Вежливое число

A Диаграмма Юнга, визуально представляющая вежливое расширение 15 = 4 + 5 + 6

In номер В теории, вежливое число - это положительное целое число, которое может быть записано как сумма двух или более последовательных положительных целых чисел. Другие положительные целые числа - невежливо . Вежливые числа также называются лестничными числами, потому что диаграммы Юнга графически представляют разбиение вежливого числа на последовательные целые числа (во французском стиле рисования этих диаграмм) напоминают лестницы. Если все числа в сумме строго больше единицы, полученные таким образом числа также называются трапециевидными числами, потому что они представляют собой образцы точек, расположенных в форме трапеции (трапеции за пределами Северной Америки).

Проблема представления чисел в виде суммы последовательных целых чисел и подсчета количества представлений этого типа изучалась Сильвестром, Мэйсоном, Левеком и многими другими. другие, более поздние авторы.

• 1 Примеры и характеристика
• 2 Вежливость
• 3 Построение вежливых представлений из нечетных делителей
• 4 Трапециевидные числа
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Первые несколько вежливых чисел:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,... (последовательность A138591 в OEIS ).

Невежливые числа - это в точности сила RS из двух. Из теоремы Ламбека – Мозера следует, что n-е вежливое число - это f (n + 1), где

$f\; (n)\; =\; n\; +\; \lfloor \; log\; 2\; \; (n\; +\; log\; 2\; \; n)\; \rfloor .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; =\; n\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; n\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor.\}$

Вежливость положительного числа определяется как количество способов выразить его как сумму последовательных целых чисел. Для каждого x вежливость x равна количеству нечетных делителей x, которые больше единицы. Вежливость чисел 1, 2, 3,...

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3,... (последовательность A069283 в OEIS ).

Например, вежливость 9 равна 2, потому что она имеет два нечетных делителя, 3 и сама, и два вежливых представления

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

вежливость 15 равна 3, потому что у него три нечетных делителя, 3, 5 и 15, и (как известно криббидж игроков) три вежливых представления

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Простой способ подсчета вежливости положительного числа состоит в разложении числа на его простые множители, взятии степеней всех простых множителей больше 2, добавлении 1 ко всем из них, умножении полученных таким образом чисел друг на друга и вычитании 1. Например, 90 имеет вежливость 5, потому что $90\; =\; 2\; \times \; 3\; 2\; \times \; 5\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 90\; =\; 2\; \backslash \; times\; 3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; times\; 5\; ^\; \{1\}\}$; степени 3 и 5 равны 2 и 1 соответственно, и применяя этот метод $(2\; +\; 1)\; \times \; (1\; +\; 1)\; -\; 1\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; +\; 1)\; \backslash \; times\; (1\; +\; 1)\; -1\; =\; 5\}$.

Чтобы увидеть связь между нечетными делителями и вежливыми представлениями, предположим, что число x имеет нечетный делитель y>1. Тогда y последовательных целых чисел с центром в x / y (так что их среднее значение равно x / y) имеют в качестве суммы x:

$x\; =\; \sum \; i\; =\; x\; y\; -\; y\; -\; 1\; 2\; x\; y\; +\; y\; -\; 1\; 2\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{y\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{y-1\}\; \{2\}\}\}\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y-1\}\; \{2\}\}\}\; i.\}$

Некоторые члены этой суммы могут быть нулевыми или отрицательными. Однако, если член равен нулю, его можно опустить, а любые отрицательные термины могут использоваться для отмены положительных, что приведет к вежливому представлению для x. (Требование, чтобы y>1 соответствовало требованию, чтобы вежливое представление имело более одного члена; применение той же конструкции для y = 1 просто привело бы к тривиальному одночленному представлению x = x.) Например, вежливое число x = 14 имеет единственный нетривиальный нечетный делитель, 7. Следовательно, это сумма 7 последовательных чисел с центром 14/7 = 2:

14 = (2 - 3) + (2 - 2) + (2 - 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Первый член, −1, отменяет более поздний +1, а второй член, ноль, может быть опущен, ведущий в вежливое представление

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

И наоборот, любое вежливое представление x может быть сформировано из этой конструкции. Если представление имеет нечетное количество терминов, x / y является средним термином, а если оно имеет четное количество терминов и его минимальное значение равно m, оно может быть расширено уникальным способом до более длинной последовательности с той же суммой и нечетное количество членов, включая 2m - 1 чисел - (m - 1), - (m - 2),..., −1, 0, 1,..., m - 2, m - 1. После этого расширения, снова, x / y - средний член. С помощью этой конструкции вежливые представления числа и его нечетных делителей, больших единицы, могут быть помещены во взаимно-однозначное соответствие, давая биективное доказательство характеристики вежливого числа и вежливость. В более общем плане та же идея дает соответствие два к одному между, с одной стороны, представлениями в виде суммы последовательных целых чисел (допускающих ноль, отрицательные числа и одночленные представления) и, с другой стороны, нечетными делителями (включая 1).

Другое обобщение этого результата гласит, что для любого n количество разбиений n на нечетные числа, имеющие k различных значений, равно количеству разбиений n на отдельные числа, имеющие k максимальных серий последовательных числа. Здесь серия представляет собой одно или несколько последовательных значений, так что следующее большее и следующее меньшее последовательные значения не являются частью раздела; например, раздел 10 = 1 + 4 + 5 имеет два прогона, 1 и 4 + 5. Вежливое представление имеет один прогон, а раздел с одним значением d эквивалентен факторизации n как произведение d ⋅ (n / d), поэтому частный случай k = 1 этого результата снова устанавливает эквивалентность между вежливым представлением и нечетными множителями (включая в этом случае тривиальное представление n = n и тривиальный нечетный множитель 1).

Если вежливое представление начинается с 1, представленное таким образом число является треугольным числом

$T\; n\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; 2\; =\; 1\; +\; 2\; +\; \cdots \; +\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; =\; 1\; +\; 2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n.\}$

В общем, это разница двух непоследовательных треугольных чисел $(j>я\; \ge \; 1):\; \{\backslash \; displaystyle\; (j>i\; \backslash \; geq\; 1):\}$

$i\; +\; (i\; +\; 1)\; +\; (i\; +\; 2)\; +\; \cdots \; +\; j\; =\; T\; j\; -\; T\; я\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; i\; +\; (i\; +\; 1)\; +\; (i\; +\; 2)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; j\; =\; T\_\; \{j\}\; -T\_\; \{i-1\}.\}$

В любом случае он называется трапециевидное число. То есть вежливые числа - это просто трапециевидные числа. Можно также рассматривать вежливые числа, единственные вежливые представления которых начинаются с 1. Единственными такими числами являются треугольные числа только с одним нетривиальным нечетным делителем, потому что для этих чисел, согласно в соответствии с описанной ранее биекцией нечетный делитель соответствует треугольному представлению, и других вежливых представлений быть не может. Таким образом, вежливые числа, единственное вежливое представление которых начинается с 1 должна иметь форму степени двойки, умноженной на нечетное простое число. Как отмечают Джонс и Лорд, существует ровно два типа треугольных чисел с этой формой:

1. четные совершенные числа 2 (2-1), образованные произведением простого числа Мерсенна 2-1 с половиной ближайшего степени двойки, и
2. произведения 2 (2 + 1) простого числа Ферма 2 + 1 с половиной ближайшего степень двойки.

(последовательность A068195 в OEIS ). Например, идеальное число 28 = 2 (2-1) и число 136 = 2 (2 + 1) являются вежливыми числами этого типа. Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и в этом случае существует также бесконечно много вежливых чисел этого типа.

• «Вежливый номер». PlanetMath.
• Вежливые числа, NRICH, Кембриджский университет, декабрь 2002 г.
• Знакомство с расчетными суммами, Р. Нотт.
• Есть ли какой-либо образец в наборе трапециевидных чисел? Вопрос дня на Intellectualism.org, 2 октября 2003 г. С диаграммой, показывающей трапециевидные числа, закодированные цветом в зависимости от количества терминов в их расширениях.