Теория пластин Кирхгофа – Лява

редактировать

Деформация тонкой пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный цвет) и нормали к средней поверхности (синий)

Теория пластин Кирхгофа – Лява представляет собой двумерную математическую модель, которая используется для определения напряжений и деформаций. в тонких пластинах, подверженных воздействию сил и моментов. Эта теория является расширением теории пучка Эйлера-Бернулли и была разработана в 1888 году Лавом с использованием предположений, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что плоскость средней поверхности может использоваться для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

Следующие кинематические допущения, которые сделаны в этой теории:

прямые линии, нормальные к средней поверхности, остаются прямыми после деформации
прямые линии, нормальные к средней поверхности, остаются нормальными к средняя поверхность после деформации
толщина пластины не изменяется во время деформации.

Содержание

1 Предполагаемое поле смещения
2 Квазистатические пластины Кирхгофа-Лява
- 2.1 Деформация-смещение соотношения
- 2.2 Уравнения равновесия
- 2.3 Граничные условия
- 2.4 Определяющие соотношения
- 2.5 Малые деформации и умеренные вращения
3 Изотропные квазистатические пластины Кирхгофа-Лява
- 3.1 Чистый изгиб
- 3.2 Изгиб под поперечная нагрузка
- 3.3 Цилиндрический изгиб
4 Динамика пластин Кирхгофа-Лява
- 4.1 Управляющие уравнения
- 4.2 Изотропные пластины
5 Ссылки
6 См. также

Предполагаемое поле смещения

Пусть вектор положения точки в недеформированной пластине будет $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ . Тогда

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ≡ x i e i. {\ displaystyle \ mathbf {x} = x_ {1} {\ boldsymbol {e}} _ {1} + x_ {2} {\ boldsymbol {e}} _ {2} + x_ {3} {\ boldsymbol {e }} _ {3} \ Equiv x_ {i} {\ boldsymbol {e}} _ {i} \,.}

{\ mathbf {x}} = x_ {1} {\ boldsymbol {e}} _ {1} + x_ {2} {\ boldsymbol {e}} _ {2} + x_ {3} {\ boldsymbol {e}} _ {3} \ Equiv x_ {i} {\ boldsymbol {e}} _ {i} \,.

Векторы $ei {\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {i} }$ ${\ boldsymbol {e}} _ {i}$ образуют декартово базис с началом на средней поверхности пластины, $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, а $x 3 {\ displaystyle x_ {3} }$ $x_ {3}$ - координата направления толщины.

Пусть смещение точки на пластине будет $u (x) {\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x})}$ $\ mathbf {u} (\ mathbf {x})$ . Тогда

u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ≡ uiei {\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} {\ boldsymbol {e}} _ {1} + u_ {2 } {\ boldsymbol {e}} _ {2} + u_ {3} {\ boldsymbol {e}} _ {3} \ Equiv u_ {i} {\ boldsymbol {e}} _ {i}}

{\ mathbf {u}} = u_ {1} {\ boldsymbol {e}} _ { 1} + u_ {2} {\ boldsymbol {e}} _ {2} + u_ {3} {\ boldsymbol {e}} _ {3} \ Equiv u_ {i} {\ boldsymbol {e}} _ {i }

Это смещение может быть разложено на векторную сумму смещения средней поверхности $u α 0 {\ displaystyle u _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ displaystyle u _ {\ alpha} ^ {0}}$ и смещения вне плоскости $w 0 {\ displaystyle w ^ {0}}$ $w^0$ в направлении $x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$ . Мы можем записать смещение средней поверхности в плоскости как

u 0 = u 1 0 e 1 + u 2 0 e 2 ≡ u α 0 e α {\ displaystyle \ mathbf {u} ^ {0} = u_ {1} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {1} + u_ {2} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {2} \ Equiv u _ {\ alpha} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {\ alpha}}

{\ mathbf {u} } ^ {0} = u_ {1} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {1} + u_ {2} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {2} \ Equiv u _ {\ alpha} ^ {0} {\ boldsymbol {e}} _ {\ alpha}

Обратите внимание, что индекс $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ принимает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

$u α (x) = u α 0 (x 1, x 2) - x 3 ∂ w 0 ∂ x α ≡ u α 0 - x 3 w, α 0; α знак равно 1, 2 U 3 (Икс) знак равно вес 0 (Икс 1, Икс 2) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} и _ {\ альфа} (\ mathbf {x}) = u _ {\ alpha} ^ { 0} (x_ {1}, x_ {2}) - x_ {3} ~ {\ frac {\ partial w ^ {0}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ Equiv u _ {\ alpha} ^ { 0} -x_ {3} ~ w _ {, \ alpha} ^ {0} ~; ~~ \ alpha = 1,2 \\ u_ {3} (\ mathbf {x}) = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} u _ {\ alpha} ({\ mathbf {x}}) = u _ {\ alpha} ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) - x_ {3} ~ {\ frac { \ partial w ^ {0}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ Equiv u _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ w _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~; ~ ~ \ alpha = 1,2 \\ u_ {3} ({\ mathbf {x}}) = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) \ end {align}}$

Если $φ α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$ $\ varphi _ {\ alpha}$ - это углы поворота нормально к средней поверхности, тогда в теории Кирхгофа-Лява

φ α = w, α 0 {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} = w _ {, \ alpha} ^ {0} }

\ varphi _ {\ alpha} = w _ {{, \ alpha}} ^ {0}

Обратите внимание, что мы можем думать о выражении для $u α {\ displaystyle u _ {\ alpha}}$ $u _ {\ alpha}$ как о расширении серии Тейлора первого порядка для смещения вокруг средняя поверхность.

Смещение средней поверхности (слева) и нормальной (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа-Лява

Первоначальная теория, разработанная Лавом, действительна для бесконечно малых деформаций и вращений. фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.

Соотношение деформация-смещение

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы, а вращение нормалей средней поверхности меньше 10 °, деформация-смещение отношения следующие:

ε α β = 1 2 (∂ u α ∂ x β + ∂ u β ∂ x α) ≡ 1 2 (u α, β + u β, α) ε α 3 = 1 2 (∂ u α ∂ Икс 3 + ∂ u 3 ∂ x α) ≡ 1 2 (u α, 3 + u 3, α) ε 33 = ∂ u 3 ∂ x 3 ≡ u 3, 3 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial x _ {\ beta}}} + {\ frac { \ partial u _ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ right) \ Equiv {\ frac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} + u _ {\ beta, \ alpha }) \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial x_ {3}}} + { \ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ right) \ Equiv {\ frac {1} {2}} (u _ {\ alpha, 3} + u_ {3, \ alpha }) \\\ varepsilon _ {33} = {\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial x_ {3}}} \ Equiv u_ {3,3} \ end {align}}}

{\ begin {align} \ varepsilon _ {{\ alpha \ beta}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial x_ { \ beta}}} + {\ frac {\ partial u _ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ right) \ Equiv {\ frac {1} {2}} (u _ {{\ alpha, \ beta}} + u _ {{\ beta, \ alpha}}) \\\ varepsilon _ {{\ alpha 3}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {\ alpha}} {\ partial x_ {3}}} + {\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial x _ {\ alpha}}} \ right) \ Equiv {\ frac {1} {2} } (u _ {{\ alpha, 3}} + u _ {{3, \ alpha}}) \\\ varepsilon _ {{33}} = {\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial x_ { 3}}} \ Equiv u _ {{3,3}} \ end {align}}

где $β = 1, 2 {\ displaystyle \ beta = 1,2}$ ${\ displaystyle \ beta = 1,2}$ as $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ .

Используя кинематические допущения, мы имеем

$ε α β = 1 2 (u α, β 0 + u β, α 0) - x 3 w, α β 0 ε α 3 знак равно - вес, α 0 + вес, α 0 знак равно 0 ε 33 знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ tfrac {1} {2 }} (u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0}) - x_ {3} ~ w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} = - w _ {, \ alpha} ^ {0} + w _ {, \ alpha} ^ {0} = 0 \\\ varepsilon _ {33} = 0 \ end {выровнено}} }$ $\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = \ tfrac {1} {2} (u ^ 0 _ {\ alpha, \ beta} + u ^ 0 _ {\ beta, \ alpha}) - x_3 ~ w ^ 0 _ {, \ alpha \ beta} \\ \ varepsilon _ {\ alpha 3} = - w ^ 0 _ {, \ alpha} + w ^ 0 _ {, \ alpha} = 0 \\ \ varepsilon_ {33} = 0 \ end {align}$

Следовательно, ненулевые деформации только в плоскостях.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия для пластины могут быть выведены из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины под квазистатической поперечной нагрузкой $q (x) {\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ эти уравнения имеют вид

∂ N 11 ∂ x 1 + ∂ N 21 ∂ x 2 = 0 ∂ N 12 ∂ x 1 + ∂ N 22 ∂ x 2 = 0 ∂ 2 M 11 ∂ x 1 2 + 2 ∂ 2 M 12 ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 M 22 ∂ x 2 2 = q {\ displaystyle {\ begin {align} {\ cfrac {\ partial N_ {11}} {\ partial x_ {1}}} + {\ cfrac {\ partial N_ {21}} {\ partial x_ {2}}} = 0 \\ {\ cfrac {\ partial N_ {12}} {\ partial x_ {1}}} + {\ cfrac {\ partial N_ {22}} {\ partial x_ {2}}} = 0 \\ { \ cfrac {\ partial ^ {2} M_ {11}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + 2 {\ cfrac {\ partial ^ {2} M_ {12}} {\ partial x_ {1 } \ partial x_ {2}}} + {\ cfrac {\ partial ^ {2} M_ {22}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} = q \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ cfrac {\ partial N _ {{11}}} {\ частичный x_ {1}}} + {\ cfr ac {\ partial N _ {{21}}} {\ partial x_ {2}}} = 0 \\ {\ cfrac {\ partial N _ {{12}}} {\ partial x_ {1}}} + {\ cfrac {\ partial N _ {{22}}} {\ partial x_ {2}}} = 0 \\ {\ cfrac {\ partial ^ {2} M _ {{11}}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + 2 {\ cfrac {\ partial ^ {2} M _ {12}}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} + {\ cfrac {\ partial ^ {2} M _ {{22}}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} = q \ end {выравнивается}}

где толщина пластины составляет $2 ч {\ displaystyle 2h}$ $2h$ . В индексных обозначениях

$N α β, α = 0 N α β: = ∫ - hh σ α β dx 3 M α β, α β - q = 0 M α β: = ∫ - hhx 3 σ α β dx 3 {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \ quad \ quad N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q = 0 \ quad \ quad M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}N_{{\alpha \beta,\alpha }}=0\quad \quad N_{{\alpha \beta }}:=\int _{{-h}}^{h}\sigma _{{\alpha \beta }}~dx_{3}\\M_{{\alpha \beta,\alpha \beta }}-q=0\quad \quad M_{{\alpha \beta }}:=\int _{{-h}}^{h}x_{3}~\sigma _{{\alpha \beta }}~dx_{3}\end{aligned}}$

где $σ α β {\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha \ beta }}$ $\sigma_{\alpha\beta}$ - напряжения.

Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Моменты и касательные напряжения

Вывод уравнений равновесия для малых вращений
Для ситуации, когда деформации и вращения пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением $δ U = ∫ Ω 0 ∫ - hh σ: δ ϵ dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ - hh σ α β δ ε α β dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ - hh [1 2 σ α β (δ u α, β 0 + δ u β, α 0) - x 3 σ α β δ w, α β 0] dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 [ 1 2 N α β (δ u α, β 0 + δ u β, α 0) - M α β δ ш, α β 0] d Ω {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon} } ~ dx_ {3} ~ d \ Omega = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} \ left [{\ frac {1} {2 }} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ (\ delta u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + \ delta u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0}) - x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \ right] ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {\ Omega ^ {0} } \ left [{\ frac {1} {2}} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ (\ delta u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + \ delta u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0}) - M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ { 0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ~ dx_ {3} ~ d \ Omega = \ int _ { {\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta \ varepsilon _ {{\ alpha \ beta}} ~ dx_ { 3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ (\ delta u _ {{\ alpha, \ beta}} ^ {0} + \ delta u _ {{\ beta, \ alpha}} ^ {0}) - x_ { 3} ~ \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha \ beta}} ^ {0} \ right] ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ (\ delta u _ {{\ alpha, \ beta}} ^ {0 } + \ delta u _ {{\ beta, \ alpha}} ^ {0}) - M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha \ beta}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \ end {align}}$ где толщина пластины равно $2 h {\ displaystyle 2h}$ $2h$ , а результирующие напряжения и результирующие моменты напряжений определены как $N α β: = ∫ - hh σ α β dx 3; M α β: знак равно ∫ - hhx 3 σ α β dx 3 {\ displaystyle N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3 } ~; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3}}$ $N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ h \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_3 ~ ; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ h x_3 ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_3$ Интеграция по частей приводит к $δ U = ∫ Ω 0 [- 1 2 (N α β, β δ u α 0 + N α β, α δ u β 0) + M α β, β δ w, α 0] d Ω + ∫ Γ 0 [1 2 (n β N α β δ u α 0 + n α N α β δ u β 0) - n β M α β δ w, α 0] d Γ {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [- {\ frac {1} {2}} ~ (N _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta u _ {\ alpha } ^ {0} + N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0}) + M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \\ + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ (n _ {\ beta} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0}) - n _ {\ beta} ~ M_ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} ~ (N _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ alpha}} ^ { 0} + N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0}) + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \\ + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ (n _ {\ beta} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0}) - n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma \ end {выравнивается}}$ Симметрия тензора напряжений означает, что $N α β Знак равно N β α {\ Displaystyle N _ {\ альфа \ бета} = N _ {\ бета \ альфа}}$ $N_{{\alpha \beta }}=N_{{\beta \alpha }}$ . Следовательно, $δ U = ∫ Ω 0 [- N α β, α δ u β 0 + M α β, β δ w, α 0] d Ω + ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 - N β M α β δ вес, α 0] d Γ {\ displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [-N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u_ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {\ Gamma ^ {0} } \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma}$ $\ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ l eft [-N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u_ {{\ beta}} ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma$ Другое интегрирование по частям дает $δ U = ∫ Ω 0 [- N α β, α δ u β 0 - M α β, β α δ вес 0] d Ω + ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 + n α M α β, β δ вес 0 - n β M α β δ w, α 0] d Γ {\ displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [-N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} -M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha } ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w_ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma}$ $\ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [-N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} -M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta }} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ альфа}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma$ Для случая, когда Если нет предписанных внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что $δ U = 0 {\ displaystyle \ delta U = 0}$ $\ delta U = 0$ . Уравнения равновесия для пластины тогда задаются следующим образом: $N α β, α = 0 M α β, α β = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = 0 \ end {align}}}$ ${\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} = 0 \ end {выровнено}}$ Если плита нагружена внешней распределенной нагрузкой $q (x) {\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ , которая перпендикулярна средней поверхности и направлена в положительном направлении $x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$ , внешняя виртуальная работа из-за нагрузки равно $δ V ext = ∫ Ω 0 q δ вес 0 d Ω {\ displaystyle \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ int _ {\ Omega ^ {0}} q ~ \ delta w ^ {0 } ~ d \ Omega}$ $\ delta V _ {{{\ mathrm {ext}}}} = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} q ~ \ delta w ^ {0} ~ d \ Omega$ Затем принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия $N α β, α = 0 M α β, α β - q = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N_ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q = 0 \ end {align}}}$ ${\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} - q = 0 \ end {align}}$

Вывод уравнений равновесия для малых вращений

Для ситуации, когда деформации и вращения пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением

δ U = ∫ Ω 0 ∫ - hh σ: δ ϵ dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ - hh σ α β δ ε α β dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ - hh [1 2 σ α β (δ u α, β 0 + δ u β, α 0) - x 3 σ α β δ w, α β 0] dx 3 d Ω = ∫ Ω 0 [ 1 2 N α β (δ u α, β 0 + δ u β, α 0) - M α β δ ш, α β 0] d Ω {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon} } ~ dx_ {3} ~ d \ Omega = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ int _ {- h} ^ {h} \ left [{\ frac {1} {2 }} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ (\ delta u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + \ delta u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0}) - x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \ right] ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {\ Omega ^ {0} } \ left [{\ frac {1} {2}} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ (\ delta u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + \ delta u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0}) - M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \ end {align}}}

{\ begin {align} \ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ { 0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ~ dx_ {3} ~ d \ Omega = \ int _ { {\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta \ varepsilon _ {{\ alpha \ beta}} ~ dx_ { 3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ (\ delta u _ {{\ alpha, \ beta}} ^ {0} + \ delta u _ {{\ beta, \ alpha}} ^ {0}) - x_ { 3} ~ \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha \ beta}} ^ {0} \ right] ~ dx_ {3} ~ d \ Omega \\ = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ (\ delta u _ {{\ alpha, \ beta}} ^ {0 } + \ delta u _ {{\ beta, \ alpha}} ^ {0}) - M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha \ beta}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \ end {align}}

где толщина пластины равно $2 h {\ displaystyle 2h}$ $2h$ , а результирующие напряжения и результирующие моменты напряжений определены как

N α β: = ∫ - hh σ α β dx 3; M α β: знак равно ∫ - hhx 3 σ α β dx 3 {\ displaystyle N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3 } ~; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3}}

N _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ h \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_3 ~ ; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ h x_3 ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_3

Интеграция по частей приводит к

δ U = ∫ Ω 0 [- 1 2 (N α β, β δ u α 0 + N α β, α δ u β 0) + M α β, β δ w, α 0] d Ω + ∫ Γ 0 [1 2 (n β N α β δ u α 0 + n α N α β δ u β 0) - n β M α β δ w, α 0] d Γ {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [- {\ frac {1} {2}} ~ (N _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta u _ {\ alpha } ^ {0} + N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0}) + M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \\ + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ (n _ {\ beta} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0}) - n _ {\ beta} ~ M_ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma \ end {align}}}

{\ begin {align} \ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} ~ (N _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ alpha}} ^ { 0} + N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0}) + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega \\ + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [{\ frac {1} {2}} ~ (n _ {\ beta} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0}) - n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma \ end {выравнивается}}

Симметрия тензора напряжений означает, что $N α β Знак равно N β α {\ Displaystyle N _ {\ альфа \ бета} = N _ {\ бета \ альфа}}$ $N_{{\alpha \beta }}=N_{{\beta \alpha }}$ . Следовательно,

δ U = ∫ Ω 0 [- N α β, α δ u β 0 + M α β, β δ w, α 0] d Ω + ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 - N β M α β δ вес, α 0] d Γ {\ displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [-N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u_ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {\ Gamma ^ {0} } \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma}

\ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ l eft [-N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u_ {{\ beta}} ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma

Другое интегрирование по частям дает

δ U = ∫ Ω 0 [- N α β, α δ u β 0 - M α β, β α δ вес 0] d Ω + ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 + n α M α β, β δ вес 0 - n β M α β δ w, α 0] d Γ {\ displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [-N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} -M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha } ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w_ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma}

\ delta U = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [-N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} -M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ d \ Omega + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta }} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ альфа}} ^ {0} \ right] ~ d \ Gamma

Для случая, когда Если нет предписанных внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что $δ U = 0 {\ displaystyle \ delta U = 0}$ $\ delta U = 0$ . Уравнения равновесия для пластины тогда задаются следующим образом:

N α β, α = 0 M α β, α β = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} = 0 \ end {выровнено}}

Если плита нагружена внешней распределенной нагрузкой $q (x) {\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ , которая перпендикулярна средней поверхности и направлена в положительном направлении $x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$ , внешняя виртуальная работа из-за нагрузки равно

δ V ext = ∫ Ω 0 q δ вес 0 d Ω {\ displaystyle \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ int _ {\ Omega ^ {0}} q ~ \ delta w ^ {0 } ~ d \ Omega}

\ delta V _ {{{\ mathrm {ext}}}} = \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} q ~ \ delta w ^ {0} ~ d \ Omega

Затем принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия

N α β, α = 0 M α β, α β - q = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N_ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} - q = 0 \ end {align}}

Граничные условия

Граница условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, могут быть получены из граничных членов в принципе виртуальная работа. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия следующие:

n α N α β oru β 0 n α M α β, β orw 0 n β M α β orw, α 0 {\ displaystyle {\ begin { выровнено} n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} \ quad \ mathrm {или} \ quad u _ {\ beta} ^ {0} \\ n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} \ quad \ mathrm {или} \ quad w ^ {0} \\ n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} \ quad \ mathrm {или} \ quad w _ {, \ alpha} ^ { 0} \ end {align}}}

\begin{align} n_\alpha~N_{\alpha\beta} \quad \mathrm{or} \quad u^0_\beta \\ n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta} \quad \mathrm{or} \quad w^0 \\ n_\beta~M_{\alpha\beta} \quad \mathrm{or} \quad w^0_{,\alpha} \end{align}

Обратите внимание, что величина $n α M α β, β {\ displaystyle n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta}}$ $n_ \ alpha ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta}$ - эффективная сила сдвига.

Определяющие соотношения

Соотношения между напряжением и деформацией для линейной упругой пластины Кирхгофа определяются как

σ α β = C α β γ θ ε γ θ σ α 3 = C α 3 γ θ ε γ θ σ 33 знак равно C 33 γ θ ε γ θ {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {\ alpha \ beta} = C _ {\ alpha \ beta \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon _ {\ gamma \ theta} \\\ sigma _ {\ alpha 3} = C _ {\ alpha 3 \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon _ {\ gamma \ theta} \\\ sigma _ {33} = C_ { 33 \ gamma \ theta} ~ \ varepsilon _ {\ gamma \ theta} \ end {align}}}

{ \ begin {align} \ sigma _ {{\ alpha \ beta}} = C _ {{\ alpha \ beta \ gamma \ theta}} ~ \ varepsilon _ {{\ gamma \ theta}} \\\ sigma _ {{ \ alpha 3}} = C _ {{\ alpha 3 \ gamma \ theta}} ~ \ varepsilon _ {{\ gamma \ theta}} \\\ sigma _ {{33}} = C _ {{33 \ gamma \ theta}} ~ \ varepsilon _ {{\ gamma \ theta}} \ end {align}}

Поскольку $σ α 3 {\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha 3}}$ $\sigma_{\alpha 3}$ и $σ 33 {\ displaystyle \ sigma _ {33}}$ $\sigma_{33}$ не фигурируют в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими пренебрегают. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной форме могут быть записаны как

[σ 11 σ 22 σ 12] = [C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33] [ε 11 ε 22 ε 12] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} \\ \ sigma_ {22} \\ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} \\ C_ {13} и C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ varepsilon_ {11} \\ \ varepsilon_ {22} \\ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix}

Тогда

[N 11 N 22 N 12] = ∫ - hh [C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33] [ε 11 ε 22 ε 12] dx 3 = {∫ - hh [C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33] dx 3} [u 1, 1 0 u 2, 2 0 1 2 (u 1, 2 0 + u 2, 1 0)] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_ {12} \ end {bmatrix}} = \ int _ {- h} ^ {h} {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} \\ C_ { 12} C_ {22} C_ {23} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} dx_ {3} = \ left \ {\ int _ {- h} ^ {h} {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ { 13 } \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix}} ~ dx_ {3} \ right \} {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} ^ {0} \\ u_ {2,2} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ (u_ {1,2} ^ {0} + u_ {2, 1} ^ {0}) \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix } N _ {{11}} \\ N _ {{22}} \\ N _ {{12}} \ end {bmatrix}} = \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ begin {bmatrix} C_ {{11}} C _ {{12}} C _ {{13}} \\ C _ {{12}} C _ {{22}} C _ {{23}} \\ C _ {{13}} C _ {23} } C _ {{33}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {{11}} \\\ varepsilon _ {{22}} \\\ varepsilon _ {{12}} \ end { бм atrix}} dx_ {3} = \ left \ {\ int _ {{- h}} ^ {h} {\ begin {bmatrix} C _ {{11}} C _ {{12}} C _ {{13}} \ \ C _ {{12}} C _ {{22}} C _ {{23}} \\ C _ {{13}} C _ {{23}} C _ {{33}} \ end {bmatrix}} ~ dx_ {3} \ right \} {\ begin {bmatrix} u _ {{1,1}} ^ {0} \\ u _ {{2,2}} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ ( u _ {{1,2}} ^ {0} + u _ {{2,1}} ^ {0}) \ end {bmatrix}}

[M 11 M 22 M 12] = ∫ - hhx 3 [C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33] [ε 11 ε 22 ε 12] dx 3 = - {∫ - hhx 3 2 [C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33] dx 3} [w, 11 0 вес, 22 0 вес, 12 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} \\ C_ {13} и C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} dx_ {3} = - \ left \ {\ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} \\ C_ {12} C_ { 22} C_ {23} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} \ end {bmatrix}} ~ dx_ {3} \ right \} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} ^ {0} \\ w _ {, 22} ^ {0} \\ w _ {, 12} ^ {0} \ end {bmatrix}}}

{ \begin{bmatrix}M_{{11}}\\M_{{22}}\\M_{{12}}\end{bmatrix}}=\int _{{-h}}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{{11}}C_{{12}}C_{{13}}\\C_{{12}}C_{{22}}C_{{23}}\\C_{{13}}C_{{23}}C_{{33}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{{11}}\\\varepsilon _{{22}}\\\varepsilon _{{12}}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{{-h}}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{{11}}C_{{12}}C_{{13}}\\C_{{12}}C_{{22}}C_{{23}}\\C_{{13}}C_{{23}}C_{{33}}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{{,11}}^{0}\\w_{{,22}}^{0}\\w_{{,12}}^{0}\end{bmatrix}}

жесткости на растяжение - это величины

A α β : Знак равно ∫ - час С α β dx 3 {\ Displaystyle A _ {\ a lpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} C _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3}}

A _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ h C _ {\ alpha \ beta} ~ dx_3

жесткость на изгиб (также называемая жесткостью на изгиб ) - величины

D α β: = ∫ - hhx 3 2 C α β dx 3 {\ displaystyle D _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ { 3} ^ {2} ~ C _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3}}

D_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3^2~C_{\alpha\beta}~dx_3

Основные предположения Кирхгофа-Лява приводят к нулевым поперечным силам. В результате уравнения равновесия пластины должны использоваться для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа-Лява. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к

Q α = - D ∂ ∂ x α (∇ 2 w 0). {\ displaystyle Q _ {\ alpha} = - D {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ alpha}}} (\ nabla ^ {2} w ^ {0}) \,.}

Q _ {\ alpha} = - D {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ alpha}}} (\ nabla ^ {2} w ^ {0}) \,.

В качестве альтернативы, эти поперечные силы могут быть выражены как

Q α = M, α {\ displaystyle Q _ {\ alpha} = {\ mathcal {M}} _ {, \ alpha}}

Q _ {\ alpha} = {\ mathcal {M}} _ {, \ alpha}}

где

M: = - D ∇ 2 ш 0. {\ displaystyle {\ mathcal {M}}: = - D \ nabla ^ {2} w ^ {0} \,.}

{\ mathcal {M}}: = -D \ nabla ^ {2} w ^ {0} \,.

Небольшие деформации и умеренные повороты

Если вращение нормалей на средняя поверхность находится в диапазоне от 10 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^ {{\ circ}}$ до 15 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^ \ circ$ , соотношения деформация-перемещение можно аппроксимировать как

ε α β = 1 2 (u α, β + u β, α + u 3, α u 3, β) ε α 3 = 1 2 (u α, 3 + u 3, α) ε 33 = u 3, 3 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ tfrac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} + u _ {\ beta, \ alpha} + u_ {3, \ alpha} ~ u_ {3, \ beta}) \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} = {\ tfrac {1} {2}} (u _ {\ alpha, 3} + u_ {3, \ alpha}) \\\ varepsilon _ {33} = u_ {3,3} \ end {align}}}

{\ begin {align} \ varepsilon _ {{ \ alpha \ beta}} = {\ tfrac {1} {2}} (u _ {{\ alpha, \ beta}} + u _ {{\ beta, \ alpha}} + u _ {{3, \ alpha}} ~ u _ {{3, \ beta}}) \\\ varepsilon _ {{\ alpha 3}} = {\ tfrac {1} {2}} (u _ {{\ alpha, 3}} + u _ {3, \ alpha}}) \\\ varepsilon _ {{33}} = u _ {{3,3}} \ end {align}}

Тогда кинематические предположения Кирхгофа- Теория Лява приводит к классической теории пластин с фон Карманом деформациями

ε α β = 1 2 (u α, β 0 + u β, α 0 + w, α 0 w, β 0) - Икс 3 вес, α β 0 ε α 3 знак равно - вес, α 0 + вес, α 0 знак равно 0 ε 33 знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + u _ {\ beta, \ alpha} ^ {0} + w _ {, \ alpha} ^ {0} ~ w_ {, \ beta} ^ {0}) - x_ {3} ~ w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} = - w _ {, \ alpha} ^ {0} + w _ {, \ alpha} ^ {0} = 0 \\\ varepsilon _ {33} = 0 \ end {align}}}

\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = \ frac {1} {2} (u ^ 0 _ {\ alpha, \ beta} + u ^ 0 _ {\ beta, \ alpha } + w ^ 0 _ {, \ alpha} ~ w ^ 0 _ {, \ beta}) - x_3 ~ w ^ 0 _ {, \ alpha \ beta} \\ \ varepsilon _ {\ alpha 3} = - w ^ 0_ {, \ alpha} + w ^ 0 _ {, \ alpha} = 0 \\ \ varepsilon_ {33} = 0 \ end {align}

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-смещение.

Если соотношения деформация-смещение принимают форму фон Кармана, уравнения равновесия могут быть выражены как

N α β, α = 0 M α β, α β + [N α β w, β 0 ], α - Q знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} + [N _ {\ alpha \ beta} ~ w _ {, \ beta} ^ {0}] _ {, \ alpha} -q = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \\ M _ {{ \ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} + [N _ {{\ alpha \ beta}} ~ w _ {{, \ beta}} ^ {0}] _ {{, \ alpha}} - q = 0 \ end {выровнено}}

Изотропные квазистатические пластины Кирхгофа-Лява

Для изотропных и однородной пластине, отношения напряжение-деформация следующие:

[σ 11 σ 22 σ 12] = E 1 - ν 2 [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ε 11 ε 22 ε 12]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ { 22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} \,.}

\ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} \\ \ sigma_ {22} \\ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {E} {1- \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ varepsilon_ {11} \\ \ varepsilon_ {22} \\ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix} \,.

где $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - коэффициент Пуассона и $E {\ displaystyle E}$ $E$ - это модуль Юнга. Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [w, 11 0 w, 22 0 w, 12 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 {1- \ nu} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} ^ {0} \\ w _ {, 22} ^ {0} \\ w _ {, 12} ^ {0} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1- \ nu ^ 2)} ~ \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 {1- \ nu} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} w ^ 0 _ {, 11} \\ w ^ 0_{,22} \\ w^0_{,12} \end{bmatrix}

В развернутом виде,

M 11 = - D (∂ 2 w 0 ∂ x 1 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 2 2) M 22 = - D (∂ 2 w 0 ∂ x 2 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 1 2) M 12 знак равно - D (1 - ν) ∂ 2 вес 0 ∂ Икс 1 ∂ Икс 2 {\ Displaystyle {\ begin {align} M_ {11} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {2} ^ {2} }} \ right) \\ M_ {22} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ right) \\ M_ {12} = - D (1- \ nu) {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ end {align}}}

{\ begin {align} M_ { {11}} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ right) \\ M _ {{22}} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {2}} } \ right) \\ M _ {{12}} = - D (1- \ nu) {\ frac {\ partial ^ {2} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2 }}} \ end {align}}

где $D = 2 h 3 E / [3 (1 - ν 2)] = H 3 E / [12 ( 1 - ν 2)] {\ Displaystyle D = 2h ^ {3} E / [3 (1- \ nu ^ {2})] = H ^ {3} E / [12 (1- \ nu ^ {2})]}$ $D = 2h ^ {3} E / [3 (1- \ nu ^ {2})] = H ^ {3} E / [12 (1- \ nu ^ {2})]$ для пластин толщиной $H = 2 h {\ displaystyle H = 2h}$ $H=2h$ . Используя соотношения напряжения и деформации для пластин, мы можем показать, что напряжения и моменты связаны соотношением

σ 11 = 3 x 3 2 h 3 M 11 = 12 x 3 H 3 M 11 и σ 22 = 3 x 3 2 ч 3 М 22 = 12 х 3 Н 3 М 22. {\ displaystyle \ sigma _ {11} = {\ frac {3x_ {3}} {2h ^ {3}}} \, M_ {11} = {\ frac {12x_ {3}} {H ^ {3}} } \, M_ {11} \ quad {\ text {and}} \ quad \ sigma _ {22} = {\ frac {3x_ {3}} {2h ^ {3}}} \, M_ {22} = { \ frac {12x_ {3}} {H ^ {3}}} \, M_ {22} \,.}

\ sigma _ {{11}} = {\ frac { 3x_ {3}} {2h ^ {3}}} \, M _ {{11}} = {\ frac {12x_ {3}} {H ^ {3}}} \, M _ {{11}} \ quad { \ text {and}} \ quad \ sigma _ {{22}} = {\ frac {3x_ {3}} {2h ^ {3}}} \, M _ {{22}} = {\ frac {12x_ {3 }} {H ^ {3}}} \, M _ {{22}} \,.

Вверху пластины, где $x 3 = h = H / 2 {\ displaystyle x_ {3} = h = H / 2}$ $x_ {3} = h = H / 2$ , напряжения

σ 11 = 3 2 h 2 M 11 = 6 H 2 M 11 и σ 22 = 3 2 h 2 M 22 = 6 Ч 2 Месяца 22. {\ displaystyle \ sigma _ {11} = {\ frac {3} {2h ^ {2}}} \, M_ {11} = {\ frac {6} {H ^ {2}}} \, M_ {11 } \ quad {\ text {and}} \ quad \ sigma _ {22} = {\ frac {3} {2h ^ {2}}} \, M_ {22} = {\ frac {6} {H ^ { 2}}} \, M_ {22} \,.}

\ sigma _ {{11}} = {\ frac {3} {2h ^ {2}}} \, M _ {{11}} = {\ frac {6} {H ^ {2}}} \, M _ {{11}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ sigma _ {{22}} = {\ frac {3} {2h ^ {2}}} \, M _ {{22}} = {\ frac {6} {H ^ {2}}} \, M _ {{22}} \,.

Чистый изгиб

Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе определяющие уравнения сводятся к

∂ 4 вес 0 ∂ Икс 1 4 + 2 ∂ 4 вес 0 ∂ Икс 1 2 ∂ Икс 2 2 + ∂ 4 вес 0 ∂ Икс 2 4 знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w ^ {0}} {\ partial x_ {1} ^ {2} \ partial x_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w ^ {0}} {\ partial x_ {2} ^ {4 }}} = 0 \,.}

{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не меняются в зависимости от $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ . В индексной записи

w, 1111 0 + 2 w, 1212 0 + w, 2222 0 = 0 {\ displaystyle w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w _ {, 1212} ^ {0} + w_ {, 2222} ^ {0} = 0}

w _ {, 1111}} ^ {0} + 2 ~ w _ {{, 1212}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ { 0} = 0

и в прямой записи

$∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = 0}$ $\ nabla ^ 2 \ набла ^ 2 w = 0$

которое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются как

[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [w, 11 0 w, 22 0 w, 12 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E } {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w_ {, 11} ^ {0} \\ w _ {, 22} ^ {0} \\ w _ {, 12} ^ {0} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1- \ nu ^ 2)} ~ \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 11} \\ w ^ 0 _ {, 22} \\ w ^ 0 _ {, 12} \ end {bmatrix}

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба
Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе определяющие уравнения следующие: $N α β, α = 0 ⟹ N 11, 1 + N 21, 2 = 0, N 12, 1 + N 22, 2 = 0 M α β, α β знак равно 0 ⟹ M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \ подразумевает N_ {11, 1} + N_ {21,2} = 0 ~, ~~ N_ {12,1} + N_ {22,2} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = 0 \ подразумевает M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} = 0 \ end {align}}}$ ${\ begin {выровнен} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \ подразумевает N _ {{11,1}} + N _ {{ 21,2}} = 0 ~, ~~ N _ {{12,1}} + N _ {{22,2}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} = 0 \ подразумевает M _ {{11,11}} + 2M _ {{12,12}} + M _ {{22,22}} = 0 \ end {align}}$ и отношения напряжение-деформация равны $[σ 11 σ 22 σ 12] Знак равно E 1 - ν 2 [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ε 11 ε 22 ε 12] {\ displaystyle {\ begin {bmatr ix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}$ ${ \ begin {bmatrix} \ sigma _ {{11}} \\\ sigma _ {{22}} \\\ sigma _ {{12}} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {{11}} \\ \ varepsilon _ {{22}} \\\ varepsilon _ {{12}} \ end {bmatrix}}$ Тогда $[N 11 N 22 N 12] = 2 h E (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ u 1, 1 0 u 2, 2 0 1 2 (u 1, 2 0 + u 2, 1 0)] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_ {12 } \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} ^ {0} \\ u_ {2,2} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ (u_ {1, 2} ^ {0} + u_ {2,1} ^ {0}) \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} N _ {{11}} \\ N _ {{22}} \\ N _ {{12}} \ end {bmatrix}} = { \ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} u _ {{1,1}} ^ {0} \\ u _ {{2,2}} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ (u _ {{1,2}} ^ {0} + u _ {{2,1}} ^ {0}) \ end {bmatrix}}$ и $[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [w, 11 0 w, 22 0 w, 12 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} ^ {0} \\ w _ {, 22} ^ {0} \\ w _ {, 12} ^ {0} \ end {bmatrix}}}$ $\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1- \ nu ^ 2)} ~ \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 11} \\ w ^ 0 _ {, 22} \\ w ^ 0 _ {, 12} \ end {bmatrix}$ Дифференциация дает $N 11, 1 = 2 h E (1 - ν 2) (u 1, 11 0 + ν u 2, 21 0); N 22, 2 = 2 h E (1 - ν 2) (ν u 1, 12 0 + u 2, 22 0) N 12, 1 = h E (1 - ν) (1 - ν 2) (u 1, 21 0 + u 2, 11 0); N 12, 2 знак равно час E (1 - ν) (1 - ν 2) (u 1, 22 0 + u 2, 12 0) {\ displaystyle {\ begin {align} N_ {11,1} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (u_ {1,11} ^ {0} + \ nu ~ u_ {2,21} ^ {0} \ right) ~; ~ ~ N_ {22,2} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ u_ {1,12} ^ {0} + u_ {2,22} ^ {0} \ right) \\ N_ {12,1} = {\ cfrac {hE (1- \ nu)} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (u_ {1,21 } ^ {0} + u_ {2,11} ^ {0} \ right) ~; ~~ N_ {12,2} = {\ cfrac {hE (1- \ nu)} {(1- \ nu ^ { 2})}} \ left (u_ {1,22} ^ {0} + u_ {2,12} ^ {0} \ right) \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}N_{{11,1}}={\cfrac {2hE}{(1 -\nu ^{2})}}\left(u_ {{1,11}}^{0}+\nu ~u_{{2,21}}^{0}\right)~;~~N_{{22,2}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{{1,12}}^{0}+u_{{2,22}}^{0}\right)\\N_{{12,1}}={\cfrac {hE(1-\nu)}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{{1,21}}^{0}+u_{{2,11}}^{0}\right)~;~~N_{{12,2}}={\cfrac {hE(1-\nu)}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{{1,22}}^{0}+u_{{2,12}}^{0}\right)\end{aligned}}$ и $M 11, 11 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 0 + ν w, 2211 0) M 22, 22 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (ν w, 1122 0 + w, 2222 0) M 12, 12 = - 2 час 3 E 3 (1 - ν 2) (1 - ν) w, 1212 0 {\ displaystyle {\ begin {align} M_ {11,11} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} ^ {0} + \ nu ~ w _ {, 2211} ^ {0} \ right) \\ M_ {22,22} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122} ^ { 0} + w _ {, 2222} ^ {0} \ right) \\ M_ {12,12} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})} } (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} ^ {0} \ end {align}}}$ ${\ begin {align} M _ {{11,11}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} ^ {0} + \ nu ~ w _ {{, 2211}} ^ {0} \ right) \\ M _ {{22,22}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} \ справа) \\ M _ {{12,12}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} ^ {0} \ end {align}}$ Включение в основные уравнения приводит к $u 1, 11 0 + ν u 2, 21 0 + 1 2 (1 - ν) (u 1, 22 0 + u 2, 12 0) = 0 ν u 1, 12 0 + u 2, 22 0 + 1 2 (1 - ν) (u 1, 21 0 + u 2, 11 0) = 0 w, 1111 0 + ν w, 2211 0 + 2 (1 - ν) w, 1212 0 + ν w, 1122 0 + w, 2222 0 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {1,11} ^ {0} + \ nu ~ u_ {2,21} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2} } (1- \ nu) \ left (u_ {1,22} ^ {0} + u_ {2,12} ^ {0} \ right) = 0 \\ \ nu ~ u_ {1,12} ^ { 0} + u_ {2,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) \ left (u_ {1,21} ^ {0} + u_ {2,11} ^ {0} \ right) = 0 \\ w _ {, 1111} ^ {0} + \ nu ~ w _ {, 2211} ^ {0} +2 (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} ^ {0 } + \ nu ~ w _ {, 1122} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0 \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}u_{{1,11}}^{0}+\nu ~u_{{2,21}}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu)\left(u_{{1,22}}^{0}+u_{{2,12}}^{0}\right)=0\\\nu ~u_{{1,12}}^{0}+u_{{2,22}}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu)\left(u_{{1,21}}^{0}+u_{{2,11 }}^{0}\right)=0\\w_{{,1111}}^{0}+\nu ~w_{{,2211}}^{0}+2(1-\nu)~w_{{,1212}}^{0}+\nu ~w_{{,1122}}^{0}+w_{{,2222}}^{0}=0\end{aligned}}$ Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, мы имеем $u 1, 12 0 = u 1, 21 0 {\ displaystyle u_ {1,12} ^ {0} = u_ {1,21} ^ {0}}$ $u_{{1,12}}^{0}=u_{{1,21}}^{0}$ , $u 2, 21 0 = u 2, 12 0 {\ displaystyle u_ {2,21} ^ {0} = u_ {2,12} ^ {0}}$ $u _ {{2,21}} ^ {0} = u _ {{2,12}} ^ { 0}$ и $w, 2211 0 = w, 1212 0 = w, 1122 0 {\ displaystyle w _ {, 2211} ^ {0} = w _ {, 1212} ^ {0} = w _ {, 1122} ^ {0}}$ $w _ {{, 2211}} ^ {0} = w _ {{, 1212}} ^ {0} = w _ {{, 1122}} ^ {0}$ . Следовательно, $u 1, 11 0 + 1 2 (1 - ν) u 1, 22 0 + 1 2 (1 + ν) u 2, 12 0 = 0 u 2, 22 0 + 1 2 (1 - ν) u 2, 11 0 + 1 2 (1 + ν) u 1, 12 0 = 0 вес, 1111 0 + 2 вес, 1212 0 + вес, 2222 0 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {1, 11} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u_ {1,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u_ {2,12} ^ {0} = 0 \\ u_ {2,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u_ {2,11} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u_ {1,12} ^ {0} = 0 \\ w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w_ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0 \ end {align}}}$ ${\ begin {align} u _ {{1,11}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} ( 1- \ nu) ~ u _ {{1,22}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u _ {{2,12}} ^ {0} = 0 \\ u _ {{2,22}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u _ {{2,11}} ^ {0} + {\ tfrac {1 } {2}} (1+ \ nu) ~ u _ {{1,12}} ^ {0} = 0 \\ w _ {{, 1111}} ^ {0} + 2 ~ w _ {{, 1212}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} = 0 \ end {align}}$ В прямой тензорной записи основное уравнение пластины: $∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = 0}$ $\ nabla ^ 2 \ набла ^ 2 w = 0$ где мы предположили, что смещения $u 1 0, u 2 0 {\ displaystyle u_ {1} ^ {0 }, u_ {2} ^ {0}}$ $u_ {1} ^ {0}, u_ {2} ^ {0}$ постоянны.

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба

Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе определяющие уравнения следующие:

N α β, α = 0 ⟹ N 11, 1 + N 21, 2 = 0, N 12, 1 + N 22, 2 = 0 M α β, α β знак равно 0 ⟹ M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} = 0 \ подразумевает N_ {11, 1} + N_ {21,2} = 0 ~, ~~ N_ {12,1} + N_ {22,2} = 0 \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = 0 \ подразумевает M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} = 0 \ end {align}}}

{\ begin {выровнен} N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} = 0 \ подразумевает N _ {{11,1}} + N _ {{ 21,2}} = 0 ~, ~~ N _ {{12,1}} + N _ {{22,2}} = 0 \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} = 0 \ подразумевает M _ {{11,11}} + 2M _ {{12,12}} + M _ {{22,22}} = 0 \ end {align}}

и отношения напряжение-деформация равны

[σ 11 σ 22 σ 12] Знак равно E 1 - ν 2 [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ε 11 ε 22 ε 12] {\ displaystyle {\ begin {bmatr ix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}

{ \ begin {bmatrix} \ sigma _ {{11}} \\\ sigma _ {{22}} \\\ sigma _ {{12}} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {{11}} \\ \ varepsilon _ {{22}} \\\ varepsilon _ {{12}} \ end {bmatrix}}

Тогда

[N 11 N 22 N 12] = 2 h E (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ u 1, 1 0 u 2, 2 0 1 2 (u 1, 2 0 + u 2, 1 0)] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_ {12 } \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} ^ {0} \\ u_ {2,2} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ (u_ {1, 2} ^ {0} + u_ {2,1} ^ {0}) \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} N _ {{11}} \\ N _ {{22}} \\ N _ {{12}} \ end {bmatrix}} = { \ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} u _ {{1,1}} ^ {0} \\ u _ {{2,2}} ^ {0} \\ {\ frac {1} {2}} ~ (u _ {{1,2}} ^ {0} + u _ {{2,1}} ^ {0}) \ end {bmatrix}}

[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [w, 11 0 w, 22 0 w, 12 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} ^ {0} \\ w _ {, 22} ^ {0} \\ w _ {, 12} ^ {0} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix} = - \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1- \ nu ^ 2)} ~ \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} w ^ 0_ {, 11} \\ w ^ 0 _ {, 22} \\ w ^ 0 _ {, 12} \ end {bmatrix}

Дифференциация дает

N 11, 1 = 2 h E (1 - ν 2) (u 1, 11 0 + ν u 2, 21 0); N 22, 2 = 2 h E (1 - ν 2) (ν u 1, 12 0 + u 2, 22 0) N 12, 1 = h E (1 - ν) (1 - ν 2) (u 1, 21 0 + u 2, 11 0); N 12, 2 знак равно час E (1 - ν) (1 - ν 2) (u 1, 22 0 + u 2, 12 0) {\ displaystyle {\ begin {align} N_ {11,1} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (u_ {1,11} ^ {0} + \ nu ~ u_ {2,21} ^ {0} \ right) ~; ~ ~ N_ {22,2} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ u_ {1,12} ^ {0} + u_ {2,22} ^ {0} \ right) \\ N_ {12,1} = {\ cfrac {hE (1- \ nu)} {(1- \ nu ^ {2})}} \ left (u_ {1,21 } ^ {0} + u_ {2,11} ^ {0} \ right) ~; ~~ N_ {12,2} = {\ cfrac {hE (1- \ nu)} {(1- \ nu ^ { 2})}} \ left (u_ {1,22} ^ {0} + u_ {2,12} ^ {0} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}N_{{11,1}}={\cfrac {2hE}{(1 -\nu ^{2})}}\left(u_ {{1,11}}^{0}+\nu ~u_{{2,21}}^{0}\right)~;~~N_{{22,2}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{{1,12}}^{0}+u_{{2,22}}^{0}\right)\\N_{{12,1}}={\cfrac {hE(1-\nu)}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{{1,21}}^{0}+u_{{2,11}}^{0}\right)~;~~N_{{12,2}}={\cfrac {hE(1-\nu)}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{{1,22}}^{0}+u_{{2,12}}^{0}\right)\end{aligned}}

M 11, 11 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 0 + ν w, 2211 0) M 22, 22 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (ν w, 1122 0 + w, 2222 0) M 12, 12 = - 2 час 3 E 3 (1 - ν 2) (1 - ν) w, 1212 0 {\ displaystyle {\ begin {align} M_ {11,11} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} ^ {0} + \ nu ~ w _ {, 2211} ^ {0} \ right) \\ M_ {22,22} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122} ^ { 0} + w _ {, 2222} ^ {0} \ right) \\ M_ {12,12} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})} } (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} ^ {0} \ end {align}}}

{\ begin {align} M _ {{11,11}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} ^ {0} + \ nu ~ w _ {{, 2211}} ^ {0} \ right) \\ M _ {{22,22}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} \ справа) \\ M _ {{12,12}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} ^ {0} \ end {align}}

Включение в основные уравнения приводит к

u 1, 11 0 + ν u 2, 21 0 + 1 2 (1 - ν) (u 1, 22 0 + u 2, 12 0) = 0 ν u 1, 12 0 + u 2, 22 0 + 1 2 (1 - ν) (u 1, 21 0 + u 2, 11 0) = 0 w, 1111 0 + ν w, 2211 0 + 2 (1 - ν) w, 1212 0 + ν w, 1122 0 + w, 2222 0 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {1,11} ^ {0} + \ nu ~ u_ {2,21} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2} } (1- \ nu) \ left (u_ {1,22} ^ {0} + u_ {2,12} ^ {0} \ right) = 0 \\ \ nu ~ u_ {1,12} ^ { 0} + u_ {2,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) \ left (u_ {1,21} ^ {0} + u_ {2,11} ^ {0} \ right) = 0 \\ w _ {, 1111} ^ {0} + \ nu ~ w _ {, 2211} ^ {0} +2 (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} ^ {0 } + \ nu ~ w _ {, 1122} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}u_{{1,11}}^{0}+\nu ~u_{{2,21}}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu)\left(u_{{1,22}}^{0}+u_{{2,12}}^{0}\right)=0\\\nu ~u_{{1,12}}^{0}+u_{{2,22}}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu)\left(u_{{1,21}}^{0}+u_{{2,11 }}^{0}\right)=0\\w_{{,1111}}^{0}+\nu ~w_{{,2211}}^{0}+2(1-\nu)~w_{{,1212}}^{0}+\nu ~w_{{,1122}}^{0}+w_{{,2222}}^{0}=0\end{aligned}}

Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, мы имеем $u 1, 12 0 = u 1, 21 0 {\ displaystyle u_ {1,12} ^ {0} = u_ {1,21} ^ {0}}$ $u_{{1,12}}^{0}=u_{{1,21}}^{0}$ , $u 2, 21 0 = u 2, 12 0 {\ displaystyle u_ {2,21} ^ {0} = u_ {2,12} ^ {0}}$ $u _ {{2,21}} ^ {0} = u _ {{2,12}} ^ { 0}$ и $w, 2211 0 = w, 1212 0 = w, 1122 0 {\ displaystyle w _ {, 2211} ^ {0} = w _ {, 1212} ^ {0} = w _ {, 1122} ^ {0}}$ $w _ {{, 2211}} ^ {0} = w _ {{, 1212}} ^ {0} = w _ {{, 1122}} ^ {0}$ . Следовательно,

u 1, 11 0 + 1 2 (1 - ν) u 1, 22 0 + 1 2 (1 + ν) u 2, 12 0 = 0 u 2, 22 0 + 1 2 (1 - ν) u 2, 11 0 + 1 2 (1 + ν) u 1, 12 0 = 0 вес, 1111 0 + 2 вес, 1212 0 + вес, 2222 0 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {1, 11} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u_ {1,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u_ {2,12} ^ {0} = 0 \\ u_ {2,22} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u_ {2,11} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u_ {1,12} ^ {0} = 0 \\ w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w_ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} u _ {{1,11}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} ( 1- \ nu) ~ u _ {{1,22}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ nu) ~ u _ {{2,12}} ^ {0} = 0 \\ u _ {{2,22}} ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (1- \ nu) ~ u _ {{2,11}} ^ {0} + {\ tfrac {1 } {2}} (1+ \ nu) ~ u _ {{1,12}} ^ {0} = 0 \\ w _ {{, 1111}} ^ {0} + 2 ~ w _ {{, 1212}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} = 0 \ end {align}}

В прямой тензорной записи основное уравнение пластины:

∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = 0}

\ nabla ^ 2 \ набла ^ 2 w = 0

где мы предположили, что смещения $u 1 0, u 2 0 {\ displaystyle u_ {1} ^ {0 }, u_ {2} ^ {0}}$ $u_ {1} ^ {0}, u_ {2} ^ {0}$ постоянны.

Изгиб под поперечной нагрузкой

Если к пластине применяется распределенная поперечная нагрузка $- q (x) {\ displaystyle -q (x)}$ $-q (x)$ , определяющее уравнение равно $M α β, α β = - q {\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = - q}$ $M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} = - q$ . Следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, мы получаем

$∇ 2 ∇ 2 w = q D; D: знак равно 2 час 3 E 3 (1 - ν 2) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = {\ cfrac {q} {D}} ~; ~~ D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}}}$ $\ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = {\ cfrac {q} {D}} ~; ~~ D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}}$

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение:

w, 1111 0 + 2 w, 1212 0 + вес, 2222 0 = - q D {\ displaystyle w _ {, 1111} ^ {0} +2 \, w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = - {\ cfrac {q } {D}}}

w _ {{, 1111}} ^ {0} +2 \, w _ {{, 1212}} ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} = - {\ cfrac {q} {D}}

и в цилиндрических координатах принимает вид

1 rddr [rddr {1 rddr (rdwdr)}] = - q D. {\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ cfrac {d} {dr}} \ left [r {\ cfrac {d} {dr}} \ left \ {{\ frac {1} {r} } {\ cfrac {d} {dr}} \ left (r {\ cfrac {dw} {dr}} \ right) \ right \} \ right] = - {\ frac {q} {D}} \,. }

\ frac {1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left [r \ cfrac {d} {dr} \ left \ {\ frac { 1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left (r \ cfrac {dw} {dr} \ right) \ right \} \ right] = - \ frac {q} {D} \,.

Решения этого уравнения для различных геометрических форм и граничных условий можно найти в статье о изгибе пластин.

Вывод уравнений равновесия для поперечного нагружения
Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций управляющее уравнение имеет вид $M α β, α β = q ⟹ M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 = q {\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = q \ подразумевает M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} = q}$ $M_{{\alpha \beta,\alpha \beta }}=q\implies M_{{11,11}}+2M_{{12,12}}+M_{{22,22}}=q$ , где $q {\ displaystyle q}$ $q$ - распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Подстановка выражений для производных от $M α β {\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta}}$ $M_{{\alpha \beta }}$ в основное уравнение дает $- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [w, 1111 0 + 2 w, 1212 0 + w, 2222 0] = q. {\ displaystyle - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left [w _ {, 1111} ^ {0} +2 \, w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} \ right] = q \,.}$ $- {\ cfrac {2h ^ { 3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left [w _ {{, 1111}} ^ {0} +2 \, w _ {{, 1212}} ^ {0} + w_ { {, 2222}} ^ {0} \ right] = q \,.$ Заметим, что жесткость на изгиб - это величина $D: = 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) {\ displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}}}$ $D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ { 2})}}$ мы можем записать основное уравнение в виде $∇ 2 ∇ 2 w = - q D. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = - {\ frac {q} {D}} \,.}$ $\ nabla ^ 2 \ nabla ^ 2 w = - \ frac {q} {D} \,.$ В цилиндрических координатах $(r, θ, z) {\ displaystyle (г, \ тета, Z)}$ $(r, \ theta, z)$ , $∇ 2 вес ≡ 1 р ∂ ∂ р (р ∂ вес ∂ р) + 1 р 2 ∂ 2 вес ∂ θ 2 + ∂ 2 вес ∂ Z 2. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial w} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \,.}$ $\ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r { \ frac {\ partial w} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial \ theta ^ { 2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \,$ Для симметрично нагруженных круглых пластин $w = w (r) {\ displaystyle w = w (r)}$ $ш = w (r)$ , и мы имеем $∇ 2 w ≡ 1 rddr (rdwdr). {\ displaystyle \ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ cfrac {d} {dr}} \ left (r {\ cfrac {dw} {dr}} \ right) \,.}$ $\ nabla ^ 2 w \ Equiv \ frac {1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left (r \ cfrac { dw } {d r} \ right) \,.$

Вывод уравнений равновесия для поперечного нагружения

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций управляющее уравнение имеет вид

M α β, α β = q ⟹ M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 = q {\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} = q \ подразумевает M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} = q}

M_{{\alpha \beta,\alpha \beta }}=q\implies M_{{11,11}}+2M_{{12,12}}+M_{{22,22}}=q

, где $q {\ displaystyle q}$ $q$ - распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Подстановка выражений для производных от $M α β {\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta}}$ $M_{{\alpha \beta }}$ в основное уравнение дает

- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [w, 1111 0 + 2 w, 1212 0 + w, 2222 0] = q. {\ displaystyle - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left [w _ {, 1111} ^ {0} +2 \, w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} \ right] = q \,.}

- {\ cfrac {2h ^ { 3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left [w _ {{, 1111}} ^ {0} +2 \, w _ {{, 1212}} ^ {0} + w_ { {, 2222}} ^ {0} \ right] = q \,.

Заметим, что жесткость на изгиб - это величина

D: = 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) {\ displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}}}

D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ { 2})}}

мы можем записать основное уравнение в виде

$∇ 2 ∇ 2 w = - q D. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = - {\ frac {q} {D}} \,.}$ $\ nabla ^ 2 \ nabla ^ 2 w = - \ frac {q} {D} \,.$

В цилиндрических координатах $(r, θ, z) {\ displaystyle (г, \ тета, Z)}$ $(r, \ theta, z)$ ,

∇ 2 вес ≡ 1 р ∂ ∂ р (р ∂ вес ∂ р) + 1 р 2 ∂ 2 вес ∂ θ 2 + ∂ 2 вес ∂ Z 2. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial w} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \,.}

\ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r { \ frac {\ partial w} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial \ theta ^ { 2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \,

Для симметрично нагруженных круглых пластин $w = w (r) {\ displaystyle w = w (r)}$ $ш = w (r)$ , и мы имеем

∇ 2 w ≡ 1 rddr (rdwdr). {\ displaystyle \ nabla ^ {2} w \ Equiv {\ frac {1} {r}} {\ cfrac {d} {dr}} \ left (r {\ cfrac {dw} {dr}} \ right) \,.}

\ nabla ^ 2 w \ Equiv \ frac {1} {r} \ cfrac {d} {dr} \ left (r \ cfrac { dw } {d r} \ right) \,.

Цилиндрический изгиб

При определенных условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип гибки называется цилиндрической гибкой и представляет собой особую ситуацию, когда $u 1 = u 1 (x 1), u 2 = 0, w = w (x 1) {\ displaystyle u_ {1} = u_ {1 } (x_ {1}), u_ {2} = 0, w = w (x_ {1})}$ $u_ { 1} = u_ {1} (x_ {1}), u_ {2} = 0, w = w (x_ {1})$ . В этом случае

[N 11 N 22 N 12] = 2 h E (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [u 1, 1 0 0 0] {\ displaystyle { \ begin {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {2hE} {(1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} ^ {0} \\ 0 \\ 0 \ end { bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}N_{{11}}\\N_{{22}}\\N_{{12}}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1\nu 0\\\nu 10\\001-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{{1,1}}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}

[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [w, 11 0 0 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 ( 1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} ^ {0} \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} M _ {{11}} \\ M _ {{22}} \\ M _ {{12}} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {{, 11}} ^ {0} \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}

и определяющие уравнения принимают вид

N 11 = A dudx 1 ⟹ d 2 udx 1 2 = 0 M 11 = - D d 2 wdx 1 2 ⟹ d 4 wdx 1 4 = q D {\ displaystyle {\ begin {align} N_ {11} = A ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x_ {1}} } \ quad \ подразумевает \ quad {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} x_ {1} ^ {2}}} = 0 \\ M_ {11} = - D ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x_ {1} ^ {2}}} \ quad \ подразумевает \ quad {\ cfra c {\ mathrm {d} ^ {4} w} {\ mathrm {d} x_ {1} ^ {4}}} = {\ cfrac {q} {D}} \\\ конец {выровнено}}}

{\ begin {align} N _ {{11}} = A ~ {\ cfrac {{\ mathrm {d}} u} {{\ mathrm {d }} x_ {1}}} \ quad \ подразумевает \ quad {\ cfrac {{\ mathrm {d}} ^ {2} u} {{\ mathrm {d}} x_ {1} ^ {2}}} = 0 \\ M _ {{11}} = - D ~ {\ cfrac {{\ mathrm {d}} ^ {2} w} {{\ mathrm {d}} x_ {1} ^ {2}}} \ quad \ подразумевает \ quad {\ cfrac {{\ mathrm {d}} ^ {4} w} {{\ mathrm {d}} x_ {1} ^ {4}}} = {\ cfrac {q} {D} } \\\ конец {выровнен}}

Dynamics of Kirchhoff-Love plates

The dynamic theory of thin plates determines the propagation of waves in the plates, and the study of standing waves and vibration modes.

Governing equations

The governing equations for the dynamics of a Kirchhoff-Love plate are

$N α β, β = J 1 u ¨ α 0 M α β, α β + q ( x, t) = J 1 w ¨ 0 − J 3 w ¨, α α 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta,\beta }=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta,\alpha \beta }+q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$ ${\ begin {align} N _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} = J_ {1} ~ {\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} \\ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha \ beta}} + q (x, t) = J_ {1 } ~ {\ ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {{, \ alpha \ alpha}} ^ {0} \ end {align}}$

where, for a plate with density $ρ = ρ ( x) {\displaystyle \rho =\rho (x)}$ $\ rho = \ rho (x)$ ,

J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 = 2 ρ h ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 = 2 3 ρ h 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}

J_ {1}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho ~ dx_ {3} = 2 ~ \ rho ~ h ~; ~~ J_ {3 }: = \ int _ {{- h}} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ \ rho ~ dx_ {3} = {\ frac {2} {3}} ~ \ rho ~ h ^ { 3}

and

u ˙ i = ∂ u i ∂ t ; u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2 ; u i, α = ∂ u i ∂ x α ; u i, α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}

{\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{{i,\alpha }}={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{{i,\alpha \beta }}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

Derivation of equations governing the dynamics of Kirchhoff-Love plates
The total kinetic energy of the plate is given by $K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ ( ∂ u 1 ∂ t) 2 + ( ∂ u 2 ∂ t) 2 + ( ∂ u 3 ∂ t) 2 ] d x 3 d A d t {\displaystyle K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ $К = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Om ega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ cfrac {\ rho} {2}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial u_ {1}} {\ частичный t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t$ Therefore, the variation in kinetic energy is $δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ 2 ( ∂ u 1 ∂ t) ( ∂ δ u 1 ∂ t) + 2 ( ∂ u 2 ∂ t) ( ∂ δ u 2 ∂ t) + 2 ( ∂ u 3 ∂ t) ( ∂ δ u 3 ∂ t) ] d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ $\ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ cfrac {\ rho} {2}} \ left [2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {1}} {\ partial t}} \ right) +2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {2}} {\ partial t}} \ right) +2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {3}} {\ partial t}} \ right) \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t$ We use the following notation in the rest of this section. $u ˙ i = ∂ u i ∂ t ; u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2 ; u i, α = ∂ u i ∂ x α ; u i, α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$ ${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{{i,\alpha }}={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{{i,\alpha \beta }}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$ Then $δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α δ u ˙ α + u ˙ 3 δ u ˙ 3) d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ $\ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left ( {\ dot {u}} _ {\ alpha} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} + {\ dot {u}} _ {3} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {3} \ right) ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t$ For a Kirchhof-Love plate $u α = u α 0 − x 3 w, α 0 ; u 3 = w 0 {\displaystyle u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}}$ $u _ {\ alpha} = u _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ w _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~; ~~ u_ {3} = w ^ {0}$ Hence, $δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ [ ( u ˙ α 0 − x 3 w ˙, α 0) ( δ u ˙ α 0 − x 3 δ w ˙, α 0) + w ˙ 0 δ w ˙ 0 ] d x 3 d A d t = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 w ˙, α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 u ˙ α 0 δ w ˙, α 0 + x 3 2 w ˙, α 0 δ w ˙, α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0) d x 3 d A d t {\displaystyle {\begin{aligned}\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\ alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}}$ ${\ begin {align} \ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left [\ left ({\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right) ~ \ left (\ delta {\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right) + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t \\ = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left ({\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ do t {u}} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ { 0} + x_ {3} ^ {2} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d }} A ~ {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$ Define, for constant $ρ {\displaystyle \rho }$ $\ rho$ through the thickness of the plate, $J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 = 2 ρ h ; J 2 := ∫ − h h x 3 ρ d x 3 = 0 ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 = 2 3 ρ h 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$ $J_ {1}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho ~ dx_ {3 } = 2 ~ \ rho ~ h ~; ~~ J_ {2}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} x_ {3} ~ \ rho ~ dx_ {3} = 0 ~; ~~ J_ {3}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ \ rho ~ dx_ {3} = {\ frac {2} {3}} ~ \ rho ~ h ^ {3}$ Then $δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0) + J 3 вес ˙, α 0 δ вес ˙, α 0] d A dt {\ displaystyle \ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ { 1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ { 0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w }} _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A ~ \ mathrm {d} t}$ $\ дельта K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ { 0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t$ Интегрирование по частям, $δ K = ∫ Ω 0 [∫ 0 T {- J 1 (u α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α 0 δ w, α 0} dt + \| J 1 (u α 0 δ u α 0 + w ˙ 0 δ w 0) + J 3 w ˙, α 0 δ w, α 0 \| 0 T] d A {\ displaystyle \ delta K = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [\ int _ {0} ^ {T} \ left \ {- J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) - J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right \} ~ \ mathrm {d} t + \ left \| J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right \| _ {0} ^ {T} \ right] ~ \ mathrm {d} A}$ $\ delta K = \ int _ {{\ Omega ^ {0}} } \ left [\ int _ {0} ^ {T} \ left \ {- J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ альфа} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha}} ^ {0} \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t + \ left \| J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right \| _ {0} ^ {T} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A$ Варианты $δ u α 0 {\ displaystyle \ delta u _ {\ alpha} ^ {0}}$ $\ delta u _ {\ alpha} ^ {0}$ и $δ вес 0 {\ displaystyle \ delta w ^ {0}}$ $\ delta w ^ {0}$ равны нулю при $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ и $t = Т {\ Displaystyle т = Т}$ $t = T$ . Следовательно, после переключения последовательности интегрирования имеем $δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 (u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) + J 3 w ¨, α 0 δ w, α 0] d A} dt + \| ∫ Ω 0 J 3 w ˙, α 0 δ w, α 0 d A \| 0 T {\ displaystyle \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3 } ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A \ right \} ~ \ mathrm { d} t + \ left \| \ int _ {\ Omega ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ { 0} \ mathrm {d} A \ right \| _ {0} ^ {T}}$ $\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{{\Omega ^{0}}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{{\alpha }}^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\ddot {w}}_{{,\alpha }}^{0}~\delta w_{{,\alpha }}^{0}\right]~{\mathrm {d}}A\right\}~{\mathrm {d}}t+\left\|\int _{{\Omega ^{0}}}J_{3}~{\dot {w}}_{{,\alpha }}^{0}~\delta w_{{,\alpha }}^{0}{\mathrm {d}}A\right\|_{0}^{T}$ Интегрирование по частям по средней поверхности дает $δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α α 0 δ w 0] d A + ∫ Γ 0 J 3 n α w ¨, α 0 δ w 0 ds} dt - \| ∫ Ω 0 J 3 w ˙, α α 0 δ w 0 d A - ∫ Γ 0 J 3 w ˙, α 0 δ w 0 d s \| 0 T {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ справа) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A + \ int _ {\ Гамма ^ {0}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right \} ~ \ mathrm {d} t \\ \ qquad - \ left \| \ int _ {\ Omega ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right \| _ {0} ^ {T} \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot { w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t \\ \ qquad - \ left \| \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d }} A- \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right \| _ {0} ^ {T} \ end {align}}$ Опять же, так как вначале варианты равны нулю и в конце рассматриваемого интервала времени имеем $δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 (u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α α 0 δ вес 0] d A + ∫ Γ 0 J 3 N α вес ¨, α 0 δ вес 0 ds} dt {\ displaystyle \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0 } \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right \} ~ \ mathrm {d} t}$ $\ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ { 0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {{, \ alpha \ alpha}} ^ { 0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot { w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t$ Для динамического случая изменение внутренней энергии определяется как $δ U = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [N α β, α δ u β 0 + M α β, β α δ w 0] d A - ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 + n α M α β, β δ w 0 - n β M α β δ w, α 0] ds} dt {\ displaystyle \ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} s \ right \} \ mathrm {d} t}$ $\ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u_ { {\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A- \ int _ {{ \ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{ \ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right ] ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} {\ mathrm {d}} t$ Интегрирование по частям и обращение к нулю вариации на границе средней поверхности дает $δ U = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [N α β, α δ u β 0 + M α β, β α δ w 0] d A - ∫ Γ 0 [n α N α β δ U β 0 + n α M α β, β δ вес 0 + n β M α β, α δ w 0] ds} dt {\ displaystyle \ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha } ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} + n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} s \ right \} \ mathrm {d} t}$ $\ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A- \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta }} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} + n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha} } ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} {\ mathrm {d}} t$ Если есть внешний распределенная сила $q (x, t) {\ displaystyle q (x, t)}$ $q (x, t)$ , действующая перпендикулярно поверхности пластины, выполненная виртуальная внешняя работа равна $δ V ext = ∫ 0 T [∫ Ω 0 Q (Икс, T) δ вес 0 d A] dt {\ displaystyle \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ int _ {0} ^ {T} \ left [\ int _ { \ Omega ^ {0}} q (x, t) ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} A \ right] \ mathrm {d} t}$ $\delta V_{{{\mathrm {ext}}}}=\int _{0}^{T}\left[\int _{{\Omega ^{0}}}q(x,t)~\delta w^{0}~{\mathrm {d}}A\right]{\mathrm {d}}t$ Из принципа виртуальной работы $δ U + δ V ext знак равно δ K {\ displaystyle \ delta U + \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ delta K}$ $\ delta U + \ delta V _ {{{\ mathrm {ext}}}} = \ delta K$ . Следовательно, основные уравнения баланса для пластины: $N α β, β = J 1 u ¨ α 0 M α β, α β - q (x, t) = J 1 w ¨ 0 - J 3 w ¨, α α 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} N _ {\ alpha \ beta, \ beta} = J_ {1} ~ {\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q (x, t) = J_ {1} ~ {\ ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} \ end {align}}}$ $\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ beta} = J_1 ~ \ ddot {u} ^ 0_ \ alpha \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} - q ( x, t) = J_1 ~ \ ddot {w} ^ 0 - J_3 ~ \ ddot {w} ^ 0 _ {, \ alpha \ alpha} \ end {align}$

Derivation of equations governing the dynamics of Kirchhoff-Love plates

The total kinetic energy of the plate is given by

K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ ( ∂ u 1 ∂ t) 2 + ( ∂ u 2 ∂ t) 2 + ( ∂ u 3 ∂ t) 2 ] d x 3 d A d t {\displaystyle K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}

К = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Om ega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ cfrac {\ rho} {2}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial u_ {1}} {\ частичный t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t

Therefore, the variation in kinetic energy is

δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ 2 ( ∂ u 1 ∂ t) ( ∂ δ u 1 ∂ t) + 2 ( ∂ u 2 ∂ t) ( ∂ δ u 2 ∂ t) + 2 ( ∂ u 3 ∂ t) ( ∂ δ u 3 ∂ t) ] d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}

\ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} {\ cfrac {\ rho} {2}} \ left [2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {1}} {\ partial t}} \ right) +2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {2}} {\ partial t}} \ right) +2 \ left ({\ frac {\ partial u_ {3}} {\ partial t}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial \ delta u_ {3}} {\ partial t}} \ right) \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t

We use the following notation in the rest of this section.

u ˙ i = ∂ u i ∂ t ; u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2 ; u i, α = ∂ u i ∂ x α ; u i, α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}

{\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{{i,\alpha }}={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{{i,\alpha \beta }}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

Then

δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α δ u ˙ α + u ˙ 3 δ u ˙ 3) d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}

\ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left ( {\ dot {u}} _ {\ alpha} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} + {\ dot {u}} _ {3} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {3} \ right) ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t

For a Kirchhof-Love plate

u α = u α 0 − x 3 w, α 0 ; u 3 = w 0 {\displaystyle u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}}

u _ {\ alpha} = u _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ w _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~; ~~ u_ {3} = w ^ {0}

Hence,

δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ [ ( u ˙ α 0 − x 3 w ˙, α 0) ( δ u ˙ α 0 − x 3 δ w ˙, α 0) + w ˙ 0 δ w ˙ 0 ] d x 3 d A d t = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 w ˙, α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 u ˙ α 0 δ w ˙, α 0 + x 3 2 w ˙, α 0 δ w ˙, α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0) d x 3 d A d t {\displaystyle {\begin{aligned}\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\ alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}}

{\ begin {align} \ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left [\ left ({\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right) ~ \ left (\ delta {\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right) + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t \\ = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho \ left ({\ dot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ do t {u}} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ { 0} + x_ {3} ^ {2} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) ~ {\ mathrm {d}} x_ {3} ~ {\ mathrm {d }} A ~ {\ mathrm {d}} t \ end {align}}

Define, for constant $ρ {\displaystyle \rho }$ $\ rho$ through the thickness of the plate,

J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 = 2 ρ h ; J 2 := ∫ − h h x 3 ρ d x 3 = 0 ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 = 2 3 ρ h 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}

J_ {1}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} \ rho ~ dx_ {3 } = 2 ~ \ rho ~ h ~; ~~ J_ {2}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} x_ {3} ~ \ rho ~ dx_ {3} = 0 ~; ~~ J_ {3}: = \ int _ {{- h}} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ \ rho ~ dx_ {3} = {\ frac {2} {3}} ~ \ rho ~ h ^ {3}

Then

δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0) + J 3 вес ˙, α 0 δ вес ˙, α 0] d A dt {\ displaystyle \ delta K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ { 1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ { 0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w }} _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A ~ \ mathrm {d} t}

\ дельта K = \ int _ {0} ^ {T} \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ { 0} ~ \ delta {\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A ~ {\ mathrm {d}} t

Интегрирование по частям,

δ K = ∫ Ω 0 [∫ 0 T {- J 1 (u α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α 0 δ w, α 0} dt + | J 1 (u α 0 δ u α 0 + w ˙ 0 δ w 0) + J 3 w ˙, α 0 δ w, α 0 | 0 T] d A {\ displaystyle \ delta K = \ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [\ int _ {0} ^ {T} \ left \ {- J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) - J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right \} ~ \ mathrm {d} t + \ left | J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right | _ {0} ^ {T} \ right] ~ \ mathrm {d} A}

\ delta K = \ int _ {{\ Omega ^ {0}} } \ left [\ int _ {0} ^ {T} \ left \ {- J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ альфа} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha}} ^ {0} \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t + \ left | J_ {1} \ left ({\ dot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ dot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right | _ {0} ^ {T} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A

Варианты $δ u α 0 {\ displaystyle \ delta u _ {\ alpha} ^ {0}}$ $\ delta u _ {\ alpha} ^ {0}$ и $δ вес 0 {\ displaystyle \ delta w ^ {0}}$ $\ delta w ^ {0}$ равны нулю при $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ и $t = Т {\ Displaystyle т = Т}$ $t = T$ . Следовательно, после переключения последовательности интегрирования имеем

δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 (u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) + J 3 w ¨, α 0 δ w, α 0] d A} dt + | ∫ Ω 0 J 3 w ˙, α 0 δ w, α 0 d A | 0 T {\ displaystyle \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u }} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) + J_ {3 } ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A \ right \} ~ \ mathrm { d} t + \ left | \ int _ {\ Omega ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ { 0} \ mathrm {d} A \ right | _ {0} ^ {T}}

\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{{\Omega ^{0}}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{{\alpha }}^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\ddot {w}}_{{,\alpha }}^{0}~\delta w_{{,\alpha }}^{0}\right]~{\mathrm {d}}A\right\}~{\mathrm {d}}t+\left|\int _{{\Omega ^{0}}}J_{3}~{\dot {w}}_{{,\alpha }}^{0}~\delta w_{{,\alpha }}^{0}{\mathrm {d}}A\right|_{0}^{T}

Интегрирование по частям по средней поверхности дает

δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α α 0 δ w 0] d A + ∫ Γ 0 J 3 n α w ¨, α 0 δ w 0 ds} dt - | ∫ Ω 0 J 3 w ˙, α α 0 δ w 0 d A - ∫ Γ 0 J 3 w ˙, α 0 δ w 0 d s | 0 T {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ справа) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A + \ int _ {\ Гамма ^ {0}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right \} ~ \ mathrm {d} t \\ \ qquad - \ left | \ int _ {\ Omega ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right | _ {0} ^ {T} \ end {align}}}

{\ begin {align} \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot { w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t \\ \ qquad - \ left | \ int _ {{\ Omega ^ {0}}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d }} A- \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ {\ dot {w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right | _ {0} ^ {T} \ end {align}}

Опять же, так как вначале варианты равны нулю и в конце рассматриваемого интервала времени имеем

δ K = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [J 1 (u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0) - J 3 w ¨, α α 0 δ вес 0] d A + ∫ Γ 0 J 3 N α вес ¨, α 0 δ вес 0 ds} dt {\ displaystyle \ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ {0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0 } \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A + \ int _ {\ Gamma ^ {0}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} s \ right \} ~ \ mathrm {d} t}

\ delta K = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [J_ {1} \ left ({\ ddot {u}} _ {{\ alpha}} ^ {0} ~ \ delta u _ {\ alpha} ^ { 0} + {\ ddot {w}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} \ right) -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {{, \ alpha \ alpha}} ^ { 0} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A + \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ {\ alpha} ~ {\ ddot { w}} _ {{, \ alpha}} ^ {0} ~ \ delta w ^ {0} ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} ~ {\ mathrm {d}} t

Для динамического случая изменение внутренней энергии определяется как

δ U = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [N α β, α δ u β 0 + M α β, β α δ w 0] d A - ∫ Γ 0 [n α N α β δ u β 0 + n α M α β, β δ w 0 - n β M α β δ w, α 0] ds} dt {\ displaystyle \ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta w _ {, \ alpha} ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} s \ right \} \ mathrm {d} t}

\ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u_ { {\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A- \ int _ {{ \ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{ \ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} -n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta}} ~ \ delta w _ {{, \ alpha}} ^ {0} \ right ] ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} {\ mathrm {d}} t

Интегрирование по частям и обращение к нулю вариации на границе средней поверхности дает

δ U = - ∫ 0 T {∫ Ω 0 [N α β, α δ u β 0 + M α β, β α δ w 0] d A - ∫ Γ 0 [n α N α β δ U β 0 + n α M α β, β δ вес 0 + n β M α β, α δ w 0] ds} dt {\ displaystyle \ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {\ Omega ^ {0}} \ left [N _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + M _ {\ alpha \ beta, \ beta \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} A- \ int _ {\ Gamma ^ {0}} \ left [n _ {\ alpha } ~ N _ {\ alpha \ beta} ~ \ delta u _ {\ beta} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ beta} ~ \ delta w ^ {0} + n _ {\ beta} ~ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ \ mathrm {d} s \ right \} \ mathrm {d} t}

\ delta U = - \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {\ int _ {{\ Omega ^ {0}}} \ left [N _ {{\ alpha \ beta, \ alpha}} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + M _ {{\ alpha \ beta, \ beta \ alpha}} ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} A- \ int _ {{\ Gamma ^ {0}}} \ left [n _ {\ alpha} ~ N _ {{\ alpha \ beta }} ~ \ delta u _ {{\ beta}} ^ {0} + n _ {\ alpha} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ beta}} ~ \ delta w ^ {0} + n _ {\ beta} ~ M _ {{\ alpha \ beta, \ alpha} } ~ \ delta w ^ {0} \ right] ~ {\ mathrm {d}} s \ right \} {\ mathrm {d}} t

Если есть внешний распределенная сила $q (x, t) {\ displaystyle q (x, t)}$ $q (x, t)$ , действующая перпендикулярно поверхности пластины, выполненная виртуальная внешняя работа равна

δ V ext = ∫ 0 T [∫ Ω 0 Q (Икс, T) δ вес 0 d A] dt {\ displaystyle \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ int _ {0} ^ {T} \ left [\ int _ { \ Omega ^ {0}} q (x, t) ~ \ delta w ^ {0} ~ \ mathrm {d} A \ right] \ mathrm {d} t}

\delta V_{{{\mathrm {ext}}}}=\int _{0}^{T}\left[\int _{{\Omega ^{0}}}q(x,t)~\delta w^{0}~{\mathrm {d}}A\right]{\mathrm {d}}t

Из принципа виртуальной работы $δ U + δ V ext знак равно δ K {\ displaystyle \ delta U + \ delta V _ {\ mathrm {ext}} = \ delta K}$ $\ delta U + \ delta V _ {{{\ mathrm {ext}}}} = \ delta K$ . Следовательно, основные уравнения баланса для пластины:

N α β, β = J 1 u ¨ α 0 M α β, α β - q (x, t) = J 1 w ¨ 0 - J 3 w ¨, α α 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} N _ {\ alpha \ beta, \ beta} = J_ {1} ~ {\ ddot {u}} _ {\ alpha} ^ {0} \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q (x, t) = J_ {1} ~ {\ ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0} \ end {align}}}

\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ beta} = J_1 ~ \ ddot {u} ^ 0_ \ alpha \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} - q ( x, t) = J_1 ~ \ ddot {w} ^ 0 - J_3 ~ \ ddot {w} ^ 0 _ {, \ alpha \ alpha} \ end {align}

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды круглой пластины.

режим k = 0, p = 1
режим k = 0, p = 2
режим k = 1, p = 2

изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропные и однородные пластины, для которых плоскими деформациями можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

D (∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4) = - q (х, у, t) - 2 ρ h ∂ 2 w ∂ т 2. {\ Displaystyle D \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} \ right) = - q (x, y, t) -2 \ rho h \, {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} \,.}

D \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}} } +2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} \ right) = - q (x, y, t) -2 \ rho h \, {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} \,.

где $D {\ displaystyle D}$ $D$ - жесткость пластины на изгиб. Для однородной пластины толщиной $2 h {\ displaystyle 2h}$ $2h$ ,

D: = 2 h 3 E 3 (1 - ν 2). {\ displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \,.}

D: = \ cfrac {2h ^ 3E} {3 (1- \ nu ^ 2)} \,.

В прямой записи

D ∇ 2 ∇ 2 w = - q (x, y, t) - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \, \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -q (x, y, t) -2 \ rho h \, {\ ddot {w}} \,.}

D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

D ∇ 2 ∇ 2 w = - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \, \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -2 \ rho h \, {\ ddot {w}} \,.}

D \, \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -2 \ rho h \, {\ ddot {w}} \,.

Вывод динамических управляющих уравнений для изотропных уравнений Кирхгофа- Пластины Лява
Для изотропной и однородной пластины отношения напряжение-деформация следующие: $[σ 11 σ 22 σ 12] = E 1 - ν 2 [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ε 11 ε 22 ε 12]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ { 22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} \,.}$ $\ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} \\ \ sigma_ {22} \\ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {E} {1- \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ varepsilon_ {11} \\ \ varepsilon_ {22} \\ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix} \,.$ где $ε α β {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta}}$ $\ varepsilon _ {\ alpha \ beta}$ - деформации в плоскости. Соотношения деформация-смещение для пластин Кирхгофа-Лява следующие: $ε α β = 1 2 (u α, β + u β, α) - x 3 w, α β. {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} + u _ {\ beta, \ alpha}) - x_ {3} \, w_ {, \ alpha \ beta} \,.}$ $\ varepsilon _ {{\ alpha \ beta}} = {\ frac {1} {2 }} (u _ {{\ alpha, \ beta}} + u _ {{\ beta, \ alpha}}) - x_ {3} \, w _ {{, \ alpha \ beta}} \,.$ Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны $[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ш, 11 ш, 22 ш, 12] {\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end { bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} \\ w _ {, 22} \\ w _ {, 12} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} M _ {{11}} \\ M _ {{22}} \\ M _ {{12}} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {{, 11}} \\ w _ {{, 22}} \\ w _ {{, 12}} \ end {bmatrix}}$ Основное уравнение для изотропной и однородная пластина одинаковой толщины $2 h {\ displaystyle 2h}$ $2h$ при отсутствии смещений в плоскости $M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 - q (x, t) = 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ Displaystyle M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} -q (x, t) = 2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} { 3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33 } \ right) \,.}$ $M _ {{11,11}} + 2M _ {{12,12}} + M _ {{22,22}} - q (x, t) = 2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w} } _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,.$ Дифференцирование выражений для результирующих моментов дает нам $M 11, 11 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + ν w, 2211) M 22, 22 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (ν w, 1122 + w, 2222) M 12, 12 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (1 - ν) ш, 1212 {\ displaystyle {\ begin {align} M_ {11,11} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w_ {, 1111} + \ nu ~ w _ {, 2211} \ right) \\ M_ {22,22} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2}) }} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122} + w _ {, 2222} \ right) \\ M_ {12,12} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} \ end {align}}}$ ${\ begin {align} M_ { {11,11}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + \ nu ~ w_ { {, 2211}} \ right) \\ M _ {{22,22}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {{, 1122}} + w _ {{, 2222}} \ right) \\ M _ {{12,12}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} \ end {align}}$ Подстановка в основные уравнения приводит к $- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + ν w, 2211 + 2 (1 - ν) w, 1212 + ν w, 1122 + w, 2222) = q (x, t) + 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 ( w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} + \ nu ~ w_ {, 2211} +2 (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} + \ nu ~ w _ {, 1122} + w _ {, 2222} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h { \ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33} \ right) \,. \ End {align}}}$ ${\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + \ nu ~ w _ {{, 2211}} + 2 (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} + \ nu ~ w_ { {, 1122}} + w _ {{, 2222}} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {, 33 }} \ right) \,. \ end {align}}$ Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, мы имеем $w, 2211 = w, 1212 знак равно вес, 1122 {\ Displaystyle ш _ {, 2211} = ш _ {, 1212} = ш _ {, 1122}}$ $w_{{,2211}}=w_{{,1212}}=w_{{,1122}}$ . Следовательно, $- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = q (x, t) + 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33} \ right) \,. \ end {выровнено} }}$ ${\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212}} + w _ {{, 2222}} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ d точка {w}} _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,. \ end {выровнено}}$ Если жесткость пластины при изгибе определяется как $D: = 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) {\ displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} { 3 (1- \ nu ^ {2})}}}$ $D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ { 2})}}$ имеем $D (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = - q (x, t) - 2 ρ hw ¨ + 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle D \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} + {\ гидроразрыв {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w} } _ {, 33} \ right) \,.}$ $D \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212} } + w _ {{, 2222}} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} + {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,.$ При малых деформациях мы часто пренебрегаем пространственными производными от поперечного ускорения пластины, и остается $D (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = - q (x, t) - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,. }$ $D \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212}} + w _ {{, 2222}} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.$ Тогда в прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид $D ∇ 2 ∇ 2 w = - q (x, y, t) - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -q (x, y, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.}$ ${\ displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -q (x, y, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.}$

Вывод динамических управляющих уравнений для изотропных уравнений Кирхгофа- Пластины Лява

Для изотропной и однородной пластины отношения напряжение-деформация следующие:

[σ 11 σ 22 σ 12] = E 1 - ν 2 [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ε 11 ε 22 ε 12]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ { 22} \\\ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} \,.}

\ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} \\ \ sigma_ {22} \\ \ sigma_ {12} \ end {bmatrix} = \ cfrac {E} {1- \ nu ^ 2} \ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\ \ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ varepsilon_ {11} \\ \ varepsilon_ {22} \\ \ varepsilon_ {12} \ end {bmatrix} \,.

где $ε α β {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta}}$ $\ varepsilon _ {\ alpha \ beta}$ - деформации в плоскости. Соотношения деформация-смещение для пластин Кирхгофа-Лява следующие:

ε α β = 1 2 (u α, β + u β, α) - x 3 w, α β. {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} + u _ {\ beta, \ alpha}) - x_ {3} \, w_ {, \ alpha \ beta} \,.}

\ varepsilon _ {{\ alpha \ beta}} = {\ frac {1} {2 }} (u _ {{\ alpha, \ beta}} + u _ {{\ beta, \ alpha}}) - x_ {3} \, w _ {{, \ alpha \ beta}} \,.

Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

[M 11 M 22 M 12] = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) [1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 - ν] [ш, 11 ш, 22 ш, 12] {\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end { bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {, 11} \\ w _ {, 22} \\ w _ {, 12} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} M _ {{11}} \\ M _ {{22}} \\ M _ {{12}} \ end {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} ~ {\ begin {bmatrix} 1 \ nu 0 \\\ nu 1 0 \\ 0 0 1- \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} w _ {{, 11}} \\ w _ {{, 22}} \\ w _ {{, 12}} \ end {bmatrix}}

Основное уравнение для изотропной и однородная пластина одинаковой толщины $2 h {\ displaystyle 2h}$ $2h$ при отсутствии смещений в плоскости

M 11, 11 + 2 M 12, 12 + M 22, 22 - q (x, t) = 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ Displaystyle M_ {11,11} + 2M_ {12,12} + M_ {22,22} -q (x, t) = 2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} { 3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33 } \ right) \,.}

M _ {{11,11}} + 2M _ {{12,12}} + M _ {{22,22}} - q (x, t) = 2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w} } _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,.

Дифференцирование выражений для результирующих моментов дает нам

M 11, 11 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + ν w, 2211) M 22, 22 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (ν w, 1122 + w, 2222) M 12, 12 = - 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (1 - ν) ш, 1212 {\ displaystyle {\ begin {align} M_ {11,11} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w_ {, 1111} + \ nu ~ w _ {, 2211} \ right) \\ M_ {22,22} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2}) }} \ left (\ nu ~ w _ {, 1122} + w _ {, 2222} \ right) \\ M_ {12,12} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} \ end {align}}}

{\ begin {align} M_ { {11,11}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + \ nu ~ w_ { {, 2211}} \ right) \\ M _ {{22,22}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (\ nu ~ w _ {{, 1122}} + w _ {{, 2222}} \ right) \\ M _ {{12,12}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} \ end {align}}

Подстановка в основные уравнения приводит к

- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + ν w, 2211 + 2 (1 - ν) w, 1212 + ν w, 1122 + w, 2222) = q (x, t) + 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 ( w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} + \ nu ~ w_ {, 2211} +2 (1- \ nu) ~ w _ {, 1212} + \ nu ~ w _ {, 1122} + w _ {, 2222} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h { \ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33} \ right) \,. \ End {align}}}

{\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + \ nu ~ w _ {{, 2211}} + 2 (1- \ nu) ~ w _ {{, 1212}} + \ nu ~ w_ { {, 1122}} + w _ {{, 2222}} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {, 33 }} \ right) \,. \ end {align}}

Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, мы имеем $w, 2211 = w, 1212 знак равно вес, 1122 {\ Displaystyle ш _ {, 2211} = ш _ {, 1212} = ш _ {, 1122}}$ $w_{{,2211}}=w_{{,1212}}=w_{{,1122}}$ . Следовательно,

- 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = q (x, t) + 2 ρ hw ¨ - 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w}} _ {, 33} \ right) \,. \ end {выровнено} }}

{\ begin {align} - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212}} + w _ {{, 2222}} \ right) = \\ q (x, t) +2 \ rho h {\ ddot {w}} - {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ d точка {w}} _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,. \ end {выровнено}}

Если жесткость пластины при изгибе определяется как

D: = 2 h 3 E 3 (1 - ν 2) {\ displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} { 3 (1- \ nu ^ {2})}}}

D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ { 2})}}

имеем

D (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = - q (x, t) - 2 ρ hw ¨ + 2 3 ρ h 3 (w ¨, 11 + w ¨, 22 + w ¨, 33). {\ displaystyle D \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} + {\ гидроразрыв {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {, 11} + {\ ddot {w}} _ {, 22} + {\ ddot {w} } _ {, 33} \ right) \,.}

D \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212} } + w _ {{, 2222}} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} + {\ frac {2} {3}} \ rho h ^ {3} \ left ({\ ddot {w}} _ {{, 11}} + {\ ddot {w}} _ {{, 22}} + {\ ddot {w}} _ {{, 33}} \ right) \,.

При малых деформациях мы часто пренебрегаем пространственными производными от поперечного ускорения пластины, и остается

D (w, 1111 + 2 w, 1212 + w, 2222) = - q (x, t) - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \ left (w _ {, 1111} + 2w _ {, 1212} + w _ {, 2222} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,. }

D \ left (w _ {{, 1111}} + 2w _ {{, 1212}} + w _ {{, 2222}} \ right) = - q (x, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.

Тогда в прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид

D ∇ 2 ∇ 2 w = - q (x, y, t) - 2 ρ hw ¨. {\ displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -q (x, y, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.}

{\ displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = -q (x, y, t) -2 \ rho h {\ ddot {w}} \,.}

Ссылки

^А. Е. Х. Любовь, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек, Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия A, № 17 стр. 491–549.
^Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
^ Тимошенко, С., Войновски-Кригер, С., (1959), Теория пластин и оболочек, McGraw-Hill, New York.

См. Также