В теории представлений, раздел математики, модель Уиттекера является реализацией представления редуктивной алгебраической группы, такой как GL 2 над конечным или локальным или глобальное поле в пространстве функций в группе. Назван в честь Э. Т. Уиттакер, хотя он никогда не работал в этой области, поскольку (Жаке 1966, 1967) указал, что для группы SL 2(R) некоторые из функций, связанных с в представлении находятся функции Уиттекера.
Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а те, которые имеют модель Уиттекера, иногда называют «общими». Представление θ10 симплектической группы Sp4является простейшим примером вырожденного представления.
Содержание
- 1 Модели Уиттекера для GL 2
- 2 Модели Уиттекера для GL n
- 3 Модели Уиттекера для восстановительных групп
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
- 6 Дополнительная литература
Whittaker модели для GL 2
Если G - алгебраическая группа GL2и F - локальное поле, а τ - фиксированный нетривиальный символ аддитивной группы группы F и π является неприводимым представлением общей линейной группы G (F ), то модель Уиттекера для π является представлением π в пространстве функций ƒ на G (F ), удовлетворяющие
Jacquet Langlands (1970) использовал модели Уиттекера для присвоения L-функций допустимым представлениям GL 2.
моделей Уиттекера для GL n
Пусть будет общая линейная группа , гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный символ из и подгруппа , состоящий из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный символ на имеет вид
для ∈ и ненулевое ∈ . Если является гладким представлением , функционал Уиттекера является непрерывным линейным функционалом на такой, что для всех ∈ , ∈ . Кратность один утверждает, что, для унитарно неприводимое пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.
Модели Уиттекера для редуктивных групп
Если G - расщепляемая редуктивная группа, а U - унипотентный радикал борелевской подгруппы B, то модель Уиттекера для представления - это вложение ее в индуцированное (Гельфанд – Граев ) представление Ind. U(χ), где χ - невырожденный характер U, такой как сумма характеров, соответствующих простым корням.
См. Также
- представление Гельфанда – Граева, примерно сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
- Модель Кириллова
Ссылки
- Jacquet, Hervé (1966), " Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples ", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262 : A943 – A945, ISSN 0151-0509, MR 0200390
- Жаке, Эрве (1967), «Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley», Bulletin de la Société Mathématique de France, 95 : 243–309, ISSN 0037-9484, MR 0271275
- Jacquet, H.; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654
- Дж. А. Шалика, Теорема о кратности один для , Annals of Mathematics, 2nd. Сер., Т. 100, No. 2 (1974), 171-193.
Дополнительная литература
- Jacquet, Hervé; Шалика, Джозеф (1983). «Модели индуцированных представлений Уиттекера». Тихоокеанский математический журнал. 109 (1): 107–120. ISSN 0030-8730.