Уравнение Паули

редактировать

Квантово-механическое уравнение движения заряженных частиц в магнитном поле

В квантовой механике, уравнение Паули или уравнение Шредингера – Паули представляет собой формулировку уравнения Шредингера для частиц со спином ½, которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем. Это не- релятивистский предел уравнения Дирака, и его можно использовать, когда частицы движутся со скоростью, намного меньшей, чем скорость света, так что релятивистский эффектами можно пренебречь. Оно было сформулировано Вольфгангом Паули в 1927 году.

Содержание

1 Уравнение
- 1.1 Слабые магнитные поля
2 Из уравнения Дирака
- 2.1 Вывод
3 Связь Паули
4 См. Также
5 Сноски
6 Ссылки
- 6.1 Книги

Уравнение

Для частицы с массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ и электрический заряд $q {\ displaystyle q}$ $q$ в электромагнитном поле, описываемом векторным магнитным потенциалом $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A }$ и электрический скалярный потенциал $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , уравнение Паули гласит:

уравнение Паули (общий)

$[1 2 m (σ ⋅ (p - q A)) 2 + q ϕ] | ψ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ⟩ {\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2m}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A})) ^ {2} + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle}$ $\ left [{\ frac {1} {2m}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A})) ^ {2} + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle$

Здесь $σ = (σ x, σ y, σ z) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$ - это операторы Паули собраны в вектор для удобства, а $p = - i ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}$ - это оператор импульса. Состояние системы, $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ (записано в нотации Дирака ), может рассматриваться как двухкомпонентная спинор волновая функция, или вектор-столбец (после выбора основы):

| ψ⟩ = ψ + | ↑⟩ + ψ - | ↓⟩ знак равно ⋅ [ψ + ψ -] {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ psi _ {+} | \! \ Uparrow \ rangle + \ psi _ {-} | \! \ Downarrow \ rangle \, {\ stackrel {\ cdot} {=}} \, {\ begin {bmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ psi _ {+} | \! \ uparrow \ rangle + \ psi _ {-} | \! \ downarrow \ rangle \, {\ stackrel {\ cdot} {=}} \, {\ begin {bmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {bmatrix}}}

Гамильтонов оператор является матрицей 2 × 2 из-за операторов Паули.

H ^ = 1 2 m [σ ⋅ (p - q A)] 2 + q ϕ {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) \ right] ^ {2} + q \ phi}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) \ right] ^ {2} + q \ phi}

Подстановка в уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан похож на классический гамильтониан для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Подробнее об этом классическом случае см. Сила Лоренца. Член кинетической энергии для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля составляет всего $p 2 2 m {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}}}$ где $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ - это кинетический импульс, а в присутствии электромагнитного поля он включает минимальная связь $Π = p - q A {\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = \ mathbf {p} -q \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = \ mathbf {p} -q \ mathbf { A}}$ , где теперь $Π {\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}$ $\ mathbf {\ Pi}$ - это кинетический импульс, а $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ - канонический импульс.

Операторы Паули могут быть удалены из члена кинетической энергии, используя векторное тождество Паули :

(σ ⋅ a) (σ ⋅ b) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( a × b) {\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {a}) ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + i {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right)}

({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {a}) ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + i {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right)

Обратите внимание, что в отличие от вектора, дифференциальный оператор $p - q A = - i ℏ ∇ - q A {\ displaystyle \ mathbf {p} -q \ mathbf {A} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} -q \ mathbf {A} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$ имеет ненулевое перекрестное произведение с самим собой. Это можно увидеть, рассматривая перекрестное произведение, примененное к скалярной функции $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ :

[(p - q A) × (p - q A)] ψ = - q [p × ( A ψ) + A × (p ψ)] = iq ℏ [∇ × (A ψ) + A × (∇ ψ)] = iq ℏ [ψ (∇ × A) - A × (∇ ψ) + A × ( ∇ ψ)] знак равно iq ℏ B ψ {\ displaystyle \ left [\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ times \ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ right] \ psi = -q \ left [\ mathbf {p} \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ mathbf {p} \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ nabla \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ psi \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) - \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) + \ mathbf {A } \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ mathbf {B} \ psi}

{\ displaystyle \ left [\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ times \ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ right] \ psi = -q \ left [\ mathbf {p} \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ mathbf {p} \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ nabla \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ psi \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) - \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) + \ mathb е {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ mathbf {B} \ psi}

где $B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}$ - магнитное поле.

Затем для полного уравнения Паули получаем

уравнение Паули (стандартная форма)

$H ^ | ψ⟩ = [1 2 м [(p - q A) 2 - q ℏ σ ⋅ B] + q ϕ] | ψ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ⟩ {\ Displaystyle {\ Hat {H}} | \ psi \ rangle = \ left [{\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ справа) ^ {2} -q \ hbar {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B} \ right] + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial } {\ partial t}} | \ psi \ rangle}$ ${\ hat {H}} | \ psi \ rangle = \ left [{\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) ^ { 2} -q \ hbar {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B} \ right] + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle$

Слабые магнитные поля

В случае, когда магнитное поле постоянное и однородное, можно разложить $(p - q A) 2 {\ textstyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2}}$ ${\ textstyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2}}$ с использованием симметричной шкалы $A = 1 2 B × r {\ textstyle \ mathbf {A } = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ times \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2} } \ mathbf {B} \ times \ mathbf {r}}$ , где $r {\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ - это оператор позиции . Получаем

(p - q A) 2 = | p | 2 - q (r × p) ⋅ B + 1 4 q 2 (| B | 2 | r | 2 - | B ⋅ r | 2) ≈ p 2 - q L ⋅ B, {\ displaystyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2} = | \ mathbf {p} | ^ {2} -q (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {B} + {\ frac {1} {4}} q ^ {2} \ left (| \ mathbf {B} | ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ {2} - | \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf { r} | ^ {2} \ right) \ приблизительно \ mathbf {p} ^ {2} -q \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {B} \,,}

{\ displaystyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2} = | \ mathbf {p} | ^ {2 } -q (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {B} + {\ frac {1} {4}} q ^ {2} \ left (| \ mathbf {B} | ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ {2} - | \ mathbf {B} \ cdot \ math bf {r} | ^ {2} \ right) \ приблизительно \ mathbf {p} ^ {2} -q \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {B} \,,}

где $L {\ textstyle \ mathbf {L}}$ ${\ textstyle \ mathbf {L}}$ - это частица угловой момент, и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля $B 2 {\ textstyle B ^ {2}}$ ${\ textstyle B ^ {2}}$ . Следовательно, получаем

уравнение Паули (слабые магнитные поля)

$[1 2 m [(| p | 2 - q (L + 2 S) ⋅ B)] + q ϕ] | ψ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ⟩ {\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (| \ mathbf {p} | ^ {2} -q (\ mathbf {L} +2 \ mathbf {S})) \ cdot \ mathbf {B} \ right) \ right] + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (| \ mathbf {p} | ^ {2} -q (\ mathbf {L } +2 \ mathbf {S}) \ cdot \ mathbf {B} \ right) \ right] + q \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t} } | \ psi \ rangle}$

где $S = ℏ σ / 2 {\ textstyle \ mathbf {S} = \ hbar {\ boldsymbol {\ sigma}} / 2}$ ${\ textstyle \ mathbf {S} = \ hbar {\ boldsymbol {\ sigma}} / 2}$ - это вращение частица. Фактор 2 перед вращением известен как g-фактор Дирака . Термин в $B {\ textstyle \ mathbf {B}}$ ${\ textstyle \ mathbf {B}}$ имеет форму $- μ ⋅ B {\ textstyle - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf. {B}}$ ${\ textstyle - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B}}$ , который представляет собой обычное взаимодействие между магнитным моментом $μ {\ textstyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$ ${\ textsty ле {\ boldsymbol {\ mu}}}$ и магнитным полем, как в Эффект Зеемана.

Для электрона с зарядом $- e {\ textstyle -e}$ ${\ textstyle -e}$ в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно уменьшить уравнение, используя полный угловой момент $J = L + S {\ textstyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}}$ ${\ textstyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}}$ и теорема Вигнера-Эккарта. Таким образом, мы находим

[| p | 2 2 м + μ B г Дж м j | B | - e ϕ] | ψ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ⟩ {\ displaystyle \ left [{\ frac {| \ mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + \ mu _ {\ rm {B}} g_ {J} m_ {j} | \ mathbf {B} | -e \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle}

{\ displaystyle \ left [{\ frac {| \ mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + \ mu _ {\ rm {B}} g_ {J} m_ { j} | \ mathbf {B} | -e \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle}

где $μ B = e ℏ 2 m {\ textstyle \ mu _ {\ rm {B}} = {\ frac {e \ hbar} {2m}}}$ ${\ textstyle \ mu _ {\ rm {B}} = {\ frac {e \ hbar} {2m}}}$ - это магнетон Бора и $mj {\ textstyle m_ {j}}$ ${\ textstyle m_ {j}}$ - это магнитное квантовое число, относящееся к $J {\ textstyle \ mathbf {J}}$ ${\ textstyle \ mathbf {J}}$ . Термин $g J {\ textstyle g_ {J}}$ ${\ textstyle g_ {J}}$ известен как g-фактор Ланде и здесь выражается как

g J = 3 2 + 3 4 - ℓ (ℓ + 1) 2 j (j + 1), {\ displaystyle g_ {J} = {\ frac {3} {2}} + {\ frac {{\ frac {3} {4}} - \ ell (\ ell +1)} {2j (j + 1)}},}

{\ displaystyle g_ {J} = {\ frac {3} {2}} + {\ frac {{\ frac {3} {4}} - \ ell (\ ell +1)} {2j (j + 1)}},}

где $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ - орбитальное квантовое число, относящиеся к $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$ - полное орбитальное квантовое число, относящееся к $J 2 {\ displaystyle J ^ {2}}$ $J ^ {2}$ .

Из уравнения Дирака

Уравнение Паули является нерелятивистским пределом уравнения Дирака, релятивистского квантового уравнения движения для частицы со спином 1/2.

Вывод

Уравнение Дирака можно записать в виде:

i ℏ ∂ t (ψ 1 ψ 2) = c (σ ⋅ Π ψ 2 σ ⋅ Π ψ 1) + q ϕ (ψ 1 ψ 2) + mc 2 (ψ 1 - ψ 2) {\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {t} \, \ left ({\ begin { массив} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin {array} {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {2} \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {1} \ end {массив}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) + mc ^ {2} \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\ - \ psi _ {2} \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {т } \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin {array } {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {2} \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {1} \ end {array}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2 } \ end {array}} \ right) + mc ^ {2} \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\ - \ psi _ {2} \ end {array} } \ right)}

где $∂ T = ∂ ∂ T {\ textstyle \ partial _ {t} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$ ${\ textstyle \ partial _ {t} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$ и $ψ 1, ψ 2 {\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$ представляют собой двухкомпонентный спинор, образующий биспинор.

Используя следующий анзац:

(ψ 1 ψ 2) знак равно е - imc 2 T ℏ (ψ χ) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array }} \ right) = \ mathrm {e} ^ {- \ displaystyle i {\ frac {mc ^ {2} t} {\ hbar}}} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\ \ chi \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \ \\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) = \ mathrm {e} ^ {- \ displaystyle i {\ frac {mc ^ {2} t} {\ hbar}}} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right)}

с двумя новыми спинорами $ψ, χ {\ displaystyle \ psi, \ chi}$ ${\ displaystyle \ psi, \ chi}$ уравнение становится

i ℏ ∂ T (ψ χ) знак равно с (σ ⋅ Π χ σ ⋅ Π ψ) + q ϕ (ψ χ) + (0 - 2 mc 2 χ) {\ displaystyle i \ HBAR \ partial _ {t} \ left ({\ начало {массив} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin {array} {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ chi \\ { \ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi \ end {array}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ - 2 \, mc ^ {2} \, \ chi \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin {array} {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ chi \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi \ end {array}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) + \ влево ({\ begin {array} {c} 0 \\ - 2 \, mc ^ {2} \, \ chi \ end {array}} \ right)}

В нерелятивистском пределе $∂ t χ {\ displaystyle \ partial _ {t} \ chi}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} \ chi}$ , а кинетическая и электростатическая энергии малы по сравнению с энергия покоя $mc 2 {\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc^2$ .

Таким образом,

χ ≈ σ ⋅ Π ψ 2 mc. {\ displaystyle \ chi \ приблизительно {\ frac {{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi} {2 \, mc}} \,.}

{\ displaystyle \ chi \ приблизительно {\ frac {{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi} {2 \, mc}} \,.}

вставлено в верхнюю компоненту уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):

i ℏ ∂ t ψ = [(σ ⋅ Π) 2 2 m + q ϕ] ψ. {\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {t} \, \ psi = \ left [{\ frac {({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}) }) ^ {2}} {2 \, m}} + q \, \ phi \ right] \ psi.}

{\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {t} \, \ psi = \ left [{\ frac {({ \ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}}) ^ {2}} {2 \, m}} + q \, \ phi \ right] \ psi.}

Связь Паули

Уравнение Паули выводится с помощью требования минимальной связи, что обеспечивает g-фактор g = 2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные g-факторы, отличные от 2. В области релятивистской квантовой теории поля для того, чтобы определить неминимальную связь, иногда называемую связью Паули, добавить аномальный фактор

p μ → p μ - q A μ + a σ μ ν F μ ν {\ displaystyle p _ {\ mu} \ к p _ {\ mu} -qA _ {\ mu} + a \ sigma _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle p_ {\ mu} \ to p _ {\ mu} -qA _ {\ mu} + a \ sigma _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

где $p μ {\ displaystyle p _ {\ mu}}$ $p_ \ mu$ - четырехмерный импульс оператор, $A μ {\ displaystyle A _ {\ mu}}$ $A_ {\ mu}$ , если электромагнитный четырехпотенциальный, $a {\ displaystyle a}$ $a$ это аномальный магнитный дипольный момент, $F μ ν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} }$ - электромагнитный тензор, и $σ μ ν = i 2 [γ μ, γ ν] {\ textstyle \ sigma _ {\ mu \ nu} = {\ frac {i} {2}} [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}]}$ ${\ textstyle \ sigma _ {\ mu \ nu} = {\ frac {i} {2}} [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}]}$ являются лоренцевы спиновые матрицы и коммутатор гамма-матриц $γ μ {\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ $\ gamma ^ {\ mu}$ . В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию энергии Зеемана ) для любого g-фактора.

См. Также

Сноски

Ссылки

Книги

Швабль, Франц (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
Швабль, Франц (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2. Уайли Дж. ISBN 978-0471569527.