Плотность носителей заряда

Носителей заряда на объем; такие как электроны, ионы, «дырки» и другие.

Плотность носителей заряда, также известная как концентрация носителей, обозначает количество носителей заряда в том. В единицах СИ он измеряется в метрах. Как и в случае любой плотности, в принципе она может зависеть от положения. Однако обычно концентрация носителя указывается в виде одного числа и представляет собой среднюю плотность носителя по всему материалу.

Плотность носителей заряда включает уравнения, касающиеся электропроводности и связанных явлений, таких как теплопроводность.

• 1 Расчет
• 2 Полупроводники
• 3 Металлы
• 4 Измерение
• 5 Ссылки

Плотность носителей обычно получается теоретически интегрированием плотности состояний в диапазоне энергий носители заряда в материале (например, интеграция по зоне проводимости для электронов, интеграция по валентной зоне для дырок).

Если известно общее количество носителей заряда, их плотность можно найти простым делением на объем. Чтобы показать это математически, плотность носителей заряда - это плотность частиц, поэтому интегрирование по объему $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$дает количество носители заряда $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$в этом объеме

$N\; =\; \int \; V\; n\; (r)\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; n\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\}$.

где

$n\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$- плотность носителей заряда, зависящая от положения.

Если плотность не зависит от положения и вместо этого равна константе $n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$, это уравнение упрощается до

$N\; =\; V\; \cdot \; n\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\; =\; V\; \backslash \; cdot\; n\_\; \{0\}\}$.

Плотность носителей важна для полупроводников, где она является важной величиной для процесса химического допинг. Используя зонную теорию, электронная плотность, $n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$- это количество электронов на единицу объема в зоне проводимости. Для отверстий $p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\}$- количество отверстий на единицу объема в валентной зоне. Чтобы вычислить это число для электронов, мы начнем с идеи, что общая плотность электронов в зоне проводимости, $n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$, просто складывается из плотности электронов проводимости через разные энергии в полосе, от нижней части полосы $E\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{c\}\}$до верхней части полосы $E\; top\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{top\; \}\}$.

$n\; 0\; =\; \int \; E\; c\; E\; top\; N\; (E)\; d\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{E\_\; \{c\}\}\; ^\; \{E\_\; \{top\}\}\; N\; (E)\; dE\; \}$

Поскольку электроны являются фермионами, плотность электронов проводимости при любой конкретной энергии, $N\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (E)\}$, является произведением плотность состояний, $g\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (E)\}$или сколько проводящих состояний возможно, с распределением Ферми-Дирака, $f\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (E)\}$, который сообщает нам часть тех состояний, в которых на самом деле будут электроны в ″ них ″

$N\; (E)\; =\; g\; (E)\; е\; (E)\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; (E)\; =\; g\; (E)\; f\; (E)\}$

в порядке Чтобы упростить расчет, вместо того, чтобы рассматривать электроны как фермионы, в соответствии с распределением Ферми-Дирака, мы рассматриваем их как классический невзаимодействующий газ, который задается распределением Максвелла – Больцмана. Это приближение оказывает незначительное влияние, когда величина $|\; E\; -\; E\; f\; |\; \gg \; k\; B\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; E-E\_\; \{f\}\; |\; \backslash \; gg\; k\_\; \{B\}\; T\}$, что верно для полупроводников с температурой около комнатной. Это приближение неверно при очень низких температурах или чрезвычайно малой ширине запрещенной зоны.

$е\; (E)\; =\; 1\; 1\; +\; e\; E\; -\; E\; fk\; T\; \approx \; e\; -\; (E\; -\; E\; f)\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (E)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{E-E\_\; \{f\}\}\; \{kT\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (E-E\_\; \{f\})\}\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\}\}$

Трехмерное изображение плотность состояний составляет:

$g\; (E)\; =\; 1\; 2\; \pi \; 2\; (2\; m\; \ast \; \hslash \; 2)\; 3\; 2\; E\; -\; E\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (E)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2m\; ^\; \{*\}\}\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{E-\; E\_\; \{0\}\}\}\}$

После объединения и упрощения эти выражения приводят к:

$n\; 0\; =\; 2\; (m\; \ast \; k\; BT\; 2\; \pi \; \hslash \; 2)\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{*\}\; k\_\; \{B\}\; T\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3/2\}\}$$e\; -\; (E\; c\; -\; E\; f)\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (E\_\; \{c\}\; -E\_\; \{f\})\}\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\}\}$

Аналогичное выражение может быть получено для отверстий. Концентрацию носителей можно рассчитать, рассматривая электроны, движущиеся вперед и назад через запрещенную зону точно так же, как равновесие обратимой реакции из химии, что приводит к закону действия массы электронов. Закон действия массы определяет величину $ni\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\}$, называемую собственной концентрацией носителей, которая для нелегированных материалов:

$ni\; =\; n\; 0\; =\; p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\; =\; n\_\; \{0\}\; =\; p\_\; \{0\}\}$

В следующей таблице перечислены несколько значений собственной концентрации носителей для собственных полупроводников.

Материал	Плотность носителей (1 / см3) при 300K
Кремний	9,65 × 10
Германий	2,33 × 10
Арсенид галлия	2,1 × 10

Эти концентрации носителей изменятся, если эти материалы будут легированы. Например, легирование чистого кремния небольшим количеством фосфора увеличит плотность носителей электронов n. Тогда, поскольку n>p, легированный кремний будет примитивным полупроводником n-типа . Легирование чистого кремния небольшим количеством бора увеличит плотность носителей дырок, так что тогда p>n, и это будет примесный полупроводник p-типа.

Плотность носителя также применима к металлам, где ее можно рассчитать по простой модели Друде. В этом случае плотность носителей (в данном контексте также называемая плотностью свободных электронов) может быть рассчитана следующим образом:

$n\; =\; NAZ\; \rho \; mma\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{A\}\; Z\; \backslash \; rho\; \_\; \{\; m\}\}\; \{m\_\; \{a\}\}\}\}$

Где $NA\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{A\}\}$- это константа Авогадро, Z - количество валентные электроны, $\rho \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{m\}\}$- плотность материала, а $ma\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{a\}\}$- это атомная масса.

Плотность носителей заряда во многих случаях может быть определена с помощью эффекта Холла, напряжение которого обратно пропорционально от плотности носителя.

1. ^Пьетро П. Альтерматт, Андреас Шенк, Франк Гилхаар, Гернот Хайзер (2003). «Переоценка собственной плотности носителей в кристаллическом кремнии с учетом сужения запрещенной зоны». Журнал прикладной физики. 93 (3): 1598. doi : 10.1063 / 1.1529297. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
2. ^О. Маделунг, У. Рёсслер, М. Шульц (2002). «Германий (Ge), собственная концентрация носителей». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b - Электронные, транспортные, оптические и другие свойства. Landolt-Börnstein - Group III Condensed Matter. Стр. 1–3. doi : 10.1007 / 10832182_503. ISBN 978-3-540- 42876-3. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
3. ^Rössler, U. (2002). «Арсенид галлия (GaAs), собственная концентрация носителей, электрическая и теплопроводность». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b - Электронные, транспортные, оптические и другие свойства. Ландольт-Бернштейн - Конденсированное вещество группы III. Стр. 1–8. doi : 10.1007 / 10832182_196. ISBN 978-3-540-42876-3.
4. ^Эшкрофт, Мермин. Физика твердого тела. Стр. 4.
5. ^Эдвин Холл (1879). «О новом действии магнита на электр. ic Токи ». Американский журнал математики. 2 (3): 287–92. DOI : 10.2307 / 2369245. JSTOR 2369245. Архивировано из оригинального 27 июля 2011 г. Получено 28 февраля 2008 г.