Формула Кубо

редактировать

Формула Кубо, названная в честь Риого Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году, представляет собой уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины из-за зависящего от времени возмущения.

Среди многочисленных приложений формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивость систем электронов в реакция на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Общая формула Кубо

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом $H 0 {\ displaystyle H_ {0}}$ $H_{0}$ . Ожидаемое значение физической величины, описываемое оператором $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ , можно оценить как:

⟨A ^⟩ = 1 Z 0 Tr [ρ 0 ^ A ^] = 1 Z 0 ∑ n ⟨n | A ^ | n⟩ е - β E N {\ Displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = {1 \ over Z_ {0}} \ OperatorName {Tr} \, [{\ hat {\ rho _ {0}} } {\ hat {A}}] = {1 \ over Z_ {0}} \ sum _ {n} \ langle n | {\ hat {A}} | n \ rangle e ^ {- \ beta E_ {n} }}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = {1 \ over Z_ {0}} \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho _ {0}}} {\ hat {A}}] = {1 \ over Z_ {0}} \ sum _ {n} \ langle n | {\ hat {A}} | n \ rangle e ^ {- \ beta E_ {n}}}

ρ 0 ^ = e - β H ^ 0 = ∑ n | n⟩ ⟨n | е - β E N {\ Displaystyle {\ hat {\ rho _ {0}}} = e ^ {- \ beta {\ hat {H}} _ {0}} = \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | e ^ {- \ beta E_ {n}}}

{\ hat {\ rho _ {0}}} = e ^ {{- \ beta {\ hat {H}} _ {0}}} = \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | e ^ {{- \ beta E_ { n}}}

где $Z 0 = Tr [ρ ^ 0] {\ displaystyle Z_ {0} = \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} _ {0}]}$ ${\ displaystyle Z_ {0 } = \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} _ {0}]}$ - это функция разделения. Предположим теперь, что чуть позже некоторого времени $t = t 0 {\ displaystyle t = t_ {0}}$ $t = t_0$ к системе применяется внешнее возмущение. Возмущение описывается дополнительной временной зависимостью в гамильтониане: $H ^ (t) = H ^ 0 + V ^ (t) θ (t - t 0), {\ displaystyle {\ hat {H}} ( t) = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t) \ theta (t-t_ {0}),}$ ${\ hat {H}} (t) = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t) \ theta (t-t_ { 0}),$ где $θ (t) {\ displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ - это функция Хевисайда (= 1 для положительных значений времени, = 0 в противном случае) и $V ^ (t) {\ displaystyle { \ hat {V}} (t)}$ ${\ hat V} (t)$ эрмитов и определен для всех t, так что $H ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {H}} (t)}$ ${\ hat H} (t)$ имеет для положительного $t - t 0 {\ displaystyle t-t_ {0}}$ $t-t_{0}$ снова полный набор действительных собственных значений $E n (t). {\ displaystyle E_ {n} (t).}$ $E_ {n} (t).$ Но эти собственные значения могут изменяться со временем.

Однако можно снова найти временную эволюцию матрицы плотности $ρ ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {\ rho}} (t)}$ ${\ hat {\ rho}} (t)$ rsp. статистической суммы $Z (t) = Tr [ρ ^ (t)], {\ displaystyle Z (t) = \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} (t)], }$ ${\ displaystyle Z (t) = \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} (t)],}$ для оценки математического ожидания $⟨A ^⟩ = Tr [ρ (t) A ^] / Tr [ρ ^ (t)]. {\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ operatorname {Tr} \, [\ rho (t) \, {\ hat {A}}] / \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} (t)].}$ ${\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ operatorname {Tr} \, [\ rho (t) \, {\ hat {A}}] / \ operatorname {Tr} \, [{\ hat {\ rho}} (t)].}$

Временная зависимость состояний $| n (t)⟩ {\ displaystyle | n (t) \ rangle}$ $| n (t) \ rangle$ регулируется уравнением Шредингера $i ∂ t | п (t)⟩ = H ^ (t) | n (t)⟩, {\ displaystyle i \ partial _ {t} | n (t) \ rangle = {\ hat {H}} (t) | n (t) \ rangle,}$ $i \ partial _ {t} | n (t) \ rangle = {\ hat {H}} (t) | n (t) \ rangle,$ который таким образом определяет все, что, конечно же, соответствует изображению Шредингера. Но поскольку $V ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}$ ${\ hat {V}} (t)$ следует рассматривать как небольшое возмущение, теперь удобно использовать вместо изображение взаимодействия представление, $| n ^ (t)⟩, {\ displaystyle | {\ hat {n}} (t) \ rangle,}$ $| {\ hat n} (t) \ rangle,$ в самом низком нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении определяется как $| n (t)⟩ = e - i H ^ 0 t | n ^ (t)⟩ = e - i H ^ 0 t U ^ (t, t 0) | n ^ (t 0)⟩, {\ displaystyle | n (t) \ rangle = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} t} | {\ hat {n}} (t) \ rangle = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} t} {\ hat {U}} (t, t_ {0}) | {\ hat {n}} (t_ {0}) \ rangle,}$ $| n (t) \ rangle = e ^ {{- i {\ hat H} _ {0} t}} | {\ hat {n}} (t) \ rangle = e ^ {{- i {\ hat H} _ {0} t}} {\ hat {U}} (t, t_ { 0}) | {\ hat {n}} (t_ {0}) \ rangle,$ где по определению для всех t и $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ это: $| п ^ (t 0)⟩ = e i H ^ 0 t 0 | n (t 0)⟩ {\ displaystyle | {\ hat {n}} (t_ {0}) \ rangle = e ^ {i {\ hat {H}} _ {0} t_ {0}} | n (t_ {0}) \ rangle}$ $| {\ hat {n}} (t_ {0}) \ rangle = e ^ {{i {\ hat H} _ {0} t_ {0}}} | n (t_ {0}) \ rangle$

В линейном порядке в $V ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}$ ${\ hat {V}} (t)$ , у нас есть $U ^ (T, T 0) знак равно 1 - я ∫ T 0 tdt ′ V ^ (t ′) {\ Displaystyle {\ Hat {U}} (t, t_ {0}) = 1-я \ int _ {t_ {0 }} ^ {t} dt '{\ hat {V}} (t')}$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{{t_{0}}}^{t}dt'{\hat V}(t')$ . Таким образом, можно получить математическое ожидание $A ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {A}} (t)}$ ${\ hat {A}} (t)$ с точностью до линейного порядка в возмущении.

A ^ (t)⟩ = ⟨A ^⟩ 0 - i ∫ t 0 t d t ′ 1 Z 0 ∑ n e - β E n ⟨n (t 0) | A ^ (t) V ^ (t ′) - V ^ (t ′) A ^ (t) | n (t 0)⟩ знак равно ⟨A ^⟩ 0 - я ∫ t 0 tdt ′ ⟨[A ^ (t), V ^ (t ′)]⟩ 0 {\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ langle {\ hat {A}} (t) \ rangle = \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {0} -i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '{1 \ над Z_ {0}} \ sum _ {n} e ^ {- \ beta E_ {n}} \ langle n (t_ {0}) | {\ hat {A}} (t) {\ hat {V}} (t ') - {\ hat {V}} (t') {\ hat {A}} (t) | n (t_ {0}) \ rangle \\ = \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {0} -i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '\ langle [{\ hat {A}} (t), {\ hat {V}} (t')] \ rangle _ {0} \ end {array}}}

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{{t_{0}}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{{-\beta E_{n}}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{{t_{0}}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Скобки $⟨⟩ 0 {\ displaystyle \ langle \ rangle _ {0}}$ $\ langle \ rangle _ { 0}$ означают равновесное среднее относительно гамильтониана $H 0. {\ displaystyle H_ {0}.}$ $H_{0}.$ Следовательно, хотя результат имеет первый порядок по возмущению, он включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно имеет место в теории возмущений, и устраняет все сложности которые в противном случае могли бы возникнуть для $t>t 0 {\ displaystyle t>t_ {0}}$ $t>t_ {0}$ .

Вышеприведенное выражение верно для любого типа операторов. (см. также Второе квантование )

См. Также

Отношения Грина – Кубо

Ссылки