В теории вероятностей для вероятностной меры Pв гильбертовом пространстве H с внутренним продуктом , ковариация P - это билинейная форма Cov: H × H → R, заданная как
для всех x и y в H. Затем оператор ковариации C определяется как
(из теоремы о представлении Рисса, такой оператор существует, если Cov ограничено ). Поскольку Cov симметричен по своим аргументам, оператор ковариации является самосопряженным (бесконечномерная аналогия транспозиционной симметрии в конечномерном случае). Когда P является центрированной гауссовской мерой, C также является ядерным оператором. В частности, это компактный оператор из класса трассировки, то есть он имеет конечную трассу.
. В более общем смысле, для вероятностной меры Pв банаховом пространстве B, ковариация P - это билинейная форма на алгебраическом двойственном B, определенном
где - теперь значение линейного функционала x на элементе z.
Аналогично, ковариационная функция функционально-значного случайного элемента (в особых случаях называется случайный процесс или случайный поле ) z есть
где z (x) теперь является значением функции z в точке x, т. е. значением линейного функционала оценивается в z.
.