K-распределение

В вероятности и статистике K-распределение - трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей. Распределение возникает путем сложения двух гамма-распределений. В каждом случае используется повторная параметризация обычной формы семейства гамма-распределений, так что параметрами являются:

• среднее значение распределения и
• обычный параметр формы.

K-распределение - это частный случай дисперсионно-гамма-распределения, который, в свою очередь, является частным случаем обобщенного гиперболического распределения.

• 1 Плотность
• 2 Момента
• 3 Другие свойства
• 4 Приложения
• 5 Примечания
• 6 Источники
• 7 Дополнительная литература

Модель такова, что случайная величина $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет гамма-распределение со средним значением $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$и параметром формы $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, причем $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$рассматривается как случайная величина, имеющая другое гамма-распределение, на этот раз со средним значением $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и параметр формы $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. В результате $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет следующую функцию плотности вероятности (pdf) для $x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; x>0\}$:

$е\; Икс\; (Икс;\; \mu ,\; \nu ,\; L)\; знак\; равно\; 2\; \xi \; (\beta \; +\; 1)\; /\; 2\; x\; (\beta \; -\; 1)\; /\; 2\; \Gamma \; (L)\; \Gamma \; (\nu )\; К\; \alpha \; (2\; \xi \; x),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{\; X\}\; (x;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; nu,\; L)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; \backslash \; xi\; ^\; \{(\backslash \; beta\; +1)\; /\; 2\}\; x\; ^\; \{(\backslash \; beta\; -1)\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (L)\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; nu)\}\}\; K\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\; x\}\}),\}$

где $\alpha \; =\; \nu \; -\; L,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; nu\; -L,\}$$\beta \; =\; L\; +\; \nu \; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; L\; +\; \backslash \; nu\; -1,\}$$\xi \; =\; L\; \nu \; /\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; L\; \backslash \; nu\; /\; \backslash \; mu,\}$и $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- это модифицированная функция Бесселя второго рода. В этом выводе K-распределение составное распределение вероятностей. Это также распределение продуктов : это распределение произведения двух независимых случайных переменных. способностей, один из которых имеет гамма-распределение со средним значением 1 и параметром формы $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, второй имеет гамма-распределение со средним значением $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и параметр формы $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$.

Более простой двухпараметрической формализацией K-распределения является

$f\; X\; (x;\; б,\; v)\; знак\; равно\; 2\; б\; \Gamma \; (v)\; (bx\; 2)\; v\; К\; v\; -\; 1\; (bx),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (x;\; b,\; v)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2b\}\; \{\backslash \; Gamma\; (v)\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{bx\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{v\}\; K\_\; \{v-1\}\; (bx),\}$

где v - коэффициент формы, b - коэффициент масштабирования, K - модифицированная функция Бесселя второго рода.

Это распределение взято из статьи Эрика Джейкмана и Питера Пьюзи (1978), которые использовали его для моделирования микроволнового морского эха. Джейкман и Таф (1987) вывели распределение на основе смещенной модели случайного блуждания. Уорд (1981) получил распределение из произведения двух случайных величин, z = a y, где a имеет распределение хи, а y - комплексное распределение Гаусса. Модуль z, | z |, тогда имеет K-распределение.

Производящая функция момента определяется выражением

$MX\; (s)\; =\; (\xi \; s)\; \beta \; /\; 2\; exp\; \; (\xi \; 2\; s)\; W\; -\; \beta \; /\; 2,\; \alpha \; /\; 2\; (\xi \; s),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{X\}\; (s)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; beta\; /\; 2\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; xi\}\; \{2s\}\}\; \backslash \; right)\; W\; \_\; \{-\; \backslash \; beta\; /\; 2,\; \backslash \; alpha\; /\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{s\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $W\; -\; \beta \; /\; 2,\; \alpha \; /\; 2\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \_\; \{-\; \backslash \; beta\; /\; 2,\; \backslash \; alpha\; /\; 2\}\; (\backslash \; cdot)\}$- это функция Уиттекера.

n -й момент K-распределения определяется как

$\mu \; n\; =\; \xi \; -\; n\; \Gamma \; (L\; +\; n)\; \Gamma \; (\nu \; +\; n)\; \Gamma \; (L)\; \Gamma \; (\nu ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; му\; \_\; \{п\}\; =\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (L\; +\; n)\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; nu\; +\; n)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (L)\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; nu)\}\; \}.\}$

Таким образом, среднее значение и дисперсия определяются как

$E\; \; (X)\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X)\; =\; \backslash \; mu\}$

$var\; \; (X)\; =\; \mu \; 2\; \nu \; +\; L\; +\; 1\; L\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; +\; L\; +\; 1\}\; \{L\; \backslash \; nu\}\}.\}$

Все свойства распределения симметричны в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и $\nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu.\}$

K-распределение возникает как следствие статистической или вероятностной модели, используемой в радиолокационных изображениях (SAR) с синтезированной апертурой. K-распределение формируется путем объединения двух отдельных распределений вероятностей, одно из которых представляет поперечное сечение радара, а другое представляет собой спекл, который является характеристикой когерентного визуализация. Он также используется в беспроводной связи для моделирования сложных эффектов быстрого затухания и затенения.

• Реддинг, Николас Дж. (1999) Оценка параметров распределения K в области интенсивности [1]. Отчет DSTO-TR-0839, Лаборатория электроники и наблюдения DSTO, Южная Австралия. п. 60
• Джейкман, Э. и Пьюзи, П.Н. (1978) «Значение K-распределений в экспериментах по рассеянию», Physical Review Letters, 40, 546–550 doi : 10.1103 /PhysRevLett.40.546
• Джейкман, Э. и Таф, RJA (1987) «Обобщенное К-распределение: статистическая модель для слабого рассеяния», J. Opt. Soc. Am., 4, (9), pp. 1764 - 1772.
• Уорд, К. Д. (1981) "Составное представление морских помех высокого разрешения", Электрон. Lett., 17, pp. 561 - 565.
• Лонг, М.В. (2001) «Радиолокационная отражательная способность суши и моря», 3-е изд., Artech House, Норвуд, Массачусетс, 2001.
• Bithas, PS; Сагиас, Северная Каролина; Mathiopoulos, P.T.; Карагианнидис, Г.К.; Ронтожаннис, А.А. (2006) «Об анализе производительности цифровой связи по каналам с замираниями обобщенного K», IEEE Communications Letters, 10 (5), стр. 353 - 355.

• Jakeman, E. (1980) » О статистике K-распределенного шума », Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31–48
• Ward, KD; Жесткий, Роберт Дж. А.; Уоттс, Саймон (2006) Морские помехи: рассеяние, распределение K и характеристики радара, Институт инженерии и технологий. ISBN 0-86341-503-2