Обозначение Ван дер Вардена

редактировать

В теоретической физике, van der Обозначение Вардена относится к использованию двухкомпонентных спиноров (спиноров Вейля ) в четырех измерениях пространства-времени. Это стандартно в теории твисторов и суперсимметрии. Он назван в честь Бартеля Леендерта ван дер Вардена.

Содержание

1 Пунктирные индексы
2 Штампованные индексы
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Пунктирные индексы

Индексы без точек (хиральные индексы)

Спиноры с нижними индексами без точек имеют левую хиральность и называются хиральными индексами.

Σ left = (ψ α 0) {\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathrm {left}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ alpha} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

\ Sigma _ {{\ mathrm {left}}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{\ alpha}} \\ 0 \ end {pmatrix}}

Пунктирные индексы (антихиральные индексы)

Спиноры с выпуклыми пунктирными индексами плюс черта на символе (не индекс) являются правосторонними и называются антихиральными индексами.

Σ справа = (0 χ ¯ α ˙) {\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathrm {right}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ {\ bar {\ chi}} ^ {\ dot {\ alpha}} \\\ end {pmatrix}}}

\ Sigma _ {{\ mathrm {right}}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ {\ bar {\ chi}} ^ {{{\ dot {\ alpha}}}} \\\ end { pmatrix}}

Без индексов, т. е. "нотации без индексов", верхняя черта сохраняется на правом спиноре, поскольку возникает неоднозначность между хиральностью, когда не указан индекс.

Индексы со шляпами

Индексы со шляпками называются индексами Дирака и представляют собой набор индексов с точками и без точек или хиральных и антихиральных индексов. Например, если

α = 1, 2, α ˙ = 1 ˙, 2 ˙ {\ displaystyle \ alpha = 1,2 \,, {\ dot {\ alpha}} = {\ dot {1}}, {\ dot {2}}}

\ alpha = 1,2 \,, {\ dot {\ alpha}} = {\ dot {1}}, {\ dot {2}}

тогда спинор в киральном базисе представлен как

Σ α ^ = (ψ α χ ¯ α ˙) {\ displaystyle \ Sigma _ {\ hat {\ alpha}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ alpha} \\ {\ bar {\ chi}} ^ {\ dot {\ alpha}} \\\ end {pmatrix}}}

\ Sigma _ {{\ hat {\ alpha}}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{\ alpha }} \\ {\ bar {\ chi}} ^ {{{\ dot {\ alpha}}}} \\\ end {pmatrix}}

где

α ^ знак равно (α, α ˙) знак равно 1, 2, 1 ˙, 2 ˙ {\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} = (\ alpha, {\ dot {\ alpha}}) = 1,2, {\ dot {1}}, {\ dot {2}}}

{\ hat {\ alpha}} = (\ alpha, {\ dot {\ alpha}}) = 1, 2, {\ dot {1}}, {\ dot {2}}

В этой записи дираковское сопряжение (также называемое дираковским сопряжением ) равно

Σ α ^ = (χ α ψ ¯ α ˙) {\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ hat {\ alpha}} = {\ begin {pmatrix} \ chi ^ {\ alpha} {\ bar {\ psi}} _ {\ dot { \ alpha}} \ end {pmatrix}}}

\ Sigma ^ {{\ hat {\ alpha} }} = {\ begin {pmatrix} \ chi ^ {{\ alpha}} {\ bar {\ psi}} _ {{{\ dot {\ alpha}}}}} \ end {pmatrix}}

См. также

Примечания

Литература

Спиноры в физике
стр. Labelle (2010), Supersymmetry, Demystified series, McGraw-Hill (США), ISBN 978-0-07-163641-4
Hurley, D.J.; Вандик, М.А. (2000), Геометрия, спиноры и приложения, Springer, ISBN 1-85233-223-9
Penrose, R.; Риндлер В. (1984), Спиноры и пространство-время, Vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-24527-3
Budinich, P.; Траутман, А. (1988), Спинориальная шахматная доска, Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3