Поток Калаби

В математических полях дифференциальная геометрия и геометрический анализ, поток Калаби представляет собой геометрический поток, который деформирует метрику Кэлера на комплексное многообразие. А именно, для кэлерова многообразия M поток Калаби задается как:

$\partial \; g\; \alpha \; \beta \; ¯\; \partial \; t\; =\; \partial \; 2\; R\; g\; \partial \; z\; \alpha \; \partial \; z\; ¯\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; beta\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; R\; ^\; \{g\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\}\}$,

где g - отображение открытого интервала в набор всех кэлеровских метрик на M, R - скалярная кривизна индивидуальные кэлеровы метрики, а индексы α, β соответствуют произвольным голоморфным координатам z. Это геометрический поток четвертого порядка, так как правая часть уравнения включает четвертые производные от g.

Поток Калаби был введен Эухенио Калаби в 1982 году как предложение для построения экстремальных кэлеровых метрик, которые также были представлены в той же статье. Это градиентный поток функционала Калаби; экстремальные кэлеровы метрики являются критическими точками функционала Калаби.

Теорема сходимости для потока Калаби была найдена Петром Хрусьцилем в случае, когда M имеет комплексную размерность, равную единице. Сюсюн Чен и другие провели ряд дальнейших исследований потока, хотя по состоянию на 2020 год он все еще недостаточно изучен.

• Эухенио Калаби. Экстремальные кэлеровы метрики. Энн. математики. Stud. 102 (1982), стр. 259–290. Семинар по дифференциальной геометрии. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.
• E. Калаби и X.X. Чен. Пространство кэлеровых метрик. II. J. Differential Geom. 61 (2002), нет. 2, 173–193.
• X.X. Чен и У. Он. По течению Калаби. Амер. J. Math. 130 (2008), нет. 2, 539–570.
• Петр Т. Хрусьциель. Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (2-мерного уравнения Калаби). Comm. Математика. Phys. 137 (1991), нет. 2, 289–313.