \, = - {\ шляпа {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3} = {\ hat {f}} _ { 1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2}}

: {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3}: \, = - { \ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3} = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2}

: f ^ 3 f ^ 2 f ^ 1 †: = е ^ 1 † е ^ 3 е ^ 2 = - е ^ 1 † е ^ 2 е ^ 3 {\ displaystyle: {\ hat {f}} _ {3} {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2} = - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f }} _ {3}}

: {\ hat {f}} _ {3} {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger}: \, = {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {3} \, {\ hat {f}} _ {2} = - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {3}

Использование в квантовой теории поля

значение математического ожидания вакуума для нормального упорядоченного произведения операторов создания и уничтожения равно нулю. Это потому, что, обозначая вакуумное состояние с помощью $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ , операторы создания и уничтожения удовлетворяют

⟨0 | a ^ † = 0 и a ^ | 0⟩ знак равно 0 {\ displaystyle \ langle 0 | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} = 0 \ qquad {\ textrm {and}} \ qquad {\ hat {a}} | 0 \ rangle = 0}

\ langle 0 | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} = 0 \ qquad {\ textrm {and}} \ qquad { \ hat {a}} | 0 \ rangle = 0

(здесь $a ^ † {\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {a}} ^ {\ dagger}$ и $a ^ {\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ hat {a}}$ - операторы рождения и уничтожения (бозонные или фермионные)).

Пусть $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ обозначает непустое произведение операторов создания и уничтожения. Хотя это может удовлетворить

⟨0 | O ^ | 0⟩ ≠ 0, {\ displaystyle \ langle 0 | {\ hat {O}} | 0 \ rangle \ neq 0,}

{\ displaystyle \ langle 0 | {\ hat {O}} | 0 \ rangle \ neq 0,}

мы имеем

⟨0 | : O ^: | 0⟩ = 0. {\ displaystyle \ langle 0 |: {\ hat {O}}: | 0 \ rangle = 0.}

{\ displaystyle \ langle 0 |: {\ hat {O}}: | 0 \ rangle = 0.}

Нормальные упорядоченные операторы особенно полезны при определении квантовомеханического гамильтониана. Если гамильтониан теории находится в нормальном порядке, то энергия основного состояния будет равна нулю: $⟨0 | H ^ | 0⟩ = 0 {\ displaystyle \ langle 0 | {\ hat {H}} | 0 \ rangle = 0}$ $\ langle 0 | {\ hat {H}} | 0 \ rangle = 0$ .

Свободные поля

С двумя свободными полями φ и χ,

: ϕ ( x) χ (y): = ϕ (x) χ (y) - ⟨0 | ϕ (x) χ (y) | 0⟩ {\ Displaystyle: \ фи (х) \ чи (у): = \ фи (х) \ чи (у) - \ langle 0 | \ фи (х) \ чи (у) | 0 \ rangle}

: \ phi (x) \ chi (y) : = \ phi (x) \ chi (y) - \ langle 0 | \ phi (x) \ chi (y) | 0 \ rangle

где $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ снова состояние вакуума. Каждый из двух членов в правой части обычно увеличивается до предела, когда y приближается к x, но разница между ними имеет четко определенный предел. Это позволяет нам определить: φ (x) χ (x) :.

Теорема Вика

Теорема Вика утверждает существование связи между упорядоченным по времени произведением полей $n {\ displaystyle n}$ $n$ и суммой нормально упорядоченных товары. Для $n {\ displaystyle n}$ $n$ это может быть выражено даже как

T [ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn)] =: ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn) : + ∑ пермь ⟨0 | Т [ϕ (x 1) ϕ (x 2)] | 0⟩: ϕ (x 3) ⋯ ϕ (x n): + ∑ perm ⟨0 | Т [ϕ (x 1) ϕ (x 2)] | 0⟩ ⟨0 | Т [ϕ (x 3) ϕ (x 4)] | 0⟩: ϕ (x 5) ⋯ ϕ (x n): ⋮ + ∑ разрешить ⟨0 | Т [ϕ (x 1) ϕ (x 2)] | 0⟩ ⋯ ⟨0 | Т [ϕ (x n - 1) ϕ (x n)] | 0⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} T \ left [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right] = : \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}): + \ sum _ {\ textrm {perm}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle : \ phi (x_ {3}) \ cdots \ phi (x_ {n}): \\ + \ sum _ {\ textrm {perm}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \ right] | 0 \ rangle: \ phi ( x_ {5}) \ cdots \ phi (x_ {n}): \\\ vdots \\ + \ sum _ {\ textrm {perm}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ cdots \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {n-1}) \ phi (x_ {n}) \ right] | 0 \ rangle \ end {align}}}

{\ begin {align} T \ left [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right] = : \ phi (x_ {1 }) \ cdots \ phi (x_ {n}): + \ sum _ {{\ textrm {perm}}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle: \ phi (x_ {3}) \ cdots \ phi (x_ {n}): \\ + \ sum _ {{\ textrm {perm}}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \ right ] | 0 \ rangle: \ phi (x_ {5}) \ cdots \ phi (x_ {n}): \\\ vdots \\ + \ sum _ {{\ textrm {perm}}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ cdots \ langle 0 | T \ left [\ phi (x _ {{n-1}}) \ phi (x_ {n}) \ right] | 0 \ rangle \ end {align}}

, где суммирование ведется по всем различным способам объединения полей в пары. Результат для $n {\ displaystyle n}$ $n$ odd выглядит так же, за исключением последней строки, которая читается как

∑ perm ⟨0 | Т [ϕ (x 1) ϕ (x 2)] | 0⟩ ⋯ ⟨0 | Т [ϕ (x n - 2) ϕ (x n - 1)] | 0⟩ ϕ (x n). {\ displaystyle \ sum _ {\ text {perm}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ cdots \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {n-2}) \ phi (x_ {n-1}) \ right] | 0 \ rangle \ phi (x_ {n}).}

\ sum _ {{\ text {perm}}} \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ right] | 0 \ rangle \ cdots \ langle 0 | T \ left [\ phi (x_ {{n-2}}) \ phi (x _ {{n-1}}) \ right] | 0 \ rangle \ phi (x_ {n}).

Эта теорема предоставляет простой метод для вычисления ожидаемых значений вакуума для продуктов операторов, упорядоченных во времени, и послужила мотивацией для введения нормального порядка.

Альтернативные определения

Наиболее общее определение нормального порядка включает в себя разделение всех квантовых полей на две части (например, см. Evans and Steer 1996) $ϕ i (x) = ϕ i + (Икс) + ϕ я - (Икс) {\ Displaystyle \ phi _ {я} (х) = \ phi _ {я} ^ {+} (х) + \ phi _ {я} ^ {-} (х) }$ $\ phi _ {i} (x) = \ phi _ {i} ^ {+} (x) + \ phi _ {i} ^ {-} (x)$ . В произведении полей поля делятся на две части, и части $ϕ + (x) {\ displaystyle \ phi ^ {+} (x)}$ $\ phi ^ {+} (x)$ перемещаются таким образом, чтобы всегда слева от всех частей $ϕ - (x) {\ displaystyle \ phi ^ {-} (x)}$ $\ phi ^ {-} (x)$ . В обычном случае, рассматриваемом в оставшейся части статьи, $ϕ + (x) {\ displaystyle \ phi ^ {+} (x)}$ $\ phi ^ {+} (x)$ содержит только операторы создания, а $ϕ - (x) {\ displaystyle \ phi ^ {-} (x)}$ $\ phi ^ {-} (x)$ содержит только операторы уничтожения. Так как это математическое тождество, можно разбивать поля как угодно. Однако для того, чтобы эта процедура была полезной, нужно, чтобы нормальный упорядоченный продукт любой комбинации полей имел нулевое математическое ожидание

⟨: ϕ 1 (x 1) ϕ 2 (x 2)… ϕ n (xn):⟩ Знак равно 0 {\ displaystyle \ langle: \ phi _ {1} (x_ {1}) \ phi _ {2} (x_ {2}) \ ldots \ phi _ {n} (x_ {n}): \ rangle = 0}

\ langle: \ phi _ {1} (x_ {1}) \ phi _ {2} (x_ {2}) \ ldots \ phi _ {n} (x_ {n}): \ rangle = 0

Для практических расчетов также важно, чтобы все коммутаторы (антикоммутаторы для фермионных полей) всех $ϕ i + {\ displaystyle \ phi _ {i} ^ {+}}$ $\ phi _ {i} ^ {+}$ и $ϕ j - {\ displaystyle \ phi _ {j} ^ {-}}$ $\ phi _ {j} ^ {-}$ - все c-числа. Эти два свойства означают, что мы можем применить теорему Вика обычным способом, превращая ожидаемые значения упорядоченных по времени произведений полей в произведения пар c-чисел, сокращений. В этой обобщенной настройке сокращение определяется как разница между заказанным по времени продуктом и обычным заказанным продуктом для пары полей.

Простейший пример можно найти в контексте тепловой квантовой теории поля (Evans and Steer 1996). В этом случае интересующие ожидаемые значения представляют собой статистические ансамбли, трассировки по всем состояниям, взвешенные по $exp ⁡ (- β H ^) {\ displaystyle \ exp (- \ beta {\ hat {H}})}$ $\ exp (- \ beta {\ hat {H}})$ . Например, для одиночного бозонного квантового гармонического осциллятора мы имеем, что тепловое математическое ожидание числового оператора представляет собой просто распределение Бозе – Эйнштейна

⟨b ^ † b ^⟩ = T r (e - β ω b ^ † b ^ b ^ † b ^) T r (e - β ω b ^ † b ^) = 1 e β ω - 1 {\ displaystyle \ langle {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} \ rangle = {\ frac {\ mathrm {Tr} (e ^ {- \ beta \ omega {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}} {\ hat {b }} ^ {\ dagger} {\ hat {b}})} {\ mathrm {Tr} (e ^ {- \ beta \ omega {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} })}} = {\ frac {1} {e ^ {\ beta \ omega} -1}}}

\ langle {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}} \ rangle = {\ frac {{\ mathrm {Tr}} (e ^ {{- \ beta \ omega {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}}} {\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}})} {{\ mathrm {Tr}} (e ^ {{- \ beta \ omega {\ hat {b }} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}}})}} = {\ frac {1} {e ^ {{\ beta \ omega}} - 1}}

Итак, здесь числовой оператор $b ^ † b ^ {\ displaystyle {\ hat {b} } ^ {\ dagger} {\ hat {b}}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger} {\ hat {b}}$ нормально упорядочено в обычном смысле, используемом в остальной части статьи, но его значения теплового ожидания не равны нулю. Применение теоремы Вика и выполнение расчетов с обычным нормальным порядком в этом термическом контексте возможно, но с вычислительной точки зрения непрактично. Решение состоит в том, чтобы определить другой порядок, так что $ϕ i + {\ displaystyle \ phi _ {i} ^ {+}}$ $\ phi _ {i} ^ {+}$ и $ϕ j - {\ displaystyle \ phi _ {j} ^ {-}}$ $\ phi _ {j} ^ {-}$ - линейные комбинации исходных операторов уничтожения и создания. Комбинации выбираются для обеспечения того, чтобы ожидаемые значения температуры для обычных заказанных продуктов всегда были равны нулю, поэтому выбранное разделение будет зависеть от температуры.

Ссылки

F. Мандл, Г. Шоу, Квантовая теория поля, John Wiley Sons, 1984.
С. Вайнберг, Квантовая теория полей (том I), Cambridge University Press (1995)
Т.С. Эванс, Д.А. Стир, Теорема Вика при конечной температуре, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268