Ограниченный тип (математика)

В математике функция , определенная в области . комплексной плоскости называется ограниченным типом, если он равен отношению двух аналитических функций , ограниченных в этой области. Но в более общем плане функция имеет ограниченный тип в области $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$тогда и только тогда, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно аналитический на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$и $log\; +\; \; |\; f\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; |\; f\; (z)\; |\}$имеет гармоническую мажоранту на $\Omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega,\}$где $log\; +\; \; (x)\; знак\; равно\; макс\; [0,\; журнал\; \; (x)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; (x)\; =\; \backslash \; max\; [0,\; \backslash \; log\; (x)]\}$. Отношение двух ограниченных аналитических функций является достаточным условием для того, чтобы функция имела ограниченный тип (определенную в терминах гармонической мажоранты), и если $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$равно односвязное условие также необходимо.

Класс всех таких $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$обычно обозначается $N\; (\Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (\backslash \; Omega)\}$и иногда его называют классом Неванлинны для $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$. Класс Неванлинны включает в себя все классы Харди.

Функции ограниченного типа не обязательно являются ограниченными, и у них нет ограниченного свойства, называемого «тип». Причина названия, вероятно, в том, что при определении на диске характеристика Неванлинны (функция расстояния от центра диска) ограничена.

Очевидно, что если функция представляет собой отношение двух ограниченных функций, то ее можно выразить как отношение двух функций, ограниченных 1:

$f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\}$

Логарифмы $|\; 1\; /\; P\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 1\; /\; P\; (z)\; |\}$и из $|\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\}$неотрицательны в регионе, поэтому

$log\; \; |\; f\; (z)\; |\; =\; журнал\; \; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; -\; журнал\; \; |\; 1\; /\; P\; (z)\; |\; \le \; журнал\; \; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; log\; |\; f\; (z)\; |\; =\; \backslash \; log\; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; -\; \backslash \; log\; |\; 1\; /\; P\; (z)\; |\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \backslash \; log\; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$log\; +\; \; |\; f\; (z)\; |\; =\; max\; [0,\; журнал\; \; |\; f\; (z)\; |\; ]\; \le \; max\; (0,\; журнал\; \; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |)\; \le \; log\; \; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; \le \; -\; \Re \; (журнал\; \; Q\; (z)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; |\; f\; (z)\; |\; =\; \backslash \; max\; [0,\; \backslash \; log\; |\; f\; (z)\; |]\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (0,\; \backslash \; log\; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |)\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \backslash \; log\; |\; 1\; /\; Q\; (z)\; |\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; -\; \backslash \; Re\; \backslash \; left\; (\backslash \; log\; Q\; (z)\; \backslash \; right).\; \backslash \; End\; \{выравнивается\}\}\; \}$

Последняя является действительной частью аналитической функции и поэтому является гармонической, показывая, что $log\; +\; \; |\; f\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; ^\; \{+\}\; |\; f\; (z)\; |\}$имеет гармоническую мажоранту на Ω.

Для данной области суммы, разности и произведения функций ограниченного типа относятся к ограниченному типу, как и частное двух таких функций, если знаменатель не равен тождественно нулю.

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Многочлены имеют ограниченный тип в любой ограниченной области. Они также имеют ограниченный тип в верхней полуплоскости (UHP), поскольку многочлен $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$степени n может быть выраженным как отношение двух аналитических функций, ограниченных в UHP:

$f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\}$

с

$P\; (z)\; =\; f\; (z)\; /\; (z\; +\; i)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\; =\; f\; (z)\; /\; (z\; +\; i)\; ^\; \{n\}\}$

$Q\; (\; г)\; =\; 1\; /\; (г\; +\; я)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\; =\; 1\; /\; (z\; +\; i)\; ^\; \{n\}.\}$

Инверсия многочлена также имеет ограниченный тип в области, как и любая рациональная функция.

Функция $exp\; \; (aiz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (aiz)\}$имеет ограниченный тип в UHP тогда и только тогда, когда a является действительным. Если a положительно, сама функция ограничена в UHP (поэтому мы можем использовать $Q\; (z)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\; =\; 1\}$), а если a отрицательно, то функция равна 1 / Q (z) с $Q\; (z)\; =\; exp\; \; (|\; a\; |\; iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\; =\; \backslash \; exp\; (|\; a\; |\; iz)\}$.

Синус и косинус равны ограниченного типа в UHP. В самом деле,

$sin\; \; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\}$

с

$P\; (z)\; знак\; равно\; грех\; \; (z)\; ехр\; \; (iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\; =\; \backslash \; sin\; (z)\; \backslash \; exp\; (iz)\}$

$Q\; (z)\; =\; exp\; \; (iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\; =\; \backslash \; exp\; (iz)\}$

оба из которых ограничены в UHP.

Все вышеперечисленные примеры также имеют ограниченный тип в нижней полуплоскости с использованием различных функций P и Q. Но область, упомянутая в определении термина «ограниченный тип», не может быть всей комплексной плоскостью, если функция не является постоянной, потому что нужно использовать одни и те же P и Q для всей области и только целые функции (т. е. аналитические во всей комплексной плоскости), которые ограничены, являются константами по теореме Лиувилля.

Другим примером в верхней полуплоскости является «функция Неванлинны », т. е. аналитическая функция, которая отображает UHP в замкнутый UHP. Если f (z) относится к этому типу, то

$f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\}$

где P и Q - ограниченные функции:

$P\; (z)\; =\; f\; (z)\; f\; (z)\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{f\; (z)\; +\; i\; \}\}\}$

$Q\; (z)\; =\; 1\; f\; (z)\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (z)\; +\; i\}\}\}$

(Это, очевидно, применяется как хорошо к $f\; (z)\; /\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; /\; i\}$, то есть функции, действительная часть которой неотрицательна в UHP.)

Для данной области сумма, произведение или частное двух (ненулевых) функций ограниченного типа также имеет ограниченный тип. Набор функций ограниченного типа представляет собой алгебру над комплексными числами и фактически является полем .

Любая функция ограниченного типа в верхней полуплоскости (с конечным числом корней в некоторой окрестности 0) может быть выражено как произведение Бляшке (аналитическая функция, ограниченная в области, которая вычитает нули), умножая частное $P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\}$где $P\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\}$и $Q\; (z)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\; (z)\}$ограничены 1, а не имеют нулей в UHP. Тогда можно выразить это частное как

$P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; =\; exp\; \; (-\; U\; (z))\; /\; exp\; \; (-\; V\; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\; /\; Q\; (z)\; =\; \backslash \; ехр\; (-U\; (z))\; /\; \backslash \; exp\; (-V\; (z))\}$

где $U\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (z)\}$и $V\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (z)\}$- аналитические функции, имеющие неотрицательную действительную часть в UHP. Каждый из них, в свою очередь, может быть выражен через a (см. функции Неванлинны ):

$U\; (z)\; =\; c\; -\; ipz\; -\; i\; \int \; R\; (1\; \lambda \; -\; z\; -\; \lambda \; 1\; +\; \lambda \; 2)\; d\; \mu \; (\lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (z)\; =\; c-ipz-i\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; -z\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \}\; \{1+\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; d\; \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda)\}$

$V\; (z)\; =\; d\; -\; iqz\; -\; i\; \int \; R\; (1\; \lambda \; -\; z\; -\; \lambda \; 1\; +\; \lambda \; 2)\; d\; \nu \; (\lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (z)\; =\; d-iqz-i\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; -z\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\}\; \{1+\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; d\; \backslash \; nu\; (\backslash \; lambda)\}$

где c и d - мнимые константы, p и q - неотрицательные вещественные константы, а μ и ν - неубывающие функции действительной переменной (хорошо себя ведут, поэтому интегралы сходятся). Разность q − p была названа Луи де Бранж «средним типом» и описывает рост или убыль функции вдоль мнимой оси:

$q\; -\; p\; =\; lim\; sup\; y\; \to \; \infty \; y\; -\; 1\; ln\; \; |\; f\; (i\; y)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; qp\; =\; \backslash \; limsup\; \_\; \{y\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; y\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ln\; |\; f\; (iy)\; |\}$

Тип среднего в верхней полуплоскости является пределом средневзвешенного значения логарифм абсолютного значения функции, деленный на расстояние от нуля, нормализованный таким образом, что значение для $exp\; \; (-\; iz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (-iz)\}$равно 1:

$q\; -\; p\; =\; lim\; r\; \to \; \infty \; (2\; /\; \pi )\; r\; -\; 1\; \int \; 0\; \pi \; ln\; \; |\; f\; (r\; e\; i\; \theta )\; |\; грех\; \; \theta \; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; qp\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{r\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; (2\; /\; \backslash \; pi)\; r\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; ln\; |\; f\; (re\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\})\; |\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; theta\}$

Если целая функция имеет ограниченный тип как в верхней, так и в нижней полуплоскостях, то она имеет экспоненциальную тип равняется старшему из двух соответствующих «средних типов» (и высший из них будет неотрицательным). Целая функция порядка больше 1 (что означает, что в каком-то направлении она растет быстрее, чем функция экспоненциального типа) не может быть ограниченного типа ни в какой полуплоскости.

Таким образом, мы можем создать функцию ограниченного типа, используя соответствующую экспоненту z и экспоненты произвольных функций Неванлинны, умноженные на i, например:

$f\; (z)\; =\; exp\; \; (iz)\; exp\; \; (iz)\; ехр\; \; (-\; я\; /\; z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; ехр\; (iz)\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; ехр\; (я\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\})\}\; \{\backslash \; ехр\; (-i\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\})\}\}\}$

Что касается примеров, приведенных выше, средний тип многочленов или их обратных равен нулю. Средний тип $exp\; \; (a\; i\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (aiz)\}$в верхней полуплоскости - -a, а в нижней полуплоскости - a. Средний тип $sin\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (z)\}$в обеих полуплоскостях равен 1.

Функции ограниченного типа в верхней полуплоскости. Плоскость с неположительным средним типом и имеющая непрерывное, квадратично-интегрируемое расширение до действительной оси имеет интересное свойство (полезно в приложениях), заключающееся в том, что интеграл (по действительной оси)

$1\; 2\; \pi \; я\; \int \; -\; \infty \; \infty \; е\; (t)\; dtt\; -\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (t)\; dt\}\; \{tz\}\}\}$

равно $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$, если z находится в верхней полуплоскости, и нулю, если z находится в нижней полуплоскости. Это можно назвать формулой Коши для верхней полуплоскости.

• Пространство Де Бранжа
• Рольф Неванлинна

• Конвей, Джон Б. Функции комплексной переменной II. Тексты для выпускников по математике. 159 . Спрингер-Верлаг. п. 273. ISBN 0-387-94460-5.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы в классах Харди и однолистных функциях. Birkhauser Advanced Texts: Базельские учебники. Базель: Birkhauser Verlag.