Метод минимаксного Кондорсе

В системах голосования метод минимакс является одним из нескольких методов Кондорсе, используемых для подсчета голосов и определения победитель при использовании рейтингового голосования в выборах с одним победителем. Он также известен как метод Симпсона – Крамера, а метод последовательного обращения .

Minimax выбирает в качестве победителя кандидата, наибольшее попарное поражение которого меньше наибольшего попарного поражения любого другого кандидата..

• 1 Описание метода
  • 1.1 Варианты попарной оценки
• 2 Критерии удовлетворения и неудовлетворенности
• 3 Примеры
  • 3.1 Пример с победителем по Кондорсе
  • 3.2 Пример с победителем по Кондорсе который не выбран победителем (для парного противостояния)
  • 3.3 Пример без победителя Кондорсе
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Минимакс выбирает кандидат, у которого наибольшая парная оценка другого кандидата против него или нее является наименьшей такой оценкой среди всех кандидатов.

Формально, пусть $оценка\; \; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{score\}\; (X,\; Y)\}$обозначает попарную оценку для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$против $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Тогда кандидат, $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$, выбранный с помощью минимакса (также известный как победитель), определяется следующим образом:

$W\; =\; arg\; \; min\; X\; (max\; Y\; score\; \; (Y,\; X))\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; min\; \_\; \{X\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; max\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; operatorname\; \{score\}\; (Y,\; X)\; \backslash \; right)\}$

Варианты попарной оценки

Когда разрешено ранжировать кандидатов одинаково или не ранжировать всех кандидатов, возможны три интерпретации правила. Когда избиратели должны оценить всех кандидатов, все три варианта эквивалентны.

Пусть $d\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (X,\; Y)\}$будет количеством избирателей, имеющих рейтинг X над Y. Варианты определяют результат $оценка\; \; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{score\}\; (X,\; Y)\}$для кандидата X против Y как:

1. Число избирателей, имеющих рейтинг X выше Y, но только если это количество очков превышает количество избирателей, оценивающих Y выше X. Если нет, то оценка X против Y равна нулю. Этот вариант иногда называют выигравшие голоса .
   • $оценка\; \; (X,\; Y):\; =\; \{d\; (X,\; Y),\; d\; (X,\; Y)>d\; (Y,\; X)\; 0,\; else\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; имя\; оператора\; \{оценка\}\; (X,\; Y):\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; d\; (X,\; Y),\; d\; (X,\; Y)>d\; (Y,\; X)\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$
2. Число избирателей, имеющих рейтинг X выше Y минус количество избирателей, имеющих рейтинг Y выше X. Это вариант вызывается с использованием полей .
   • $score\; \; (X,\; Y):\; =\; d\; (X,\; Y)\; -\; d\; (Y,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{score\}\; (X,\; Y):\; =\; d\; (\; X,\; Y)\; -d\; (Y,\; X)\}$
3. Количество избирателей, имеющих рейтинг X выше Y, независимо от того, имеет ли большее количество избирателей X рейтинг выше Y или наоборот. Этот вариант иногда называют парным противостоянием .
   • $оценка\; \; (X,\; Y):\; =\; d\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{score\}\; (X,\; Y):\; =\; d\; (X,\; Y)\}$

Когда используется один из первых двух вариантов, метод можно переформулировать ed как: «Не принимать во внимание самое слабое попарное поражение, пока один из кандидатов не станет непобежденным». «Непобежденный» кандидат имеет против себя максимальный балл, равный нулю или отрицательный.

Минимакс с использованием выигравших голосов или разницы удовлетворяет Кондорсе и критерию большинства, но не критерию Смита, критерий взаимного большинства, критерий независимости клонов или критерий проигравшего Кондорсе. При использовании выигравших голосов минимакс также удовлетворяет критерию множественности.

. Когда используется вариант попарного противостояния, минимакс также не удовлетворяет критерию Кондорсе. Однако, когда разрешено равное ранжирование, нет никакого стимула ставить одного кандидата по первому выбору ниже другого в своем рейтинге. Он также удовлетворяет критерию без ущерба, что означает, что, перечисляя дополнительные, более низкие предпочтения в своем рейтинге, нельзя заставить предпочтительного кандидата проиграть.

Маркус Шульце модифицировал минимакс, чтобы удовлетворить нескольким из вышеуказанных критериев.

Пример с победителем по Кондорсе

• v
• t

Представьте, что Теннесси проводит выборы в месте расположения его столицы. Население Теннесси сосредоточено вокруг четырех крупных городов, расположенных по всему штату. Для этого примера предположим, что весь электорат проживает в этих четырех городах и что каждый хочет жить как можно ближе к столице.

Кандидатами в столицу являются:

• Мемфис, крупнейший город штата, с 42% избирателей, но расположенный далеко от других городов
• Нэшвилл, с 26 % избирателей, недалеко от центра штата
• Ноксвилл, с 17% избирателей
• Чаттануга, с 15% избирателей

Предпочтения избирателей будут разделены примерно так:

Результаты попарных оценок будут сведены в следующую таблицу:

• [X] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата в списке. в заголовке столбца к кандидату, указанному в заголовке строки
• [Y] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца

Результат: В целом три альтернативы Нашвилл, столица в реальной жизни, имеет самую низкую ценность и выбирается победителем.

Пример с победителем по Кондорсе, который не избран победителем (для парного противостояния)

Предположим, что три кандидата A, B и C и избиратели со следующими предпочтениями:

Результаты будут сведены в следующую таблицу:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в столбце. caption

Результат : с альтернативными вариантами выигрыша голосов и разницы победитель Кондорсе A объявляется победителем Minimax. Однако, используя альтернативу парного противостояния, C объявляется победителем, поскольку меньше избирателей решительно возражают против него в его худшем парном счете против A, чем против A в его худшем парном счете против B.

Пример без победителя по Кондорсе

Предположим, что четыре кандидата A, B, C и D. Избирателям разрешено не рассматривать некоторых кандидатов (в таблице указано «н / д»), так что их бюллетени не принимаются во внимание. для попарных оценок этих кандидатов.

Результаты будут сведены в следующую таблицу:

• [X] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата. указан в заголовке строки к кандидату, указанному в заголовке столбца

Результат : Каждая из трех альтернатив tives дает другого победителя:

• альтернатива выигравших голосов выбирает A в качестве победителя, поскольку она имеет наименьшее значение 35 голосов для победителя в его наибольшем поражении;
• альтернатива маржи выбирает B в качестве победителя, так как он имеет наименьшую разницу голосов в его наибольшем поражении;
• и попарная оппозиция выбирает проигравшего Кондорсе D в качестве победителя, поскольку у него самые низкие голоса самого большого оппонента во всех парных оценках.

• Minimax - основная статья о минимаксе
• Модель максимина Уолда - модель максимина Уолда

• Левин, Джонатан, и Барри Налебафф. 1995. "Введение в схемы подсчета голосов". Journal of Economic Perspectives, 9 (1): 3–26.

• Описание методов ранжированного голосования бюллетенями: Simpson Роба Легранда
• Класс Кондорсе PHP библиотека, поддерживающая несколько методов Кондорсе, включая три варианта метода Minimax.
• Electowiki: minmax