В математическом анализе теорема о конечном значении (FVT) является одной из несколько аналогичных теорем используются для связи выражений частотной области с поведением временной области по мере приближения времени к бесконечности. Математически, если в непрерывном времени имеет (одностороннее) преобразование Лапласа тогда теорема об окончательном значении устанавливает условия, при которых
Аналогично, если в дискретном времени имеет (одностороннее) Z-преобразование , тогда теорема окончательного значения устанавливает условия при который
Абелева теорема о конечном значении делает предположения о поведении во временной области (или ) для вычисления . И наоборот, тауберова теорема о конечном значении делает предположения о поведении в частотной области для вычисления (или ) (см. абелевы и тауберовы теоремы для интегральных преобразований ).
Содержание
- 1 Теоремы об окончательном значении для преобразования Лапласа
- 1.1 Вывод
- 1.1.1 Стандартная теорема о конечном значении
- 1.1.2 Теорема о конечном значении с использованием преобразования Лапласа производной
- 1.1.3 Улучшенная тауберова обратная теорема о конечном значении
- 1.1.4 Расширенная теорема о конечном значении
- 1.1.5 Обобщенная теорема о конечном значении
- 1.1.6 Приложения
- 1.2 Выведение
- 1.2.1 Абелева теорема о конечном значении
- 1.2.2 Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной
- 1.2.3 Теорема об окончательном значении для среднего значения функции
- 1.2.4 Окончательное Теорема о значении для асимптотических сумм периодических функций
- 1.2.5 Теорема о конечном значении для функции, расходящейся до бесконечности
- 1.2.6 Приложения
- 1.3 Примеры
- 1.3.1 Пример, где выполняется FVT
- 1.3.2 Пример, когда FVT не выполняется
- 2 Теоремы об окончательном значении для Z-преобразования
- 2.1 Выведение
- 2.1.1 Теорема об окончательном значении
- 3 См. Также
- 4 Примечания
- 5 Внешние ссылки
Теоремы об окончательном значении для преобразования Лапласа
Вывод
В следующих операторах запись «» означает, что подходит 0, тогда как '' означает, что приближается к 0 посредством положительных чисел.
Стандартная теорема о конечном значении
Предположим, что каждый полюс находится либо в открытой левой полуплоскости или в начале координат, и что имеет не более одного полюса в начале координат. Тогда как и .
Теорема о конечном значении с использованием Преобразование Лапласа производной
Предположим, что и оба имеют преобразования Лапласа, которые существуют для всех . Если существует и существует тогда ..
Замечание
Для выполнения теоремы должны существовать оба предела. Например, если , затем не существует, но .
Улучшенная теорема тауберова обратного преобразования
Предположим, что ограничен и дифференцируем, и что также ограничен . Если as , затем .
Расширенная теорема о конечном значении
Предположим, что каждый полюс находится либо в открытой левой полуплоскости, либо в начале координат. Тогда происходит одно из следующего:
- as и .
- as и as .
- как и as .
В частности, если является кратным полюсом тогда применяется случай 2 или 3 (или ).
Обобщенная теорема о конечном значении
Предположим, что преобразуем по Лапласу. Пусть . Если существует и существует тогда
где обозначает Гамма-функцию.
Приложения
Теоремы об окончательном значении для получения иметь приложения для установления долгосрочной стабильности системы.
Выведение Абелева теорема о конечном значении
Предположим, что ограничено и измеримо и . Тогда существует для всех и .
Элементарное доказательство
Предположим для удобства, что на , и пусть . Пусть и выберите , чтобы для всех . Поскольку , для каждого имеем
отсюда
Теперь для каждого у нас есть
- .
С другой стороны, поскольку фиксирован, ясно, что , и поэтому if достаточно мал.
Теорема о конечном значении с использованием преобразования Лапласа производной
Предположим, что выполнены все следующие условия:
- является непрерывно дифференцируемым, и оба и иметь преобразование Лапласа
- абсолютно интегрируемо, то есть конечно
- существует и конечен
Тогда
- .
Примечание
в доказательстве используется теорема о доминирующей сходимости.
Теорема о конечном значении для среднего значения функции
Пусть - непрерывная и ограниченная функция такая, что существует следующий предел
Тогда .
Теорема об окончательном значении для асимптотических сумм периодических функций
Предположим, что является непрерывным и абсолютно интегрируемым в . Предположим далее, что асимптотически равно конечной сумме периодических функций , то есть
где абсолютно интегрируем в и исчезает на бесконечности. Тогда
- .
Теорема о конечном значении для функции, расходящейся до бесконечности
Пусть и быть преобразованием Лапласа . Предположим, что удовлетворяет всем следующим условиям:
- бесконечно дифференцируем в нуле
- имеет преобразование Лапласа для всех неотрицательных целых чисел
- расходится на бесконечность, как
Тогда расходится до бесконечности при .
Приложения
Теоремы об окончательном значении для получения имеют приложения в области вероятности и статистики для вычисления моментов случайной величины. Пусть будет кумулятивной функцией распределения непрерывной случайной величины и пусть быть преобразованием Лапласа-Стилтьеса из . Тогда -й момент можно рассчитать как
Стратегия состоит в том, чтобы написать
где является непрерывным и для каждого , для функции . Для каждого положите как обратную переменную Лапласа преобразовать из , получить , и применим теорему об окончательном значении, чтобы вывести . Тогда
и, следовательно, получается .
Примеры
Пример, где FVT содержит
Например, для системы, описываемой передаточной функцией
, поэтому импульсная характеристика сходится к
То есть, система возвращается к нулю после того, как ее нарушил короткий импульс. Однако преобразование Лапласа для единичной переходной характеристики равно
, поэтому переходная характеристика сходится к
и поэтому система с нулевым состоянием будет следовать экспоненциальному возрастанию до конечного значения 3.
Пример, когда FVT не выполняется
Для системы, описываемой передаточной функцией
теорема о конечном значении, по-видимому, предсказывает, что конечное значение импульсной характеристики будет равно 0, а конечное значение ступенчатой характеристики будет равно 1. Однако ни одного ограничения во временной области не существует, и поэтому теорема об окончательном значении прогнозы не верны. Фактически, и импульсная характеристика, и переходная характеристика колеблются, и (в этом частном случае) теорема об окончательном значении описывает средние значения, вокруг которых колеблются характеристики.
В теории управления выполняются две проверки, которые подтверждают действительные результаты для теоремы о конечном значении:
- Все ненулевые корни знаменателя должно иметь отрицательные действительные части.
- не должно иметь более одного полюса в начале координат..
Правило 1 не было выполнено в этом примере, поскольку корни знаменателя равны и .
Теоремы об окончательном значении для преобразования Z
Вывод Теорема о конечном значении
Если существует и существует, тогда .
См. также
Примечания
- ^Ван, Руй (2010-02-17). «Теоремы о начальном и конечном значении». Проверено 21 октября 2011 г.
- ^Алан В. Оппенгейм; Алан С. Вилльски; С. Хамид Наваб (1997). Сигналы и системы. Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN 0-13-814757-4.
- ^ Шифф, Джоэл Л. (1999). Преобразование Лапласа: теория и приложения. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-7262-3.
- ^ Граф, Урс (2004). Прикладные преобразования Лапласа и z-преобразования для ученых и инженеров. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9.
- ^ Чен, Цзе; Lundberg, Kent H.; Дэвисон, Дэниел Э.; Бернштейн, Деннис С. (июнь 2007 г.). «Повторение теоремы об окончательном значении - бесконечные пределы и иррациональная функция». Журнал IEEE Control Systems. 27 (3): 97–99. doi : 10.1109 / MCS.2007.365008.
- ^«Теорема окончательного значения преобразования Лапласа». ProofWiki. Проверено 12 апреля 2020 г.
- ^ Ullrich, David C. (2018-05-26). «Тауберова теорема о конечном значении». Math Stack Exchange.
- ^ Сопасакис, Пантелис (18.05.2019). «Доказательство теоремы об окончательном значении с использованием теоремы о доминирующей сходимости». Math Stack Exchange.
- ^Мурти, Кави Рама (07.05.2019). «Альтернативный вариант теоремы окончательного значения для преобразования Лапласа». Math Stack Exchange.
- ^Глускин, Эмануэль (1 ноября 2003 г.). «Давайте научим этому обобщению теоремы о конечном значении». Европейский журнал физики. 24 (6): 591–597. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 24/6/005.
- ^Хью, Патрик (2020-04-22). «Теорема об окончательном значении для функции, расходящейся до бесконечности?». Math Stack Exchange.
Внешние ссылки
.