Уравнение Коула – Коула

редактировать

Уравнение Коула – Коула - это модель релаксации, которая часто используется для описания диэлектрической релаксации в полимеры.

Он задается уравнением

ε ∗ (ω) = ε ∞ + ε s - ε ∞ 1 + (i ω τ) 1 - α {\ displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau) ^ {1- \ alpha}}}}

{\ displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau) ^ {1- \ альфа}}}}

где $ε ∗ {\ displaystyle \ varepsilon ^ {*}}$ $\ varepsilon ^ *$ - комплексная диэлектрическая проницаемость, $ε s {\ displaystyle \ varepsilon _ {s}}$ $\ varepsilon_s$ и $ε ∞ {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$ $\ varepsilon_ \ infty$ - диэлектрические постоянные "статической" и "бесконечной частоты", $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - угловая частота, а $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - постоянная времени.

Параметр степени $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , который принимает значение от 0 до 1, позволяет описывать различные формы спектра. Когда $α = 0 {\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ , модель Коула-Коула сводится к модели Дебая. Когда $α>0 {\ displaystyle \ alpha>0}$ $\alpha>0$ , релаксация растягивается, т. е. распространяется на более широкий диапазон по логарифмической шкале $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , чем релаксация Дебая.

Разделение комплексной диэлектрической проницаемости $ε (ω) {\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ( \ omega)}$ было описано в исходной статье Коула и Коула следующим образом:

$ε ′ = ε ∞ + (ε s - ε ∞) 1 + (ω τ) 1 - α sin ⁡ α π / 2 1 + 2 (ω τ) 1 - α sin ⁡ α π / 2 + (ω τ) 2 (1 - α) {\ Displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + (\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {1 + (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ { 2 (1- \ alpha)}}}}$ $\varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau)^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau)^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau)^{2(1-\alpha)}}}$

$ε ″ = (ε s - ε ∞) (ω τ) 1 - α cos ⁡ α π / 2 1 + 2 (ω τ) 1 - α sin ⁡ α π / 2 + (ω τ) 2 (1 - α) {\ Displaystyle \ vare psilon '' = {\ frac {(\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ cos \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha)}}}}$ $\varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau)^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau)^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau)^{2(1-\alpha)}}}$

После введения гиперболических функций, приведенные выше выражения сводятся к следующему:

$ε ′ = ε ∞ + 1 2 (ε 0 - ε ∞) [1 - sinh ⁡ ((1 - α) x) ch ⁡ ((1 - α) x) + cos ⁡ α π / 2] {\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) \ left [1 - {\ frac {\ sinh ((1- \ alpha) x)} {\ ch ((1- \ alpha) x) + \ cos \ alpha \ pi / 2}} \ right]}$ $\varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha)x)}{\cosh((1-\alpha)x)+\cos \alpha \pi /2}}\right]$

$ε ″ = 1 2 (ε 0 - ε ∞) соз ⁡ α π / 2 cosh ⁡ ((1 - α) x) + грех ⁡ α π / 2 {\ displaystyle \ varepsilon '' '= {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {\ cos \ alpha \ pi / 2} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ sin \ alpha \ pi / 2 }}}$ $\varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos \alpha \pi /2}{\cosh((1-\alpha)x)+\sin \alpha \pi /2}}$

Здесь $x = ln ⁡ (ω τ) {\ displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}$ ${\ displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}$ .

Эти уравнения сводятся к выражению Дебая, когда $α = 0 { \ displaystyle \ alpha = 0}$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ .

Релаксация Коула – Коула представляет собой спецификацию Первый случай релаксации Гавриляка – Негами, когда параметр симметрии (β) равен 1, то есть когда релаксационные пики симметричны. Другой частный случай релаксации Гавриляка – Негами (β <1, α=1) is known as. For an abridged and updated review of anomalous dielectric relaxation in disordered systems, see Kalmykov.

Ссылки

Cole, KS; Cole, RH (1941). «Дисперсия и поглощение в диэлектриках - I характеристики переменного тока», J. Chem. Phys. 9 (4): 341–352. Bibcode : 1941JChPh... 9..341C. doi : 10.1063 /1.1750906.

Коул, К.С.; Коул, Р.Х. (1942). "Дисперсия и поглощение в диэлектриках - II характеристики постоянного тока". Journal of Chemical Physics. 10 (2): 98–105. Bibcode : 1942JChPh..10... 98C. doi : 10.1063 / 1.1723677.

Калмыков, Ю.П.; Коффи, В.Т.; Кротерс, DSF ; Титов, С.В. (2004). "Микроскопические модели диэлектрической релаксации в неупорядоченных системах". Physical Review E. 70 (4): 041103. Bibcode : 2004PhRvE.. 70d1103K. doi : 10.1103 / PhysRevE.70.041103. PMID 15600393.