Релаксация Гавриляка – Негами

редактировать

Модель в электромагнетизме

Релаксация Гавриляка – Негами представляет собой эмпирическую модификацию релаксационная модель Дебая в электромагнетизме. В отличие от модели Дебая, релаксация Гавриляка – Негами объясняет асимметрию и ширину кривой диэлектрической дисперсии. Модель впервые была использована для описания диэлектрической релаксации некоторых полимеров путем добавления двух экспоненциальных параметров к уравнению Дебая:

ε ^ (ω) = ε ∞ + Δ ε (1 + (я ω τ) α) β, {\ Displaystyle {\ Hat {\ varepsilon}} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ Delta \ varepsilon} {(1+ ( i \ omega \ tau) ^ {\ alpha}) ^ {\ beta}}},}

{\ displaystyle {\ шляпа {\ varepsilon}} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ Delta \ varepsilon} {(1+ (i \ omega \ tau) ^ {\ alpha}) ^ {\ beta} }},}

где $ε ∞ {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$ $\ varepsilon _ {\ infty}$ - это диэлектрическая проницаемость на верхнем пределе частоты, $Δ ε = ε s - ε ∞ {\ displaystyle \ Delta \ varepsilon = \ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}}$ $\ Delta \ varepsilon = \ varepsilon_ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}$ где $ε s {\ displaystyle \ varepsilon _ {s}}$ $\varepsilon_{s}$ - статическая низкочастотная диэлектрическая проницаемость, а $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ тау$ - характерное время релаксации среды. Показатели $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ бета$ описывают асимметрию и широту соответствующих спектров.

В зависимости от приложения преобразование Фурье растянутой экспоненциальной функции может быть жизнеспособной альтернативой, у которой на один параметр меньше.

Для $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ уравнение Гавриляка – Негами сводится к уравнению Коула – Коула для $α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1}$ $\ alpha = 1$ в.

Содержание

1 Математические свойства
- 1.1 Действительная и мнимая части
- 1.2 Пик потерь
- 1.3 Суперпозиция лоренцианов
- 1.4 Логарифмические моменты
- 1.5 Обратное преобразование Фурье
2 Ссылки
3 См. Также

Математические свойства

Реальная и мнимая части

Запоминающая часть $ε ′ {\ displaystyle \ varepsilon '}$ $\varepsilon'$ и потеря часть $ε ″ {\ displaystyle \ varepsilon ''}$ $\varepsilon ''$ диэлектрической проницаемости (здесь: $ε ^ (ω) = ε ′ (ω) - i ε ″ (ω) {\ displaystyle {\ hat {\ varepsilon}} (\ omega) = \ varepsilon '(\ omega) -i \ varepsilon' '(\ omega)}$ ${\hat {\varepsilon }}(\omega)=\varepsilon '(\omega)-i\varepsilon ''(\omega)$ ) можно вычислить как

ε ′ (ω) знак равно ε ∞ + Δ ε (1 + 2 (ω τ) α соз ⁡ (π α / 2) + (ω τ) 2 α) - β / 2 соз ⁡ (β ϕ) {\ displaystyle \ varepsilon '(\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + \ Delta \ varepsilon \ left (1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ cos (\ pi \ alpha / 2) + (\ omega \ tau) ^ { 2 \ alpha} \ right) ^ {- \ beta / 2} \ cos (\ beta \ phi)}

\varepsilon '(\omega)=\varepsilon _{\infty }+\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau)^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau)^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\cos(\beta \phi)

ε ″ (ω) = Δ ε (1 + 2 (ω τ) α cos ⁡ (π α / 2) + (ω τ) 2 α) - β / 2 грех ⁡ (β ϕ) {\ displaystyle \ varepsilon '' (\ omega) = \ Delta \ varepsilon \ left (1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ cos (\ pi \ alpha / 2) + (\ omega \ tau) ^ {2 \ alpha} \ right) ^ {- \ beta / 2} \ sin (\ beta \ phi)}

\varepsilon ''(\omega)=\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau)^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau)^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\sin(\beta \phi)

ϕ = arctan ⁡ ( (ω τ) α грех ⁡ (π α / 2) 1 + (ω τ) α соз ⁡ (π α / 2)) {\ displaystyle \ phi = \ arctan \ left ({(\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ sin (\ pi \ alpha / 2) \ over 1 + (\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ cos (\ pi \ alpha / 2)} \ right)}

{\ displaystyle \ phi = \ arctan \ left ({(\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ sin (\ pi \ alpha / 2) \ over 1 + (\ omega \ tau) ^ {\ alpha} \ cos (\ pi \ alpha / 2)} \ right)}

Пик потерь

Максимум части потерь лежит при

ω max = (sin ⁡ (π α 2 (β + 1)) sin ⁡ (π α β 2 (β + 1))) 1 / α τ - 1 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {max}} = \ left ({\ sin \ left ({\ pi \ alpha \ over 2 (\ beta +1)} \ right) \ over \ sin \ left ({\ pi \ alpha \ beta \ over 2 (\ beta +1)} \ right)} \ right) ^ {1 / \ alpha} \ tau ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {max}} = \ left ({\ sin \ left ({\ pi \ alpha \ over 2 (\ beta +1)} \ right) \ over \ sin \ left ({\ pi \ alpha \ beta \ over 2 (\ beta +1)} \ right)} \ right) ^ {1 / \ alpha} \ tau ^ {- 1}}

Суперпозиция лоренцевых

Релаксация Гавриляка – Негами может быть выражена как суперпозиция индивидуальных дебаевских релаксаций

ε ^ (ω) - ϵ ∞ Δ ε = ∫ τ D = 0 ∞ 1 1 + i ω τ D g (ln ⁡ τ D) d ln ⁡ τ D {\ Displaystyle {{\ hat {\ varepsilon}} (\ omega) - \ epsilon _ {\ infty} \ over \ Delta \ varepsilon} = \ int _ {\ tau _ {D} = 0} ^ {\ infty} {1 \ над 1 + i \ omega \ tau _ {D}} g (\ ln \ tau _ {D}) d \ ln \ tau _ {D}}

{\ displaystyle {{\ hat {\ varepsilon}} (\ omega) - \ epsilon _ {\ infty} \ over \ Delta \ varepsilon} = \ int _ {\ tau _ {D} = 0} ^ {\ infty} {1 \ over 1 + i \ omega \ tau _ {D}} g (\ ln \ tau _ {D}) d \ ln \ tau _ {D}}

с функцией распределения

g (ln ⁡ τ D) = 1 π (τ D / τ) α β sin ⁡ (β θ) ((τ D / τ) 2 α + 2 (τ D / τ) α cos ⁡ (π α) + 1) β / 2 {\ displaystyle g (\ ln \ tau _ {D}) = {1 \ over \ pi} {(\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ alpha \ beta} \ sin (\ beta \ theta) \ over ( (\ tau _ {D} / \ tau) ^ {2 \ alpha} +2 (\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ alpha} \ cos (\ pi \ alpha) +1) ^ {\ beta / 2}}}

{\ displaystyle g (\ ln \ tau _ {D}) = {1 \ over \ pi} {(\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ альфа \ бета} \ sin (\ beta \ theta) \ over ((\ tau _ {D} / \ tau) ^ {2 \ alpha} +2 (\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ alpha} \ соз (\ пи \ альфа) +1) ^ {\ бета / 2}}}

где

θ = arctan ⁡ (sin ⁡ (π α) (τ D / τ) α + cos ⁡ (π α)) {\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({ \ sin (\ pi \ alpha) \ over (\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ alpha} + \ cos (\ pi \ alpha)} \ right)}

{\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ sin (\ pi \ alpha) \ над (\ тау _ {D} / \ тау) ^ {\ альфа} + \ соз (\ пи \ альфа)} \ справа)}

, если аргумент арктангенса равен положительный, иначе

θ = arctan ⁡ (грех ⁡ (π α) (τ D / τ) α + cos ⁡ (π α)) + π {\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ sin (\ pi \ alpha) \ over (\ tau _ {D} / \ tau) ^ {\ alpha} + \ cos (\ pi \ alpha)} \ right) + \ pi}

{\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ sin (\ pi \ alpha) \ over (\ тау _ {D} / \ тау) ^ {\ альфа} + \ соз (\ пи \ альфа)} \ справа) + \ пи}

Логарифмические моменты

В первый логарифмический момент этого распределения, среднее время логарифмической релаксации равно

⟨ln ⁡ τ D⟩ = ln ⁡ τ + Ψ (β) + E u α {\ displaystyle \ langle \ ln \ tau _ {D} \ rangle = \ ln \ tau + {\ Psi (\ beta) + {\ rm {Eu}} \ over \ alpha}}

{\ displaystyle \ langle \ ln \ tau _ {D} \ rangle = \ ln \ tau + {\ Psi (\ beta) + {\ rm {Eu}} \ over \ alpha}}

, где $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ - это функция дигаммы и $E u {\ displaystyle {\ rm {Eu}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {Eu}}}$ константа Эйлера.

Обратное преобразование Фурье

Обратное Преобразование Фурье функции Гавриляка-Негами (соответствующая функция релаксации во временной области) может быть вычислено численно. Можно показать, что рассматриваемые разложения в ряды являются частными случаями функции Фокса – Райта. В частности, во временной области соответствующий элемент $ε ^ (ω) {\ displaystyle {\ hat {\ varepsilon}} (\ omega)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ varepsilon}} (\ omega)}$ может быть представлен как

X ( t) знак равно ε ∞ δ (t) + Δ ε τ (t τ) α β - 1 E α, α β β (- (t / τ) α), {\ displaystyle X (t) = \ varepsilon _ {\ infty} \ delta (t) + {\ frac {\ Delta \ varepsilon} {\ tau}} \ left ({\ frac {t} {\ tau}} \ right) ^ {\ alpha \ beta -1} E_ { \ альфа, \ альфа \ бета} ^ {\ бета} (- (т / \ тау) ^ {\ альфа}),}

{\ displaystyle X (t) = \ varepsilon _ {\ infty} \ delta (t) + {\ frac {\ Delta \ varepsilon} {\ tau}} \ left ({\ frac {t} {\ tau}} \ right) ^ {\ alpha \ beta -1} E _ {\ alpha, \ alpha \ beta} ^ {\ beta} (- (t / \ tau) ^ {\ alpha}),}

где $δ (т) {\ displaystyle \ delta (t)}$ $\ delta (t)$ - дельта-функция Дирака, и

E α, β γ (z) = 1 Γ (γ) ∑ k = 0 ∞ Γ (γ + k) zkk! Γ (α К + β) {\ Displaystyle E _ {\ альфа, \ бета} ^ {\ gamma} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ gamma)}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (\ gamma + k) z ^ {k}} {k! \ Gamma (\ alpha k + \ beta)}}}

{\ displaystyle E _ {\ alpha, \ b eta} ^ {\ gamma} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ gamma)}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (\ gamma + k) z ^ {k}} {k! \ Gamma (\ alpha k + \ beta)}}}

является частным экземпляром Функция Фокса – Райта, а точнее, это три параметра функция Миттаг-Леффлера, также известная как функция Прабхакара. Функция $E α, β γ (z) {\ displaystyle E _ {\ alpha, \ beta} ^ {\ gamma} (z)}$ ${\ Displaystyle E_ { \ альфа, \ бета} ^ {\ гамма} (z)}$ может быть вычислена численно, например, с помощью код Matlab.

Ссылки

См. также