Кручение кривой

В простейшей дифференциальной геометрии кривых в трех измерениях, кручение кривой кривой измеряет, насколько резко она выходит из плоскости кривизны. Взятые вместе, кривизна и скручивание пространственной кривой аналогичны кривизне плоской кривой. Например, они являются коэффициентами в системе дифференциальных уравнений для системы отсчета Френе, заданной формулами Френе – Серре.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Альтернативное описание
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Анимация кручения и соответствующего вращения вектора бинормали.

Пусть C будет пространственной кривой параметризуется длиной дуги s и единичным касательным вектором t. Если кривизна κ C в определенной точке не равна нулю, тогда вектор главной нормали и бинормальный вектор в этой точке являются единичными векторами

$п\; знак\; равно\; T\; \prime \; \kappa ,\; б\; знак\; равно\; T\; \times \; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{п\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; mathbf\; \{t\}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; kappa\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{т\; \}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{n\},\}$

где штрих обозначает производную вектора по параметру s. кручение τ измеряет скорость вращения вектора бинормали в данной точке. Он находится из уравнения

$b\; \prime \; =\; -\; \tau \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \text{'}=\; -\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{n\}.\}$

, что означает

$\tau \; =\; -\; n\; \cdot \; b\text{'}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \text{'}.\}$

Примечание: производная вектора бинормали перпендикулярна как бинормали, так и касательной, поэтому она должна быть пропорциональна вектор главной нормали. Отрицательный знак - это просто вопрос условности: это побочный продукт исторического развития предмета.

Геометрическая релевантность: Кручение τ (s) измеряет оборот бинормального вектора. Чем больше кручение, тем быстрее вектор бинормали вращается вокруг оси, заданной касательным вектором (см. графические иллюстрации ). На анимированном рисунке вращение вектора бинормали хорошо видно на пиках функции кручения.

• Плоская кривая с ненулевой кривизной имеет нулевое кручение во всех точках. И наоборот, если кручение регулярной кривой с ненулевой кривизной тождественно равно нулю, то эта кривая принадлежит фиксированной плоскости.
• Кривизна и кручение спирали постоянны. И наоборот, любая пространственная кривая, кривизна и кручение которой постоянны и не равны нулю, является спиралью. Кручение положительно для правой спирали и отрицательно для левой.

Пусть r= r(t) будет параметрическим уравнением пространственная кривая. Предположим, что это обычная параметризация и кривизна кривой не обращается в нуль. Аналитически r (t) является трижды дифференцируемой функцией от t со значениями в R и векторами

$r\; \text{'}(t),\; r\; ″\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\; \text{'}\}\; (t),\; \backslash \; mathbf\; \{r\text{'}\; \text{'}\}\; (t)\}$

являются линейно независимыми.

Тогда кручение можно вычислить по следующей формуле:

$\tau \; =\; det\; (r\; \prime ,\; r\; ″,\; r\; ‴)\; \Vert \; r\; \prime \; \times \; r\; ″\; \Vert \; 2\; =\; (r\; \prime \; \times \; r\; ″)\; \cdot \; r\; ‴\; \Vert \; r\; \prime \; \times \; r\; ″\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; det\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \text{'}\text{'}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \text{'}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\text{'}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\text{'}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Здесь штрихи обозначают производные по t, а крестик обозначает перекрестное произведение. Для r = (x, y, z) формула в компонентах будет

$\tau \; =\; x\; ‴\; (y\; \prime \; z\; ″\; -\; y\; ″\; z\; \prime )\; +\; y\; ‴\; (x\; ″\; z\; \prime \; -\; x\; \prime \; Z\; ″)\; +\; z\; ‴\; (x\; \prime \; y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; (y\; \prime \; z\; ″\; -\; y\; ″\; z\; \prime )\; 2\; +\; (x\; ″\; z\; \prime \; -\; x\; \prime \; z\; ″)\; 2\; +\; (x\; \prime \; y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; left\; (y\text{'}z\text{'}\; \text{'}-\; y\text{'}\text{'}z\text{'}\; \backslash \; right)\; +\; y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; left\; (x\text{'}\text{'}z\text{'}-x\text{'}z\text{'}\; \text{'}\; \backslash \; right)\; +\; z\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; left\; (x\text{'}y\text{'}\; \text{'}-\; x\text{'}\text{'}y\text{'}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (y\text{'}z\; \text{'}\text{'}\; -\; y\text{'}\text{'}z\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (x\text{'}\text{'}z\text{'}-x\text{'}z\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (x\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

• Эндрю Прессли (2001), Элементарная дифференциальная геометрия, Серия Springer по математике для студентов, Springer-Verlag, ISBN 1-85233- 152-6

Викискладе есть материалы, относящиеся к Графические иллюстрации кручения пространственных кривых.