Функция Уиттекера

В математике функция Уиттекера является специальным решением Уиттакера. Уравнение r, модифицированная форма конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, введенная Whittaker (1904), чтобы сделать формулы, включающие решения, более симметричными. В более общем смысле, Жаке (1966, 1967) представил функции Уиттекера редуктивных групп над локальными fields, где функции, изученные Уиттакером, по сути, являются случаем, когда локальное поле - это действительные числа, а группа - SL 2(R).

Уравнение Уиттекера:

$d\; 2\; wdz\; 2\; +\; (-\; 1\; 4\; +\; \kappa \; z\; +\; 1/4\; -\; \mu \; 2\; z\; 2)\; w\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\}\; \{z\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; /\; 4-\; \backslash \; mu\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; w\; =\; 0.\}$

Он имеет регулярную особую точку в 0 и нерегулярную особую точку в ∞. Два решения задаются функциями Уиттекера M κ, μ (z), W κ, μ (z), определенными в терминах Куммера. конфлюэнтные гипергеометрические функции M и U через

$M\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; =\; exp\; \; (-\; z\; /\; 2)\; z\; \mu \; +\; 1\; 2\; M\; (\mu \; -\; \kappa \; +\; 1\; 2,\; 1\; +\; 2\; \mu ,\; z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; kappa,\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-z\; /\; 2\; \backslash \; right)\; z\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; M\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; kappa\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1\; +\; 2\; \backslash \; mu,\; z\; \backslash \; right)\}$

$W\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; =\; exp\; \; (-\; z\; /\; 2)\; z\; \mu \; +\; 1\; 2\; U\; (\mu \; -\; \kappa \; +\; 1\; 2,\; 1\; +\; 2\; \mu ,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \_\; \{\backslash \; kappa,\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-z\; /\; 2\; \backslash \; right)\; z\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; U\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; kappa\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1\; +\; 2\; \backslash \; mu,\; z\; \backslash \; right).\}$

Функции Уиттекера $M\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; каппа,\; \backslash \; mu\}\; (z)\}$и $W\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \_\; \{\backslash \; kappa,\; \backslash \; mu\}\; (z)\}$такие же, как и с противоположными значениями μ, другими словами, рассматриваемые как функция от μ при фиксированных κ и z, они являются четными функциями. Когда κ и z действительны, функции дают действительные значения для действительных и мнимых значений μ. Эти функции от μ играют роль в так называемых.

функциях Уиттекера появляются как коэффициенты некоторых представлений группы SL 2(R), называемых моделями Уиттекера.

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 504, 537. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.См. Также главу 14.
• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF), 1, McGraw-Hill.
• Брычков Ю.А.; Прудников, А.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
• Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Функция Уиттакера», в Олвер, Фрэнк В.Дж. ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  • Жаке, Эрве (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262 : A943 – A945, ISSN 0151-0509, MR 0200390
• Жаке, Эрве (1967), «Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley», Bulletin de la Société Mathématique de France, 95 : 243–309, doi : 10.24033 / bsmf.1654, ISSN 0037-9484, MR 0271275
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.
• Уиттакер, Эдмунд Т. (1904), «Выражение некоторых известных функций как обобщенных гипергеометрических функций», Бюллетень AMS, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 10(3): 125–134, doi : 10.1090 / S0002-9904-1903-01077-5

• Хатамзаде-Вармазьяр, Саид; Масури, Захра (01.11.2012). «Быстрый численный метод анализа одномерного и двумерного электромагнитного рассеяния с использованием набора кардинальных функций». Инженерный анализ с граничными элементами. 36 (11): 1631–1639. doi : 10.1016 / j.enganabound.2012.04.014. ISSN 0955-7997.
• Герасимов А.А.; Лебедев, Дмитрий Р.; Облезин, Сергей В. (2012). «Новые интегральные представления функций Уиттекера для классических групп Ли». Российские математические обзоры. 67 (1): 1–92. arXiv : 0705.2886. Bibcode : 2012RuMaS..67.... 1G. doi : 10.1070 / RM2012v067n01ABEH004776. ISSN 0036-0279.
• Бодуан, Фабрис; О’Коннелл, Нил (2011). «Экспоненциальные функционалы броуновского движения и функции Уиттекера первого класса». Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques. 47 (4): 1096–1120. Bibcode : 2011AIHPB..47.1096B. DOI : 10.1214 / 10-AIHP401. S2CID 113388.
• Макки, Марк (апрель 2009 г.). «Функция Уиттекера бесконечного порядка». Канадский математический журнал. 61 (2): 373–381. DOI : 10.4153 / CJM-2009-019-x. ISSN 0008-414X.
• Mathai, A.M.; Педерзоли, Джорджио (1 марта 1997 г.). «Некоторые свойства матричных преобразований Лапласа и матричных функций Уиттекера». Линейная алгебра и ее приложения. 253 (1): 209–226. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00705-9. ISSN 0024-3795.
• Уиттакер, Дж. М. (май 1927 г.). «О кардинальной функции теории интерполяции». Труды Эдинбургского математического общества. 1 (1): 41–46. doi : 10.1017 / S0013091500007318. ISSN 1464-3839.
• Чередник, Иван (2009). «Пределы Уиттекера разностных сферических функций». Уведомления о международных математических исследованиях. 2009 (20): 3793–3842. arXiv : 0807.2155. doi : 10.1093 / imrn / rnp065. ISSN 1687-0247. S2CID 6253357.
• Слейтер, Л. Дж. (Октябрь 1954 г.). «Разложения обобщенных функций Уиттекера». Математические труды Кембриджского философского общества. 50 (4): 628–631. Bibcode : 1954PCPS... 50..628S. doi : 10.1017 / S0305004100029765. ISSN 1469-8064.
• Этингоф, Павел (1999-01-12). «Функции Уиттекера на квантовых группах и q-деформированные операторы Тоды». arXiv : math / 9901053.
• Макнамара, Питер Дж. (2011-01-15). «Метаплектические функции Уиттекера и кристаллические основы». Математический журнал герцога. 156 (1): 1–31. arXiv : 0907.2675. DOI : 10.1215 / 00127094-2010-064. ISSN 0012-7094. S2CID 979197.
• Mathai, A.M.; Педерзоли, Джорджио (1998-01-15). «Функция Уиттекера матричного аргумента». Линейная алгебра и ее приложения. 269 (1): 91–103. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (97) 00059-1. ISSN 0024-3795.
• Frenkel, E.; Гайцгори, Д.; Каждан, Д.; Вилонен, К. (1998). «Геометрическая реализация функций Уиттекера и гипотеза Ленглендса». Журнал Американского математического общества. 11 (2): 451–484. DOI : 10.1090 / S0894-0347-98-00260-4. ISSN 0894-0347. S2CID 13221400.