Отрицательное полиномиальное распределение

Обозначение	$NM\; (x\; 0,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{NM\}\}\; (x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; p)\}$
Параметры	x0∈ N0- количество неудач до остановки эксперимента,. p ∈ R - m-вектор вероятностей «успеха»,. p0= 1 - (p 1 +… + p m) - вероятность «отказа».
Поддержка	$xi\; \in \; \{0,\; 1,\; 2,\dots \},\; 1\; \le \; я\; \le \; м\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \},\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; m\}$
PDF	$\Gamma \; (\sum \; i\; =\; 0\; mxi)\; p\; 0\; x\; 0\; \Gamma \; (x\; 0)\; \prod \; i\; =\; 1\; mpixixi!,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; \{x\_\; \{i\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{0\}\; ^\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; Гамма\; (x\_\; \{0\})\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{i\}\; ^\; \{x\_\; \{i\}\}\}\; \{x\_\; \{i\}!\}\},\}$. где Γ (x) - Гамма-функция.
Среднее	$x\; 0\; p\; 0\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; p\}$
Дисперсия	$x\; 0\; p\; 0\; 2\; pp\; \prime \; +\; x\; 0\; p\; 0\; diag\; \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; pp\; \text{'}+\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (p)\}$
CF	$(p\; 0\; 1\; -\; p\; \prime \; eit)\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{0\}\}\; \{1-p\text{'}e\; ^\; \{it\}\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; ^\; \{\backslash !\; x\_\; \{0\}\}\}$

В теории вероятностей и статистики, отрицательное полиномиальное распределение является обобщением отрицательного биномиального распределения (NB (r, p)) для более чем двух исходов.

Предположим у нас есть эксперимент, который генерирует m + 1≥2 возможных результатов, {X 0,..., X m }, каждый из которых имеет неотрицательные вероятности {p 0,..., p m } соответственно. Если бы выборка продолжалась до тех пор, пока не было сделано n наблюдений, то {X 0,..., X m } было бы полиномиально распределенным. Однако, если эксперимент прекращается, когда X 0 достигает заданного значения x 0, тогда распределение m-кортежа {X 1,..., X m } - отрицательный полином. Эти переменные не распределены полиномиально, потому что их сумма X 1 +... + X m не является фиксированной и является результатом отрицательного биномиального распределения.

• 1 Свойства
  • 1.1 Предельные распределения
  • 1.2 Независимые суммы
  • 1.3 Агрегирование
  • 1.4 Корреляционная матрица
• 2 Оценка параметров
  • 2.1 Метод моментов
• 3 Связанные распределения
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

Предельные распределения

Если m-мерное x разбивается следующим образом

$X\; =\; [X\; (1)\; X\; (2)]\; с\; размерами\; [n\; \times \; 1\; (m\; -\; n)\; \times \; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; ^\; \{(1)\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{\; X\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; text\; \{with\; sizes\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \backslash \; (mn)\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и соответственно $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\}$

$p\; =\; [p\; (1)\; p\; (2)]\; с\; размерами\; [n\; \times \; 1\; (m\; -\; n)\; \times \; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\; ^\; \{(1)\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\; \{\backslash \; text\; \{with\; sizes\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; n\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \backslash \; (mn)\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и пусть

$q\; =\; 1\; -\; \sum \; ipi\; (\; 2)\; знак\; равно\; п\; 0\; +\; \sum \; ipi\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{(2)\}\; =\; p\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{(1)\}\}$

Предельное распределение $X\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{X\}\}\; ^\; \{(1)\}\}$равно $NM\; (\; Икс\; 0,\; п\; 0\; /\; q,\; п\; (1)\; /\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{NM\}\; (x\_\; \{0\},\; p\_\; \{0\}\; /\; q,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\; ^\; \{(1)\}\; /\; q)\}$. То есть маргинальное распределение также является отрицательным полиномиальным с удалением $p\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\; ^\; \{(2)\}\}$, а оставшиеся p правильно масштабированы, чтобы добавить к одному.

Одномерное маргинальное $m\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1\}$- это отрицательное биномиальное распределение.

Независимые суммы

Если $X\; 1\; \sim \; NM\; (r\; 1,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{NM\}\; (r\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\}$и If $X\; 2\; \sim \; NM\; (r\; 2,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{NM\}\; (r\_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\}$независимы, тогда $X\; 1\; +\; X\; 2\; \sim \; NM\; (r\; 1\; +\; r\; 2,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{NM\}\; (r\_\; \{1\}\; +\; r\_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\}$. Аналогично и наоборот, из характеристической функции легко увидеть, что отрицательный многочлен бесконечно делим.

Агрегация

Если

$X\; =\; (X\; 1,\dots ,\; X\; m)\; \sim \; NM\; \; (Икс\; 0,\; (п\; 1,\dots ,\; pm))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{m\})\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{NM\}\; (x\_\; \{0\},\; (p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{m\}))\}$

тогда, если случайные величины с индексами i и j исключены из вектора и заменены их суммой,

$X\; \prime \; =\; (X\; 1,\dots ,\; X\; i\; +\; X\; j,\dots ,\; X\; m)\; \sim \; NM\; \; (x\; 0,\; (p\; 1,\dots ,\; pi\; +\; pj,\dots ,\; pm)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \text{'}=\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{i\}\; +\; X\_\; \{j\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{m\})\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{NM\}\; (x\_\; \{0\},\; (p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{i\}\; +\; p\_\; \{j\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{m\})).\}$

Это свойство агрегирования можно использовать для получения предельного распределения $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$упомянутый выше.

Корреляционная матрица

Элементы корреляционной матрицы :

$\rho \; (X\; i,\; X\; i)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (X\_\; \{i\; \},\; X\_\; \{i\})\; =\; 1.\}$

$\rho \; (X\; i,\; X\; j)\; =\; cov\; \; (X\; i,\; X\; j)\; var\; \; (X\; i)\; var\; \; (X\; j)\; =\; pipj\; (p\; 0\; +\; pi)\; (p\; 0\; +\; pj).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{cov\}\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\})\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X\_\; \{\; i\})\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X\_\; \{j\})\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{i\}\; p\_\; \{j\}\}\; \{(p\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{i\})\; (p\_\; \{0\; \}\; +\; p\_\; \{j\})\}\}\}.\}$

Метод моментов

Если мы позволим среднему вектору отрицательного многочлена быть

$\mu \; =\; x\; 0\; p\; 0\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$

и ковариационная матрица

$\Sigma \; знак\; равно\; Икс\; 0\; п\; 0\; 2\; пп\; \text{'}+\; Икс\; 0\; п\; 0\; диаг\; (р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \text{'}+\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{p\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\})\}$,

тогда это через свойства определителей легко показать, что $|\; \Sigma \; |\; Знак\; равно\; 1\; п\; 0\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; м\; \mu \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\}$. Отсюда можно показать, что

$x\; 0\; =\; \sum \; \mu \; i\; \prod \; \mu \; i\; |\; \Sigma \; |\; -\; \prod \; \mu \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; prod\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\}\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; |\; -\; \backslash \; prod\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\}\}\}$

и

$p\; =\; |\; \Sigma \; |\; -\; \prod \; \mu \; i\; |\; \Sigma \; |\; \sum \; \mu \; i\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; |\; -\; \backslash \; prod\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\}\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; |\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}.\}$

Подстановка моментов выборки дает метод моментов оценок

$x\; ^\; 0\; =\; (\sum \; i\; =\; 1\; mxi\; ¯)\; \prod \; i\; =\; 1\; mxi\; ¯\; |\; S\; |\; -\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; мкси\; ¯\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{х\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{(\backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{м\}\; \{\{\backslash \; бар\; \{x\_\; \{i\}\}\})\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; bar\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; |\; -\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; bar\; \{\; x\_\; \{i\}\}\}\}\}\}$

и

$p\; ^\; =\; (|\; S\; |\; -\; \prod \; i\; =\; 1\; mx\; ¯\; i\; |\; S\; |\; \sum \; i\; =\; 1\; mx\; ¯\; i)\; x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; |\; -\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{i\})\; \}\}\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; bar\; \{x\; \}\}\}\}$

• Отрицательное биномиальное распределение
• Мультиномиальное распределение
• Обратное распределение Дирихле, сопряженное априорное для отрицательного полиномиального
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

1. ^Ле Галл, Ф. Режимы отрицательного полиномиального распределения, Статистические и вероятностные письма, Том 76, выпуск 6, 15 марта 2006 г., страницы 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016 / j.spl.2005.09.009.

Уоллер Л.А., Зельтерман Д. (1997). Логлинейное моделирование с отрицательным многочленным распределением. Биометрия 53: 971-82.

Johnson, Norman L.; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1997). «Глава 36: Отрицательные полиномиальные и другие полиномиальные распределения». Дискретные многомерные распределения. Вайли. ISBN 978-0-471-12844-1.