Microbundle

редактировать

В математике микробандл является обобщением концепции векторной связки, введенной американским математик Джон Милнор в 1964 году. Это позволяет создавать объекты, похожие на связки, в ситуациях, когда они обычно не считаются существующими. Например, касательное расслоение определено для гладкого многообразия, но не для топологического многообразия. Использование микробандлеров позволяет определить топологическое касательное расслоение.

Содержание

1 Определение
2 Результаты
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Определение

Ниже приводится точное определение микробандла. Пусть B - топологическое пространство . Тогда n-микробандл состоит из тройки $(E, i, p) {\ displaystyle (E, i, p)}$ ${\ displaystyle (E, i, p)}$ , где E - топологическое пространство («общее пространство»), i - это карта из B в E («нулевое сечение»), а p - это карта из E в B («карта проекции»). Кроме того, есть два условия:

композиция i, за которой следует p, должна быть идентичностью;
для каждого b в B должна быть окрестность $V b {\ displaystyle V_ {b }}$ $V_ {b}$ из $i (b) {\ displaystyle i (b)}$ ${\ displaystyle i (b)}$ в E, так что p ограничено $V b {\ displaystyle V_ {b}}$ $V_ {b}$ выглядит как проекция $U b × R n → U b {\ displaystyle U_ {b} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to U_ {b}}$ ${\ displaystyle U_ {b} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to U_ {b}}$ .

Примечание. что первое условие предполагает, что i является нулевым сечением векторного расслоения, а второе похоже на условие на расслоении. Важным отличием здесь является то, что «локальная тривиальность» для микробандлеров имеет место только в окрестности нулевого сечения. Вдали от этого района E мог выглядеть очень дико. Кроме того, карты, склеивающие вместе локально тривиальные участки микрогруппировки, могут только перекрывать волокна.

Результаты

Два микробассета изоморфны, если они имеют окрестности своих нулевых участков, которые гомеоморфны по карте, которая заставляет необходимые карты коммутировать. Существуют типичные операции с пакетами, такие как индуцированные пакеты при откате.

Теорема Джеймса Кистера и Барри Мазура утверждает, что существует окрестность нулевого сечения, которая на самом деле представляет собой пучок волокон с волокном $R n {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ и структурная группа $Homeo ⁡ (R n, 0) {\ displaystyle \ operatorname {Homeo} (\ mathbb {R} ^ {n}, 0)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Homeo} (\ mathbb {R} ^ {n}, 0)}$ , группа гомеоморфизмов $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , фиксирующих начало координат. Эта окрестность уникальна до изотопии. Таким образом, каждое микрорасслоение может быть уточнено до фактического расслоения по существу уникальным способом.

Для многообразия M, топологического многообразия, существует микробассло, заданное диагональным отображением $M → M × M { \ displaystyle M \ to M \ times M}$ ${\ displaystyle M \ to M \ times M }$ и проекция на первую координату. Взяв содержащийся в нем расслоение, мы получим топологическое касательное расслоение. Интуитивно это расслоение получается путем взятия системы небольших карт для M, позволяя каждой карте U иметь слой U над каждой точкой карты и склеивая эти тривиальные расслоения вместе, перекрывая слои в соответствии с картами переходов.

Теория микробандлеров является неотъемлемой частью работы Робиона Кирби и Лорана С. Зибенмана над гладкими структурами и PL-структурами. на многомерных коллекторах.

Ссылки

^Милнор, Джон Уиллард (1964). «Микросвязки. I». Топология. 3: 53–80. doi : 10.1016 / 0040-9383 (64) 90005-9. MR 0161346.
^Кистер, Джеймс М. (1964). «Микросвязки - это пучки волокон». Анналы математики. 80(1): 190–199. doi : 10.2307 / 1970498. MR 0180986.
^Кирби, Робион С. ; Siebenmann, Laurent C. (1977). Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям (PDF). Анналы математических исследований. 88 . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3. MR 0645390.

Голд, Дэвид; Гринвуд, Сина (2000). «Микросвязки, коллекторы и метризуемость». Труды Американского математического общества. 128 (9): 2801–2808. doi : 10,1090 / s0002-9939-00-05343-0. MR 1664358.
Свитцер, Роберт М. (2002). Алгебраическая топология - гомотопия и гомологии. Классика по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42750-6. MR 1886843.См. Главу 14.

Внешние ссылки

Microbundle в Manifold Atlas.