Теорема о начальном значении

редактировать

В математическом анализе теорема начального значения - это теорема, используемая для связи выражений частотной области к поведению временной области по мере приближения времени к нулю.

Это также известно под аббревиатурой IVT.

Пусть

F (s) = ∫ 0 ∞ f (t) e - stdt {\ displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-st} \, dt}

F (s) = \ int_0 ^ \ infty f (t) e ^ {- st} \, dt

быть (односторонним) преобразованием Лапласа функции ƒ (t). Если $f {\ displaystyle f}$ $е$ ограничено $(0, ∞) {\ displaystyle (0, \ infty)}$ $(0, \ infty)$ (или если просто $е (т) знак равно О (т. д.) {\ Displaystyle е (т) = О (е ^ {ct})}$ ${\ displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})}$ ) и $lim t → 0 + f (t) {\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t)}$ существует, тогда по теореме начального значения

lim t → 0 f (t) = lim s → ∞ s F (s). {\ displaystyle \ lim _ {t \, \ to \, 0} f (t) = \ lim _ {s \ to \ infty} {sF (s)}.}

{\ displaystyle \ lim _ {t \, \ to \, 0} f (t) = \ lim _ {s \ to \ infty} {sF (s)}.}

Доказательство

Предположим сначала $f {\ displaystyle f}$ $е$ ограничен. Скажите $lim t → 0 + f (t) = α {\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ alpha}$ . Замена переменной в интеграле $∫ 0 ∞ f (t) e - stdt {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt}$ показывает, что

s F (s) = ∫ 0 ∞ f (ts) e - tdt {\ displaystyle sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ left ({\ frac {t} {s}} \ right) e ^ {- t} \, dt}

{\ displaystyle sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ left ({\ frac {t} {s}} \ right) e ^ {- t} \, dt}

Поскольку $f {\ displaystyle f}$ $е$ ограничено, Теорема о доминирующей сходимости показывает, что

lim s → ∞ s F (s) = ∫ 0 ∞ α e - tdt = α. {\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha e ^ {- t} \, dt = \ alpha.}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha e ^ {- t} \, dt = \ alpha.}

Конечно нам здесь действительно не нужен DCT, можно дать очень простое доказательство, используя только элементарное исчисление:

Начните с выбора $A {\ displaystyle A}$ $A$ , чтобы $∫ A ∞ е - tdt < ϵ {\displaystyle \int _{A}^{\infty }e^{-t}\,dt<\epsilon }$ ${\ displaystyle \ int _ {A} ^ {\ infty} e ^ {- t} \, dt <\ epsilon}$ , а затем обратите внимание, что $lim s → ∞ f (ts) = α {\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} f \ left ({\ frac {t} {s}} \ right) = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} f \ left ({ \ frac {t} {s}} \ right) = \ alpha}$ равномерно для $t ∈ (0, A] {\ displaystyle t \ in (0, A]}$ ${\ displaystyle t \ in (0, A]}$ .)

Теорема, предполагающая только то, что $f (t) = O (ect) {\ displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})}$ ${\ displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})}$ следует из теорема для ограниченного $f {\ displaystyle f}$ $е$ : Определите $g (t) = e - ctf (t) {\ displaystyle g (t) = e ^ {- ct} f (t)}$ ${\ displaystyle g (t) = e ^ {- ct} f (t)}$ . Тогда $g {\ displaystyle g}$ $g$ ограничено, поэтому мы показали, что $g (0 +) = lim s → ∞ s G (s) {\ displaystyle g (0 ^ {+}) = \ lim _ {s \ to \ infty} sG (s)}$ ${\ displaystyle g (0 ^ {+}) = \ lim _ {s \ to \ infty} sG (s)}$ . Но $f (0 +) = g ( 0 +) {\ displaystyle f (0 ^ {+}) = g (0 ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (0 ^ {+}) = g (0 ^ {+})}$ и $G (s) = F (s + c) {\ displaystyle G (s) = F (s + c)}$ ${\ di splaystyle G (s) = F (s + c)}$ , поэтому

lim s → ∞ s F (s) = lim s → ∞ (s - с) F (s) знак равно lim s → ∞ s F (s + c) = lim s → ∞ s G (s), {\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s) = \ lim _ {s \ to \ infty} (sc) F (s) = \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s + c) = \ lim _ {s \ to \ infty} sG (s),}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s) = \ lim _ { s \ to \ infty} (sc) F (s) = \ lim _ {s \ to \ infty} sF (s + c) = \ lim _ {s \ to \ infty} sG (s),}

, так как $lim s → ∞ F (s) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} F (s) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {s \ to \ infty} F (s) = 0}$

См. Также

Теорема о конечном значении

Примечания

^http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html
^Роберт Х. Кэннон, Динамика физических систем, Courier Dover Publications, 2003, стр. 567.