Лагранжева и эйлерова спецификация поля потока

. В классических теориях поля, лагранжева спецификация поля потока - это способ взглянуть на движение жидкости, когда наблюдатель следует за индивидуальной частицей жидкости, когда она движется в пространстве и времени. Построение графика положения отдельного участка во времени дает линию пути участка. Это можно представить себе, как будто вы сидите в лодке и плывете по реке.

Эйлерова спецификация поля потока - это способ взглянуть на движение жидкости, которое фокусируется на определенных местах в пространстве, через которое жидкость течет с течением времени. Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через определенное место.

Лагранжевые и эйлеровы спецификации поля потока иногда условно обозначаются как лагранжевые и эйлеровы системы отсчета . Однако, как правило, как лагранжева, так и эйлерова спецификация поля потока может применяться в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета.

Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике, где в «эйлеровом» моделировании используется фиксированная сетка, а в «лагранжевых» (например, модели без сетки ), которые могут перемещаться вслед за полем скорости .

В спецификации Эйлера поля поле поле представлено как функция положения x и время t. Например, скорость потока представлена ​​функцией

$u\; (x,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; right).\}$

С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные частицы жидкости отслеживаются во времени. Частицы жидкости помечены некоторым (не зависящим от времени) векторным полем x0. (Часто x0выбирается как положение центра масс участков в некоторый начальный момент времени t 0. Он выбирается именно таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы на Таким образом, центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u посылки.) В лагранжевом описании поток описывается функцией

$X\; (x\; 0,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0\},\; t\; \backslash \; right),\}$

, задающий положение частицы с меткой x0в момент времени t.

Эти две спецификации связаны следующим образом:

$u\; (X\; (x\; 0,\; t),\; t)\; =\; \partial \; X\; \partial \; t\; (x\; 0,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0\},\; t),\; t\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \_\; \{0\},\; t\; \backslash \; right),\}$

, потому что обе стороны описывают скорость частицы с меткой x0в момент времени t.

В выбранной системе координат x0и x упоминаются как лагранжевые координаты и эйлеровы координаты потока.

Лагранжевые и эйлеровы спецификации кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемая производной Лагранжа, конвективной производной, субстанциальной производной или производной частиц).

Предположим, у нас есть поле потока u, и нам также дано общее поле с эйлеровым спецификация F(x, т). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным участком потока. Это можно вычислить как

$DFD\; t\; =\; \partial \; F\; \partial \; t\; +\; (u\; \cdot \; \nabla )\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{D\}\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{F\},\}$

где ∇ обозначает оператор набла по отношению к x, а оператор u ⋅∇ должен применяться к каждому компоненту F . Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F по мере того, как частицы жидкости движутся через поле потока, описываемое ее эйлеровой спецификацией u, равна сумме локальной скорости изменение и конвективная скорость изменения F . Это является следствием правила цепочки , поскольку мы дифференцируем функцию F(X(x0, t), t) по t.

Законы сохранения для единицы массы имеют лагранжеву форму, которая вместе с сохранением массы дает эйлерово сохранение; напротив, когда частицы жидкости могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера.

• Форма сохранения
• Контурная адвекция
• Эквивалентная широта
• Обобщенное лагранжевое среднее
• отслеживание лагранжевых частиц
• Полулагранжева схема
• Линии тока, штриховые линии и траектории
• Траектория (гидромеханика)
• Стохастический метод Эйлера с лагранжеем

• Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. doi : 10.1007 / 978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
• Бэтчелор, GK (1973), Введение в гидродинамику, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09817-5
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Е.М. (1987), Механика жидкости, 2-е издание (Курс теоретической физики, том 6), Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0750627672
• Лэмб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Фалькович, Грегори (2011), Механика жидкости (краткий курс для физиков), Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4