Войти
В геометрии, теорема Брахмагупты утверждает, что если круговой четырехугольник равен ортодиагонали (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), тогда перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположную сторону. Он назван в честь индийского математика Брахмагупта (598-668).
Более конкретно, пусть A, B, C и D будут четырьмя точками на окружности, такой как что прямые AC и BD перпендикулярны. Обозначим пересечение AC и BD через M. Отбросьте перпендикуляр из M на прямую BC, назвав пересечение E. Пусть F будет пересечением прямой EM и ребра AD. Тогда теорема утверждает, что F является средней точкой AD.
Доказательство теоремы. Нам нужно доказать, что AF = FD. Мы докажем, что и AF, и FD на самом деле равны FM.
Чтобы доказать, что AF = FM, сначала обратите внимание, что углы FAM и CBM равны, потому что это вписанные углы, которые пересекают одну и ту же дугу окружности. Кроме того, оба угла CBM и CME являются дополнительными к углу BCM (т.е. в сумме они составляют 90 °) и, следовательно, равны. Наконец, углы CME и FMA совпадают. Следовательно, AFM - это равнобедренный треугольник , а значит, стороны AF и FM равны.
Доказательство того, что FD = FM проводится аналогично: углы FDM, BCM, BME и DMF равны, поэтому DFM - равнобедренный треугольник, поэтому FD = FM. Следовательно, AF = FD, как утверждает теорема.
