Модель Уиттекера

редактировать

В теории представлений, раздел математики, модель Уиттекера является реализацией представления редуктивной алгебраической группы, такой как GL 2 над конечным или локальным или глобальное поле в пространстве функций в группе. Назван в честь Э. Т. Уиттакер, хотя он никогда не работал в этой области, поскольку (Жаке 1966, 1967) указал, что для группы SL 2(R) некоторые из функций, связанных с в представлении находятся функции Уиттекера.

Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а те, которые имеют модель Уиттекера, иногда называют «общими». Представление θ10 симплектической группы Sp4является простейшим примером вырожденного представления.

Содержание

  • 1 Модели Уиттекера для GL 2
  • 2 Модели Уиттекера для GL n
  • 3 Модели Уиттекера для восстановительных групп
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Дополнительная литература

Whittaker модели для GL 2

Если G - алгебраическая группа GL2и F - локальное поле, а τ - фиксированный нетривиальный символ аддитивной группы группы F и π является неприводимым представлением общей линейной группы G (F ), то модель Уиттекера для π является представлением π в пространстве функций ƒ на G (F ), удовлетворяющие

f ((1 b 0 1) g) = τ (b) f (g). {\ displaystyle f \ left ({\ begin {pmatrix} 1 b \\ 0 1 \ end {pmatrix}} g \ right) = \ tau (b) f (g).}{\ displaystyle f \ left ({\ begin {pmatrix} 1 b \\ 0 1 \ end {pmatrix}} g \ right) = \ tau (b) f (g).}

Jacquet Langlands (1970) использовал модели Уиттекера для присвоения L-функций допустимым представлениям GL 2.

моделей Уиттекера для GL n

Пусть G {\ displaystyle G}G будет общая линейная группа GL n {\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}\ operatorname {GL} _ {n} , ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный символ из F {\ displaystyle F}Fи U {\ displaystyle U}U подгруппа GL n {\ displaystyle \ operatorname {GL} _ { n}}\ operatorname {GL} _ {n} , состоящий из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный символ на U {\ displaystyle U}U имеет вид

χ (u) = ψ (α 1 x 12 + α 2 x 23 + ⋯ + α n - 1 xn - 1 n), {\ displaystyle \ chi (u) = \ psi (\ alpha _ {1} x_ {12} + \ alpha _ {2} x_ {23} + \ cdots + \ alpha _ {n- 1} x_ {n-1n}),}{\ displaystyle \ chi (u) = \ psi (\ alpha _ {1} x_ {12} + \ alpha _ {2} x_ {23} + \ cdots + \ alpha _ {n-1} x_ {n-1n}),}

для u = (xij) {\ displaystyle u = (x_ {ij})}{\ displaystyle u = (x_ {ij})} U {\ displaystyle U}U и ненулевое α 1,…, α n - 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n-1}}{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n-1}} F {\ displaystyle F}F. Если (π, V) {\ displaystyle (\ pi, V)}{\ displaystyle (\ pi, V)} является гладким представлением G (F) {\ displaystyle G (F)}{\ displaystyle G (F)} , функционал Уиттекера λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda является непрерывным линейным функционалом на V {\ displaystyle V}V такой, что λ (π (u) v) знак равно χ (u) λ (v) {\ displaystyle \ lambda (\ pi (u) v) = \ chi (u) \ lambda (v)}{\ displaystyle \ lambda (\ пи (и) v) = \ чи (и) \ лямбда (v)} для всех u {\ displaystyle u}u U {\ displaystyle U}U , v {\ displaystyle v}v V {\ displaystyle V}V . Кратность один утверждает, что, для π {\ displaystyle \ pi}\ pi унитарно неприводимое пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.

Модели Уиттекера для редуктивных групп

Если G - расщепляемая редуктивная группа, а U - унипотентный радикал борелевской подгруппы B, то модель Уиттекера для представления - это вложение ее в индуцированное (Гельфанд – Граев ) представление Ind. U(χ), где χ - невырожденный характер U, такой как сумма характеров, соответствующих простым корням.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-06-20 14:47:33
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте