Войти
В математике понятие сокращающегося является обобщением понятия обратимого.
элемента a в магме (M, ∗) имеет свойство левого сокращения (или лево-сокращающее ), если для всех b и c в M из a ∗ b = a ∗ c всегда следует, что b = c.
Элемент a в магме (M, ∗) имеет свойство правой компенсации (или право-сокращающееся ), если для всех b и c в M, Из b ∗ a = c ∗ a всегда следует, что b = c.
Элемент a в магме (M, ∗) имеет свойство двустороннего подавления (или является отменяющим ), если он является как левым, так и правым отменный.
Магма (M, ∗) обладает свойством левого подавления (или является компенсирующим слева), если все а в магме являются левыми компенсирующими, и аналогичные определения применяются для правых компенсирующих или двусторонних компенсирующих свойств.
Элемент, обратимый слева, является сокращающимся слева, и аналогично для правого и двустороннего.
Например, каждая квазигруппа и, следовательно, каждая группа является отменяющей.
К говорят, что элемент a в магме (M, ∗) является сокращающимся слева, это означает, что функция g: x ↦ a ∗ x инъективна. Инъективность функции g означает, что при некотором равенстве вида a * x = b, где неизвестным является только x, существует только одно возможное значение x, удовлетворяющее равенству. Точнее, мы можем определить некоторую функцию f, обратную к g, такую, что для всех x f (g (x)) = f (a ∗ x) = x. Другими словами, для всех x и y в M, если a * x = a * y, то x = y.
Положительные (равно не- отрицательные) целые числа образуют сокращающую полугруппу при сложении. Неотрицательные целые числа при сложении образуют сокращающийся моноид.
Фактически, любая свободная полугруппа или моноид подчиняется закону отмены, и, в общем, любая полугруппа или моноид, встраиваемая в группу (как явно делают вышеприведенные примеры), будет подчиняться закону отмены.
В другом ключе (подполугруппа) мультипликативная полугруппа элементов кольца , которые не являются делителями нуля (что является просто множеством всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является доменом, как и целые числа) имеет свойство отмены. Обратите внимание, что это остается в силе, даже если рассматриваемое кольцо некоммутативно и / или неединично.
Хотя закон отмены выполняется для сложения, вычитания, умножения и деления действительных и комплексных чисел (с единственное исключение: умножение на ноль и деление нуля на другое число), существует ряд алгебраических структур, в которых закон отмены не действует.
векторное произведение двух векторов не подчиняется закону отмены. Если a× b= a× c, то не следует, что b= c, даже если a≠ 0.
Умножение матрицы также не обязательно подчиняется закону отмены. Если AB= ACи A ≠ 0, то нужно показать, что матрица A обратима (т.е. имеет det (A) ≠ 0), прежде чем можно будет сделать вывод, что B= C. Если det (A ) = 0, то B может не равняться C, потому что матрица уравнение AX= Bне будет иметь уникальное решение для необратимой матрицы A.
Также обратите внимание, что если AB= CAи A ≠ 0 и матрица A обратима (т.е. имеет det (A) ≠ 0), не всегда верно, что B= C. Отмена работает только для AB= ACи BA= CA(при условии, что матрица A обратима), но не для AB= CAи BA= AC.
