Теорема о конечном значении

редактировать

В математическом анализе теорема о конечном значении (FVT) является одной из несколько аналогичных теорем используются для связи выражений частотной области с поведением временной области по мере приближения времени к бесконечности. Математически, если f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) в непрерывном времени имеет (одностороннее) преобразование Лапласа F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) тогда теорема об окончательном значении устанавливает условия, при которых

lim t → ∞ f (t) = lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}

Аналогично, если f [k] {\ displaystyle f [k]}f [k ] в дискретном времени имеет (одностороннее) Z-преобразование F (z) {\ displaystyle F (z)}{\ displaystyle F (z)} , тогда теорема окончательного значения устанавливает условия при который

lim К → ∞ е [k] = lim z → 1 (z - 1) F (z) {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k] = \ lim _ {z \ to 1} {(z-1) F (z)}}\ lim_ {k \ to \ infty} f [k] = \ lim_ {z \ to 1} {(z-1) F (z)}

Абелева теорема о конечном значении делает предположения о поведении во временной области f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) (или f [k] {\ displaystyle f [k]}f [k ] ) для вычисления lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ к \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}} . И наоборот, тауберова теорема о конечном значении делает предположения о поведении F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) в частотной области для вычисления lim t → ∞ f (t) { \ Displaystyle \ lim _ {т \ к \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t) (или lim k → ∞ f [k] {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]}{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]} ) (см. абелевы и тауберовы теоремы для интегральных преобразований ).

Содержание
  • 1 Теоремы об окончательном значении для преобразования Лапласа
    • 1.1 Вывод lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t)
      • 1.1.1 Стандартная теорема о конечном значении
      • 1.1.2 Теорема о конечном значении с использованием преобразования Лапласа производной
      • 1.1.3 Улучшенная тауберова обратная теорема о конечном значении
      • 1.1.4 Расширенная теорема о конечном значении
      • 1.1.5 Обобщенная теорема о конечном значении
      • 1.1.6 Приложения
    • 1.2 Выведение lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}
      • 1.2.1 Абелева теорема о конечном значении
      • 1.2.2 Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной
      • 1.2.3 Теорема об окончательном значении для среднего значения функции
      • 1.2.4 Окончательное Теорема о значении для асимптотических сумм периодических функций
      • 1.2.5 Теорема о конечном значении для функции, расходящейся до бесконечности
      • 1.2.6 Приложения
    • 1.3 Примеры
      • 1.3.1 Пример, где выполняется FVT
      • 1.3.2 Пример, когда FVT не выполняется
  • 2 Теоремы об окончательном значении для Z-преобразования
    • 2.1 Выведение lim k → ∞ f [k] {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]}{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]}
      • 2.1.1 Теорема об окончательном значении
  • 3 См. Также
  • 4 Примечания
  • 5 Внешние ссылки
Теоремы об окончательном значении для преобразования Лапласа

Вывод lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t)

В следующих операторах запись «s → 0 {\ displaystyle s \ to 0}{\ displaystyle s \ to 0} » означает, что s {\ displaystyle s}s подходит 0, тогда как 's ↓ 0 {\ displaystyle s \ downarrow 0}{\ displaystyle s \ downarrow 0} ' означает, что s {\ displaystyle s}s приближается к 0 посредством положительных чисел.

Стандартная теорема о конечном значении

Предположим, что каждый полюс F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) находится либо в открытой левой полуплоскости или в начале координат, и что F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) имеет не более одного полюса в начале координат. Тогда s F (s) → L ∈ R {\ displaystyle sF (s) \ to L \ in \ mathbb {R}}{\ displaystyle sF (s) \ к L \ in \ mathbb {R}} как s → 0 {\ displaystyle s \ to 0}{\ displaystyle s \ to 0} и lim t → ∞ f (t) = L {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = L}{\ displaystyle \ lim _ { t \ к \ infty} е (t) = L} .

Теорема о конечном значении с использованием Преобразование Лапласа производной

Предположим, что f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) и f '(t) {\ displaystyle f' (t)}f'(t)оба имеют преобразования Лапласа, которые существуют для всех s>0 {\ displaystyle s>0}s>0 . Если lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t) существует и lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)} }{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}} существует тогда lim t → ∞ f (t) = lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}} ..

Замечание

Для выполнения теоремы должны существовать оба предела. Например, если е (t) знак равно грех ⁡ (t) {\ displaystyle f (t) = \ sin (t)}f (t) = \ sin (t) , затем lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t) не существует, но lim s → 0 s F (s) = lim s → 0 ss 2 + 1 = 0 {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)} = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {\ frac {s} {s ^ {2} +1}} = 0 }{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)} = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {\ frac {s} {s ^ {2} +1}} = 0} .

Улучшенная теорема тауберова обратного преобразования

Предположим, что f: (0, ∞) → C {\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}}{\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}} ограничен и дифференцируем, и что tf ′ (t) {\ displaystyle tf '(t)}{\displaystyle tf'(t)}также ограничен (0, ∞) {\ displaystyle (0, \ infty)}(0, \ infty) . Если s F (s) → L ∈ C {\ displaystyle sF (s) \ to L \ in \ mathbb {C}}{\ displaystyle sF (s) \ to L \ in \ mathbb {C}} as s → 0 {\ displaystyle s \ to 0}{\ displaystyle s \ to 0} , затем lim t → ∞ f (t) = L {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = L}{\ displaystyle \ lim _ { t \ к \ infty} е (t) = L} .

Расширенная теорема о конечном значении

Предположим, что каждый полюс F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) находится либо в открытой левой полуплоскости, либо в начале координат. Тогда происходит одно из следующего:

  1. s F (s) → L ∈ R {\ displaystyle sF (s) \ to L \ in \ mathbb {R}}{\ displaystyle sF (s) \ к L \ in \ mathbb {R}} as s ↓ 0 {\ displaystyle s \ downarrow 0}{\ displaystyle s \ downarrow 0} и lim t → ∞ f (t) = L {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = L}{\ displaystyle \ lim _ { t \ к \ infty} е (t) = L} .
  2. s F (s) → + ∞ ∈ R {\ displaystyle sF (s) \ to + \ infty \ in \ mathbb {R}}{\ displaystyle sF (s) \ to + \ infty \ in \ mathbb {R}} as s ↓ 0 {\ displaystyle s \ стрелка вниз 0}{\ displaystyle s \ downarrow 0} и f (t) → + ∞ {\ displaystyle f (t) \ to + \ infty}{\ displaystyle f (t) \ to + \ infty} as t → ∞ {\ displaystyle t \ к \ infty}t \ to \ infty .
  3. s F (s) → - ∞ ∈ R {\ displaystyle sF (s) \ to - \ infty \ in \ mathbb {R}}{\ displaystyle sF (s) \ to - \ infty \ in \ mathbb {R}} как s ↓ 0 {\ displaystyle s \ downarrow 0}{\ displaystyle s \ downarrow 0} и f (t) → - ∞ {\ displaystyle f (t) \ to - \ infty}{\ displaystyle f (t) \ to - \ infty} as t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}t \ to \ infty .

В частности, если s = 0 {\ displaystyle s = 0}s = 0 является кратным полюсом F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) тогда применяется случай 2 или 3 (f (t) → + ∞ {\ displaystyle f (t) \ to + \ infty}{\ displaystyle f (t) \ to + \ infty} или f (t) → - ∞ {\ displaystyle f (t) \ to - \ infty}{\ displaystyle f (t) \ to - \ infty} ).

Обобщенная теорема о конечном значении

Предположим, что f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) преобразуем по Лапласу. Пусть λ>- 1 {\ displaystyle \ lambda>-1}\lambda>-1 . Если lim t → ∞ f (t) t λ {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {f ( t)} {t ^ {\ lambda}}}}{\ displaystyle \ lim _ {т \ к \ infty} {\ гидроразрыва {е (т)} {t ^ {\ lambda}}}} существует и lim s ↓ 0 s λ + 1 F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \ downarrow 0} {s ^ {\ lambda +1} F (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {s \ downarrow 0} {s ^ {\ lambda +1} F (s)}} существует тогда

lim t → ∞ f (t) t λ = 1 Γ (λ + 1) lim s ↓ 0 s λ + 1 F (s) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {f (t)} {t ^ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {\ Gamma (\ lambda +1)}} \ lim _ {s \ downarrow 0} {s ^ {\ lambda +1} F (s)}}{\ dis playstyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {f (t)} {t ^ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {\ Gamma (\ lambda +1)}} \ lim _ {s \ downarrow 0} {s ^ {\ lambda +1} F (s)}}

где Γ (x) {\ displaystyle \ Gamma (x)}\ Gamma (x) обозначает Гамма-функцию.

Приложения

Теоремы об окончательном значении для получения lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}\ lim_ {t \ to \ infty} f (t) иметь приложения для установления долгосрочной стабильности системы.

Выведение lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}

Абелева теорема о конечном значении

Предположим, что f: (0, ∞) → C {\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}}{\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}} ограничено и измеримо и lim t → ∞ f (t) = α ∈ C {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = \ alpha \ in \ mathbb {C}}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty } е (t) = \ альфа \ in \ mathbb {C}} . Тогда F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) существует для всех s>0 {\ displaystyle s>0}s>0 и lim s → 0 + s F (s) = α {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0 ^ {+}} {sF (s)} = \ alpha}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0 ^ {+}} {sF (s)} = \ alpha } .

Элементарное доказательство

Предположим для удобства, что | е (t) | ≤ 1 {\ displaystyle | f (t) | \ leq 1}{\ displaystyle | f (t) | \ leq 1} на (0, ∞) {\ displaystyle (0, \ infty)}(0, \ infty) , и пусть α = lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ alpha = \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}{\ displaystyle \ alpha = \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)} . Пусть ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}\epsilon>0 и выберите A {\ displaystyle A}A , чтобы | f (t) - α | < ϵ {\displaystyle |f(t)-\alpha |<\epsilon }{\ displaystyle | f (t) - \ alpha | <\ epsilon} для всех t>A {\ displaystyle t>A}{\displaystyle t>A} . Поскольку s ∫ 0 ∞ e - stdt = 1 {\ displaystyle s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, dt = 1}{\ displaystyle s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, dt = 1} , для каждого s>0 {\ displaystyle s>0}s>0 имеем

s F (s) - α = s ∫ 0 ∞ (f (t) - α) е - стдт; {\ displaystyle sF (s) - \ alpha = s \ int _ {0} ^ {\ infty} (f (t) - \ alpha) e ^ {- st} \, dt;}{\ displaystyle sF (s) - \ alpha = s \ int _ {0} ^ {\ infty} (f ( t) - \ альфа) е ^ {- st} \, dt;}

отсюда

| s F (s) - α | ≤ s ∫ 0 A | f (t) - α | e - s t d t + s ∫ A ∞ | f (t) - α | e - s t d t ≤ 2 s ∫ 0 A e - s t d t + ϵ s ∫ A ∞ e - s t d t = I + I I. {\ Displaystyle | sF (s) - \ альфа | \ leq s \ int _ {0} ^ {A} | f (t) - \ alpha | e ^ {- st} \, dt + s \ int _ {A } ^ {\ infty} | f (t) - \ alpha | e ^ {- st} \, dt \ leq 2s \ int _ {0} ^ {A} e ^ {- st} \, dt + \ epsilon s \ int _ {A} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, dt = I + II.}{\ displaystyle | sF (s) - \ alpha | \ leq s \ int _ {0} ^ {A} | f (t) - \ alpha | e ^ {- st} \, dt + s \ int _ {A} ^ {\ infty} | f (t) - \ alpha | e ^ {- st} \, dt \ leq 2s \ int _ {0} ^ {A} e ^ {- st} \, dt + \ epsilon s \ int _ {A} ^ {\ infty} e ^ {- st } \, dt = I + II.}

Теперь для каждого s>0 {\ displaystyle s>0}s>0 у нас есть

II < ϵ s ∫ 0 ∞ e − s t d t = ϵ {\displaystyle II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=\epsilon }{\ displaystyle II <\ epsilon s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, dt = \ epsilon} .

С другой стороны, поскольку A < ∞ {\displaystyle A<\infty }{ \ displaystyle A <\ infty} фиксирован, ясно, что lim s → 0 I = 0 {\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0} I = 0}{\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0} I = 0} , и поэтому | s F (s) - α | < ϵ {\displaystyle |sF(s)-\alpha |<\epsilon }{\ displaystyle | sF ( s) - \ alpha | <\ epsilon} if s>0 {\ displaystyle s>0}s>0 достаточно мал.

Теорема о конечном значении с использованием преобразования Лапласа производной

Предположим, что выполнены все следующие условия:

  1. f: (0, ∞) → C {\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}}{\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}} является непрерывно дифференцируемым, и оба f {\ displaystyle f}f и f ′ {\ displaystyle f '}f'иметь преобразование Лапласа
  2. f '{\ displaystyle f'}f'абсолютно интегрируемо, то есть ∫ 0 ∞ | f ′ (τ) | d τ {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f '(\ tau) | \, d \ tau}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f'(\tau)|\,d\tau }конечно
  3. lim t → ∞ f (t) { \ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)} существует и конечен

Тогда

lim s → 0 + s F (s) = lim t → ∞ f (t) {\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} sF (s) = \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)}{\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} sF (s) = \ lim _ {t \ to \ infty} f (t)} .

Примечание

в доказательстве используется теорема о доминирующей сходимости.

Теорема о конечном значении для среднего значения функции

Пусть f: (0, ∞) → C {\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}}{\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {C}} - непрерывная и ограниченная функция такая, что существует следующий предел

lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f (t) dt = α ∈ C {\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (t) \, dt = \ alpha \ in \ mathbb {C} }{\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (t) \, dt = \ alpha \ in \ mathbb {C}}

Тогда lim s → 0, s>0 s F (s) = α {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0, \, s>0} {sF (s) } = \ alpha}{\displaystyle \lim _{s\,\to \,0,\,s>0} {sF (s)} = \ alpha} .

Теорема об окончательном значении для асимптотических сумм периодических функций

Предположим, что f: [0, ∞) → R {\ displaystyle f: [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle f: [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}} является непрерывным и абсолютно интегрируемым в [0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}[0, \ infty) . Предположим далее, что f {\ displaystyle f}f асимптотически равно конечной сумме периодических функций fas {\ displaystyle f _ {\ mathrm {as}}}{\ displaystyle f _ {\ mathrm {as}}} , то есть

| f (t) - f a s (t) | < ϕ ( t) {\displaystyle |f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t)}{\ displaystyle | f (t) -f _ {\ mathrm {as}} (t) | <\ phi (t)}

где ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) абсолютно интегрируем в [0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}[0, \ infty) и исчезает на бесконечности. Тогда

lim s → 0 s F (s) = lim t → ∞ 1 t ∫ 0 tf (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0} sF (s) = \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} f (x) \, dx}{\ displaystyle \ lim _ {s \ to 0} sF (s) = \ lim _ { t \ to \ infty} {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} f (x) \, dx} .

Теорема о конечном значении для функции, расходящейся до бесконечности

Пусть f (t): [0, ∞) → R {\ displaystyle f (t): [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle f (t): [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}} и F (s) {\ displaystyle F (s)}F ( s) быть преобразованием Лапласа f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) . Предположим, что f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) удовлетворяет всем следующим условиям:

  1. f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) бесконечно дифференцируем в нуле
  2. f (k) (t) {\ displaystyle f ^ {(k)} (t)}f ^ {{(k)}} (t) имеет преобразование Лапласа для всех неотрицательных целых чисел k {\ displaystyle k}к
  3. f (t) {\ displaystyle f (t)}f (t) расходится на бесконечность, как t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}t \ to \ infty

Тогда s F (s) {\ displaystyle sF (s)}{\ displaystyle sF (s)} расходится до бесконечности при s → 0 + {\ displaystyle s \ to 0 ^ {+}}{\ displaystyle s \ to 0 ^ {+}} .

Приложения

Теоремы об окончательном значении для получения lim s → 0 s F (s) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF (s)}} имеют приложения в области вероятности и статистики для вычисления моментов случайной величины. Пусть R (x) {\ displaystyle R (x)}R (x) будет кумулятивной функцией распределения непрерывной случайной величины X {\ displaystyle X}X и пусть ρ (s) {\ displaystyle \ rho (s)}{\ displaystyle \ rho (s)} быть преобразованием Лапласа-Стилтьеса из R (x) {\ displaystyle R (x)}R (x) . Тогда n {\ displaystyle n}n -й момент X {\ displaystyle X}X можно рассчитать как

E [X n] = ( - 1) ndn ρ (s) dsn | s = 0 {\ displaystyle E [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} \ left. {\ frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} \ right | _ {s = 0}}{\ displaystyle E [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} \ left. {\ Frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} \ справа | _ {s = 0}}

Стратегия состоит в том, чтобы написать

dn ρ (s) dsn = F (G 1 (s), G 2 (s),…, G k (s),…) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} = {\ mathcal {F}} {\ bigl (} G_ {1} (s), G_ { 2} (s), \ dots, G_ {k} (s), \ dots {\ bigr)}}{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} = {\ mathcal {F}} {\ bigl (} G_ {1} (s), G_ {2} (s), \ dots, G_ {k} (s), \ dots {\ bigr)}}

где F (…) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ dots) }{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ dots)} является непрерывным и для каждого k {\ displaystyle k}к , G k (s) = s F k (s) {\ displaystyle G_ {k} (s) = sF_ {k } (s)}{\ displaystyle G_ {k} (s) = sF_ {k} (s)} для функции F k (s) {\ displaystyle F_ {k} (s)}{\ displaystyle F_ {k} (s)} . Для каждого k {\ displaystyle k}к положите fk (t) {\ displaystyle f_ {k} (t)}{\ displaystyle f_ {k} (t)} как обратную переменную Лапласа преобразовать из F k (s) {\ displaystyle F_ {k} (s)}{\ displaystyle F_ {k} (s)} , получить lim t → ∞ fk (t) {\ displaystyle \ lim _ { t \ to \ infty} f_ {k} (t)}{ \ Displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} f_ {k} (t)} , и применим теорему об окончательном значении, чтобы вывести lim s → 0 G k (s) = lim s → 0 s F k ( s) знак равно lim t → ∞ fk (t) {\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {G_ {k} (s)} = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF_ {k} (s)} = \ lim _ {t \ to \ infty} f_ {k} (t)}{\ displaystyle \ lim _ {s \, \ to \, 0} {G_ {k} (s) } = \ lim _ {s \, \ to \, 0} {sF_ {k} (s)} = \ lim _ {t \ to \ infty} f_ {k} (t)} . Тогда

d n ρ (s) d s n | s = 0 знак равно F (lim s → 0 G 1 (s), lim s → 0 G 2 (s),…, lim s → 0 G k (s),…) {\ displaystyle \ left. {\ frac { d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} \ right | _ {s = 0} = {\ mathcal {F}} {\ Bigl (} \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {1} (s), \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {2} (s), \ dots, \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {k} (s), \ dots {\ Bigr)}}{\ displaystyle \ left. {\ Frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} \ right | _ {s = 0} = {\ mathcal { F}} {\ Bigl (} \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {1} (s), \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {2} (s), \ точки, \ lim _ {s \, \ to \, 0} G_ {k} (s), \ dots {\ Bigr)}}

и, следовательно, получается E [X n] {\ displaystyle E [X ^ {n}]}{\ displaystyle E [X ^ {n}]} .

Примеры

Пример, где FVT содержит

Например, для системы, описываемой передаточной функцией

H (s) = 6 с + 2, { \ displaystyle H (s) = {\ frac {6} {s + 2}},}H (s) = \ frac {6} {s + 2},

, поэтому импульсная характеристика сходится к

lim t → ∞ h (t) = lim s ↘ 0 6 ss + 2 = 0. {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} h (t) = \ lim _ {s \, \ seekrow \, 0} {\ frac {6s} {s + 2}} = 0.}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} h (t) = \ lim _ {s \, \ Searrow \, 0} {\ frac {6s} {s + 2}} = 0.}

То есть, система возвращается к нулю после того, как ее нарушил короткий импульс. Однако преобразование Лапласа для единичной переходной характеристики равно

G (s) = 1 s 6 s + 2 {\ displaystyle G (s) = {\ frac {1} {s}} { \ frac {6} {s + 2}}}G (s) = \ frac {1} {s} \ frac {6} {s + 2}

, поэтому переходная характеристика сходится к

lim t → ∞ g (t) = lim s ↘ 0 ss 6 s + 2 = 6 2 = 3 {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} g (t) = \ lim _ {s \, \ Searrow \, 0} {\ frac {s} {s}} {\ frac {6} {s + 2} } = {\ frac {6} {2}} = 3}{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} g (t) = \ lim _ {s \, \ Searrow \, 0} {\ frac {s} {s}} {\ frac {6} {s + 2} } = {\ frac {6} {2}} = 3}

и поэтому система с нулевым состоянием будет следовать экспоненциальному возрастанию до конечного значения 3.

Пример, когда FVT не выполняется

Для системы, описываемой передаточной функцией

H (s) = 9 s 2 + 9, {\ displaystyle H (s) = {\ frac {9} {s ^ {2} +9} },}H (s) = \ frac {9} {s ^ 2 + 9},

теорема о конечном значении, по-видимому, предсказывает, что конечное значение импульсной характеристики будет равно 0, а конечное значение ступенчатой ​​характеристики будет равно 1. Однако ни одного ограничения во временной области не существует, и поэтому теорема об окончательном значении прогнозы не верны. Фактически, и импульсная характеристика, и переходная характеристика колеблются, и (в этом частном случае) теорема об окончательном значении описывает средние значения, вокруг которых колеблются характеристики.

В теории управления выполняются две проверки, которые подтверждают действительные результаты для теоремы о конечном значении:

  1. Все ненулевые корни знаменателя H (s) { \ displaystyle H (s)}H (s) должно иметь отрицательные действительные части.
  2. H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) не должно иметь более одного полюса в начале координат..

Правило 1 не было выполнено в этом примере, поскольку корни знаменателя равны 0 + j 3 {\ displaystyle 0 + j3}0+j3и 0 - j 3 { \ displaystyle 0-j3}0-j3 .

Теоремы об окончательном значении для преобразования Z

Вывод lim k → ∞ f [k] {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k ]}{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]}

Теорема о конечном значении

Если lim k → ∞ f [k] {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]}{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k]} существует и lim z → 1 (z - 1) F (z) {\ displaystyle \ lim _ {z \, \ to \, 1} {(z-1) F (z)}}{ \ displaystyle \ lim _ {z \, \ to \, 1} {(z-1) F (z)}} существует, тогда lim k → ∞ е [k] = lim z → 1 (z - 1) F (z) {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} f [k] = \ lim _ {z \, \ to \, 1} {(z-1) F (z)}}{\ displaystyle \ lim _ {к \ к \ infty} е [к] = \ lim _ {z \, \ к \, 1} {(z-1) F (z)}} .

См. также
Примечания
  1. ^Ван, Руй (2010-02-17). «Теоремы о начальном и конечном значении». Проверено 21 октября 2011 г.
  2. ^Алан В. Оппенгейм; Алан С. Вилльски; С. Хамид Наваб (1997). Сигналы и системы. Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN 0-13-814757-4.
  3. ^ Шифф, Джоэл Л. (1999). Преобразование Лапласа: теория и приложения. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-7262-3.
  4. ^ Граф, Урс (2004). Прикладные преобразования Лапласа и z-преобразования для ученых и инженеров. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9.
  5. ^ Чен, Цзе; Lundberg, Kent H.; Дэвисон, Дэниел Э.; Бернштейн, Деннис С. (июнь 2007 г.). «Повторение теоремы об окончательном значении - бесконечные пределы и иррациональная функция». Журнал IEEE Control Systems. 27 (3): 97–99. doi : 10.1109 / MCS.2007.365008.
  6. ^«Теорема окончательного значения преобразования Лапласа». ProofWiki. Проверено 12 апреля 2020 г.
  7. ^ Ullrich, David C. (2018-05-26). «Тауберова теорема о конечном значении». Math Stack Exchange.
  8. ^ Сопасакис, Пантелис (18.05.2019). «Доказательство теоремы об окончательном значении с использованием теоремы о доминирующей сходимости». Math Stack Exchange.
  9. ^Мурти, Кави Рама (07.05.2019). «Альтернативный вариант теоремы окончательного значения для преобразования Лапласа». Math Stack Exchange.
  10. ^Глускин, Эмануэль (1 ноября 2003 г.). «Давайте научим этому обобщению теоремы о конечном значении». Европейский журнал физики. 24 (6): 591–597. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 24/6/005.
  11. ^Хью, Патрик (2020-04-22). «Теорема об окончательном значении для функции, расходящейся до бесконечности?». Math Stack Exchange.
Внешние ссылки

.

Последняя правка сделана 2021-05-20 04:09:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте