Результирующие напряжения

Результирующие напряжения - это упрощенные представления напряженного состояния в элементах конструкции, таких как балки, пластины или оболочки. Геометрия типичных структурных элементов позволяет упростить внутреннее напряженное состояние из-за наличия направления «толщины», в котором размер элемента намного меньше, чем в других направлениях. Как следствие, три компонента тяги, которые изменяются от точки к точке в поперечном сечении, могут быть заменены набором равнодействующих сил и результирующих моментов. Это равнодействующие напряжения (также называемые мембранными силами, поперечными силами и изгибающим моментом ), которые могут использоваться для определения подробного напряженного состояния в структурном элементе. Тогда трехмерная задача может быть сведена к одномерной задаче (для балок) или двумерной задаче (для пластин и оболочек).

Результирующие напряжения определяются как интегралы напряжения по толщине элемента конструкции. Интегралы взвешиваются целыми степенями координаты толщины z (или x 3). Результирующие напряжения определены таким образом, чтобы представить эффект напряжения как мембранную силу N (нулевая степень по z), изгибающий момент M (степень 1) на балку или оболочку (конструкцию). Результирующие напряжения необходимы, чтобы исключить зависимость напряжения от z из уравнений теории пластин и оболочек.

• 1 Результирующие напряжения в балках
  • 1.1 Мембранные и поперечные силы
  • 1.2 Изгибающие моменты
• 2 Результирующие напряжения в пластинах и оболочках
  • 2.1 Мембранные и поперечные силы
  • 2.2 Изгибающие моменты
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Компоненты напряжения на поверхностях конструктивного элемента.

Рассмотрим элемент, показанный на соседнем рисунке. Предположим, что направление толщины равно x 3. Если элемент был извлечен из балки, ширина и толщина сопоставимы по размеру. Пусть x 2 будет направлением ширины. Тогда x 1 - это направление длины.

Мембранные и поперечные силы

Вектор результирующей силы из-за тяги в поперечном сечении ( A), перпендикулярном оси x 1, равен

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = \ int _ {A} (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {2 } + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}) \, dA}$

где e 1, e 2, e 3 - единичные векторы вдоль x 1, x 2 и x 3 соответственно. Определим результирующие напряжения так, что

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} =: N_ {11} \ mathbf {e} _ {1} + V_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + V_ {3} \ mathbf {e } _ {3}}$

где N 11 - мембранная сила, а V 2, V 3 - поперечные силы. Более точно, для пучка высоты т и шириной Ь,

${\ Displaystyle N_ {11} = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} \ sigma _ {11} \, dx_ {3} \, dx_ {2} \,.}$

Аналогичным образом равнодействующие силы сдвига равны

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {2} \\ V_ {3} \ end {bmatrix}} = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {13} \ end {bmatrix}} \, dx_ {3} \, dx_ {2} \,.}$

Изгибающие моменты

Вектор изгибающего момента из-за напряжений в поперечном сечении A, перпендикулярном оси x 1, определяется выражением

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {A} \ mathbf {r} \ times (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}) \, dA \ quad {\ text {where}} \ quad \ mathbf {r} = x_ {2} \, \ mathbf {e} _ {2} + x_ {3} \, \ mathbf {e} _ {3} \,.}$

Расширяя это выражение, мы имеем

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {A} \ left (-x_ {2} \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {3} + x_ {2} \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {1} + x_ {3} \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {2} -x_ {3} \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ { 1} \ right) dA =: M_ {11} \, \ mathbf {e} _ {1} + M_ {12} \, \ mathbf {e} _ {2} + M_ {13} \, \ mathbf {e } _ {3} \,.}$

Результирующие компоненты изгибающего момента можно записать как

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {12} \\ M_ {13} \ end {bmatrix}}: = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} {\ begin {bmatrix} x_ {2} \ sigma _ {13} -x_ {3} \ sigma _ {12} \\ x_ {3} \ sigma _ { 11} \\ - x_ {2} \ sigma _ {11} \ end {bmatrix}} \, dx_ {3} \, dx_ {2} \,.}$

Для пластин и оболочек размеры x 1 и x 2 намного больше, чем размер в направлении x 3. Интегрирование по площади поперечного сечения должно было бы включать одно из более крупных измерений и привело бы к модели, которая слишком проста для практических расчетов. По этой причине напряжения интегрируются только по толщине, а результирующие напряжения обычно выражаются в единицах силы на единицу длины (или момента на единицу длины), а не в истинных силе и моменте, как в случае балок.

Мембранные и поперечные силы

Для пластин и оболочек необходимо учитывать два поперечных сечения. Первый перпендикулярен оси x 1, а второй перпендикулярен оси x 2. Следуя той же процедуре, что и для балок, и учитывая, что теперь результирующие на единицу длины, мы имеем

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12 } \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}) \, dx_ {3} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathbf {F} _ {2} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} (\ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {22} \ mathbf {e} _ {2 } + \ sigma _ {23} \ mathbf {e} _ {3}) \, dx_ {3}}$

Мы можем написать это как

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = N_ {11} \ mathbf {e} _ {1} + N_ {12} \ mathbf {e} _ {2} + V_ {1} \ mathbf {e} _ {3} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathbf {F} _ {2} = N_ {12} \ mathbf {e} _ {1} + N_ {22} \ mathbf {e} _ { 2} + V_ {2} \ mathbf {e} _ {3}}$

где мембранные силы определяются как

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_ {12} \ end {bmatrix}}: = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} \, dx_ {3}}$

а поперечные силы определяются как

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {23} \ end {bmatrix}} \, dx_ {3} \,.}$

Изгибающие моменты

Для результирующих изгибающих моментов имеем

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} \ mathbf {r} \ times (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1 } + \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}) \, dx_ {3} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathbf {M} _ {2} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} \ mathbf {r} \ times (\ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {22} \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {23} \ mathbf {e} _ {3}) \, dx_ {3}}$

где r = x 3 e 3. Расширяя эти выражения, мы получаем

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} [- x_ {3} \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {1} + x_ {3} \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {2}] \, dx_ {3} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathbf {M} _ {2} = \ int _ {-t / 2} ^ {t / 2} [- x_ {3} \ sigma _ {22} \ mathbf {e} _ {1} + x_ {3} \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _ {2}] \, dx_ {3}}$

Определите равнодействующие изгибающего момента так, чтобы

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {1} =: - M_ {12} \ mathbf {e} _ {1} + M_ {11} \ mathbf {e} _ {2} \ quad {\ text {and} } \ quad \ mathbf {M} _ {2} =: - M_ {22} \ mathbf {e} _ {1} + M_ {12} \ mathbf {e} _ {2} \,.}$

Тогда равнодействующие изгибающих моментов имеют вид

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ end {bmatrix}}: = \ int _ {- t / 2} ^ {t / 2} x_ { 3} \, {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} \, dx_ {3} \,.}$

Это результаты, которые часто встречаются в литературе, но необходимо следить за тем, чтобы знаки правильно интерпретировались.

• Сдвигающая сила
• Изгибающий момент
• Теория пластин
• Гибка плит
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Вибрация плит