Нелинейная задача собственных значений

редактировать

A Нелинейная задача собственных значений является обобщением обычной задачи собственных значений в уравнения, которые зависят нелинейно от собственного значения. В частности, это относится к уравнениям вида:

A (λ) x = 0, {\ displaystyle A (\ lambda) \ mathbf {x} = 0, \,}

A (\ lambda) {\ mathbf {x}} = 0, \,

где x - это вектор (нелинейный «собственный вектор»), а A - матричная -значная функция числа $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (нелинейное «собственное значение»). (В более общем смысле, $A (λ) {\ displaystyle A (\ lambda)}$ $A (\ lambda)$ может быть линейной картой, но чаще всего это конечномерная, обычно квадратная, матрица.) A обычно требуется, чтобы быть голоморфной функцией из $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (в некоторой области ).

Например, обычная линейная задача собственных значений $B v = λ v {\ displaystyle B \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$ $B {\ mathbf {v}} = \ lambda {\ mathbf {v}}$ , где B - это квадратная матрица, соответствует $A (λ) = B - λ I {\ displaystyle A (\ lambda) = B- \ lambda I}$ $A (\ lambda) = B- \ лямбда I$ , где I - единичная матрица.

Один из распространенных случаев - это когда A является полиномиальной матрицей, что называется полиномиальной проблемой собственных значений . В частности, конкретный случай, когда многочлен имеет степень два, называется квадратичной проблемой собственных значений и может быть записан в форме:

A (λ) x = (A 2 λ 2 + A 1 λ + A 0) Икс знак равно 0, {\ Displaystyle A (\ lambda) \ mathbf {x} = (A_ {2} \ lambda ^ {2} + A_ {1} \ lambda + A_ { 0}) \ mathbf {x} = 0, \,}

A (\ lambda) {\ mathbf {x}} = (A_ {2} \ lambda ^ {2} + A_ {1} \ lambda + A_ {0}) {\ mathbf {x}} = 0, \,

в терминах постоянных квадратных матриц A 0,1,2. Это можно преобразовать в обычную линейную обобщенную задачу о собственных значениях вдвое большего размера путем определения нового вектора $y = λ x {\ displaystyle \ mathbf {y} = \ lambda \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf {y}} = \ lambda {\ mathbf {x }}$ . В терминах x и y квадратичная проблема собственных значений принимает вид:

(A 0 A 1 0 I) (xy) = λ (0 - A 2 I 0) ( xy), {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} A_ {1} \\ 0 I \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {x} \\\ mathbf {y} \ end { pmatrix}} = \ lambda {\ begin {pmatrix} 0 -A_ {2} \\ I 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {x} \\\ mathbf {y} \ end {pmatrix} },}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} A_ {1} \\ 0 I \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {x} \\\ mathbf {y} \ end {pmatrix}} = \ lambda {\ begin {pmatrix} 0 -A_ {2} \\ I 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {x} \\\ mathbf {y} \ end {pmatrix}},}

где I - единичная матрица. В более общем смысле, если A - матричный полином степени d, то можно преобразовать нелинейную задачу о собственных значениях в линейную (обобщенную) задачу о собственных значениях, размер которой в d раз больше.

Помимо преобразования их в обычные собственные задачи, которые работают, только если A является полиномиальным, существуют другие методы решения нелинейных собственных задач, основанные на или на основе метода Ньютона (относящегося к обратному итерация ).

Ссылки

Франсуаза Тиссер и Карл Меерберген, «Квадратичная проблема собственных значений», SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001).
Gene Х. Голуб и Хенк А. ван дер Ворст, «Вычисление собственных значений в XX веке», Журнал вычислительной и прикладной математики 123, 35-65 (2000).
Филипп Гийом, "Нелинейные задачи на собственные значения", SIAM J. Matrix. Анальный. Appl. 20 (3), 575-595 (1999) (ссылка ).
, «Алгоритмы для нелинейной проблемы собственных значений», журнал SIAM по численному анализу 10 (4), 674-689 (1973).