Эллиптическая гипергеометрическая серия

В математике эллиптический гипергеометрический ряд - это ряд Σc n, такой, что отношение c n/cn − 1 является эллиптической функцией от n, аналогичной обобщенному гипергеометрическому ряду, где отношение является рациональной функцией от n, и базовый гипергеометрический ряд, где отношение является периодической функцией комплексного числа n. Они были введены Дате-Джимбо-Куниба-Мива-Окадо (1987) и Френкель и Тураев (1997) в их исследовании эллиптических 6-j символов.

для обзоров эллиптических гипергеометрических рядов. см. Гаспер и Рахман (2004), Спиридонов (2008) или Розенгрен (2016).

• 1 Определения
• 2 Определения аддитивных эллиптических гипергеометрических серия
• 3 Дополнительная литература
• 4 Ссылки

Символ q-Pochhammer определяется как

$(a;\; q)\; n\; =\; \prod \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (1\; -\; aqk)\; =\; (1\; -\; a)\; (1\; -\; aq)\; (1\; -\; aq\; 2)\; \cdots \; (1\; -\; aqn\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (a;\; q)\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (1-aq\; ^\; \{k\})\; =\; (1-a)\; (1-aq)\; (\; 1-aq\; ^\; \{2\})\; \backslash \; cdots\; (1-aq\; ^\; \{n-1\}).\}$

$(a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; am;\; q)\; n\; =\; (a\; 1;\; q)\; n\; (a\; 2;\; q)\; n\dots \; (am;\; q)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{m\};\; q)\; \_\; \{n\}\; =\; (a\_\; \{1\};\; q)\; \_\; \{n\}\; (a\_\; \{2\};\; q)\; \_\; \{n\}\; \backslash \; ldots\; (a\_\; \{m\};\; q)\; \_\; \{n\}.\}$

Модифицированная тета-функция Якоби с аргументом x и ном p определяется как

$\theta \; (x\; ;\; п)\; знак\; равно\; (Икс,\; п\; /\; Икс;\; п)\; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тета\; (х;\; р)\; =\; (х,\; р\; /\; х;\; р)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$

$\theta \; (х\; 1,...,\; xm;\; p)\; =\; \theta \; (x\; 1;\; p)...\; \theta \; (Иксм;\; п)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тета\; (х\_\; \{1\},...,\; х\_\; \{м\};\; р)\; =\; \backslash \; тета\; (х\_\; \{1\};\; р)...\; \backslash \; тета\; (х\_\; \{м\; \};\; p)\}$

Эллиптический сдвинутый факториал определяется как

$(a;\; q,\; p)\; n\; =\; \theta \; (a;\; p)\; \theta \; (aq;\; p)...\; \theta \; (aqn\; -\; 1;\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (a;\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; theta\; (a;\; p)\; \backslash \; theta\; (aq;\; p)...\; \backslash \; theta\; (aq\; ^\; \{n-\; 1\};\; p)\}$

$(a\; 1,...,\; am;\; q,\; p)\; n\; =\; (a\; 1;\; q,\; p)\; n\; \cdots \; (am;\; q,\; p)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},...,\; a\_\; \{m\};\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\; =\; (a\_\; \{1\};\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\; \backslash \; cdots\; (a\_\; \{m\};\; q,\; p)\; \_\; \{\; n\}\}$

Тета-гипергеометрический ряд r + 1 Erопределяется как

$r\; +\; 1\; E\; r\; (a\; 1,...\; ar\; +\; 1;\; b\; 1,...,\; br;\; q,\; p;\; z)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; (a\; 1,....,\; ar\; +\; 1;\; q;\; p)\; n\; (q,\; b\; 1,...,\; br;\; q,\; p)\; nzn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{r\; +\; 1\}\; E\_\; \{r\}\; (a\_\; \{1\},...\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; b\_\; \{1\},...,\; b\_\; \{r\};\; q,\; p;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(a\_\; \{1\},...,\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; q;\; p)\; \_\; \{n\}\}\; \{(q,\; b\_\; \{1\; \},...,\; b\_\; \{r\};\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\}$

Очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд r + 1 Vrопределяется как

$r\; +\; 1\; V\; r\; (a\; 1;\; a\; 6,\; a\; 7,...\; ar\; +\; 1;\; q,\; p;\; z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \theta \; (a\; 1\; q\; 2\; n;\; p)\; \theta \; (a\; 1\; ;\; p)\; (a\; 1,\; a\; 6,\; a\; 7,...,\; ar\; +\; 1;\; q;\; p)\; n\; (q,\; a\; 1\; q\; /\; a\; 6,\; a\; 1\; q\; /\; a\; 7,...,\; a\; 1\; q\; /\; ar\; +\; 1;\; q,\; p)\; n\; (qz)\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{r\; +\; 1\}\; V\_\; \{r\}\; (a\_\; \{1\};\; a\_\; \{6\},\; a\_\; \{7\},...\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; q,\; p;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\; (a\_\; \{1\}\; q\; ^\; \{2n\};\; p)\}\; \{\backslash \; theta\; (a\_\; \{1\};\; p)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{6\},\; a\_\; \{7\},...,\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; q;\; p)\; \_\; \{n\}\}\; \{(q,\; a\_\; \{1\}\; q\; /\; a\_\; \{6\},\; a\_\; \{1\}\; q\; /\; a\_\; \{7\},...,\; a\_\; \{1\}\; q\; /\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\}\}\; (qz)\; ^\; \{n\}\}$

двусторонний тета-гипергеометрический ряд rGrопределяется как

$r\; G\; r\; (a\; 1,...\; а\; р;\; б\; 1,...,\; b\; r;\; q,\; p;\; z)\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; (a\; 1,...,\; ar;\; q;\; p)\; n\; (b\; 1,....,\; br;\; q,\; p)\; nzn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{r\}\; G\_\; \{r\}\; (a\_\; \{1\},...\; a\_\; \{r\};\; b\_\; \{1\},...,\; b\_\; \{r\};\; q,\; p;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(a\_\; \{1\},...,\; a\_\; \{r\};\; q;\; p)\; \_\; \{n\}\}\; \{(b\_\; \{1\},...,\; b\_\; \{r\};\; q,\; p)\; \_\; \{n\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\}$

Эллиптические числа определяются как

$[a;\; \sigma ,\; \tau ]\; знак\; равно\; \theta \; 1\; (\pi \; \sigma \; a,\; е\; \pi \; я\; \tau )\; \theta \; 1\; (\pi \; \sigma ,\; е\; \pi \; я\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; [a;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\; \}\; (\backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; a,\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; pi\; \backslash \; sigma,\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\})\}\}\}$

где Тета-функция Якоби определяется как

$\theta \; 1\; (x,\; q)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nq\; (n\; +\; 1/2)\; 2\; e\; (2\; n\; +\; 1)\; ix\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; (x,\; q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{(n\; +\; 1/2)\; ^\; \{\; 2\}\}\; e\; ^\; \{(2n\; +\; 1)\; ix\}\}$

Аддитивные эллиптические сдвинутые факториалы определяются как

• $[a;\; \sigma ,\; \tau ]\; n\; =\; [a;\; \sigma ,\; \tau ]\; [a\; +\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]...\; [а\; +\; п\; -\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; \_\; \{n\}\; =\; [a;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; [a\; +\; 1;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]...\; [a\; +\; n-1\; ;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\}$
• $[a\; 1,...,\; а\; м;\; \sigma ,\; \tau ]\; =\; [a\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]...\; [а\; м;\; \sigma ,\; \tau ]\; \{\backslash \; Displaystyle\; [а\_\; \{1\},...,\; а\_\; \{м\};\; \backslash \; сигма,\; \backslash \; тау]\; =\; [а\_\; \{1\};\; \backslash \; сигма,\; \backslash \; тау]...\; [а\_\; \{м\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\}$

Аддитивный тета-гипергеометрический ряд r + 1 erопределяется как

$r\; +\; 1\; er\; (a\; 1,...\; ar\; +\; 1;\; b\; 1,...,\; br;\; \sigma ,\; \tau ;\; z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; [a\; 1,...,\; a\; r\; +\; 1;\; \sigma ;\; \tau ]\; n\; [1,\; b\; 1,...,\; b\; r;\; \sigma ,\; \tau ]\; nzn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{r\; +\; 1\}\; e\_\; \{r\}\; (a\_\; \{1\},...\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; b\_\; \{1\},...,\; b\_\; \{r\; \};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{[a\_\; \{1\},...,\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; \backslash \; sigma;\; \backslash \; tau\; ]\; \_\; \{n\}\}\; \{[1,\; b\_\; \{1\},...,\; b\_\; \{r\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; \_\; \{n\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\}$

Очень хорошо сбалансированная добавка тета-гипергеометрический ряд r + 1 vrопределяется как

$r\; +\; 1\; vr\; (a\; 1;\; a\; 6,....\; ar\; +\; 1;\; \sigma ,\; \tau ;\; z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; [a\; 1\; +\; 2\; п.;\; \sigma ,\; \tau ]\; [a\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]\; [a\; 1,\; a\; 6,...,\; a\; r\; +\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]\; n\; [1,\; 1\; +\; a\; 1\; -\; a\; 6,...,\; 1\; +\; a\; 1\; -\; a\; r\; +\; 1;\; \sigma ,\; \tau ]\; nzn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{r\; +\; 1\}\; v\_\; \{r\}\; (a\_\; \{1\};\; a\_\; \{6\},...\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{[a\_\; \{1\}\; +\; 2n;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\}\; \{[a\_\; \{1\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{[a\_\; \{1\},\; a\_\; \{6\},...,\; a\_\; \{r\; +\; 1\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; \_\; \{n\}\}\; \{[1,1\; +\; a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{6\; \},...,\; 1\; +\; a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{r\; +\; 1\};\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; tau]\; \_\; \{n\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\}$

• Спиридонов В.П. ( 2013). «Аспекты эллиптических гипергеометрических функций». В Берндт, Брюс С. (ред.). Наследие Шринивасы Рамануджана Труды международной конференции, посвященной 125-летию со дня рождения Рамануджана; Университет Дели, 17-22 декабря 2012 г. Серия лекций Математического общества Рамануджана. 20 . Математическое общество Рамануджана. С. 347–361. arXiv : 1307.2876. Bibcode : 2013arXiv1307.2876S. ISBN 9789380416137.
• Розенгрен, Ялмар (2016). «Эллиптические гипергеометрические функции». arXiv : 1608.06161 [math.CA ].

• Frenkel, Igor B.; Тураев, Владимир Г. (1997), "Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера и модульные гипергеометрические функции", Математические семинары Арнольда-Гельфанда, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 171–204, ISBN 978-0-8176-3883-2, MR 1429892
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719
• Спиридонов В.П. (2002), «Тета-гипергеометрические ряды», Асимптотическая комбинаторика в применении к математической физике (Санкт-Петербург, 2001), НАТО Sci. Сер. II Математика. Phys. Chem., 77, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 307–327, arXiv : math / 0303204, Bibcode : 2003math...... 3204S, MR 2000728
• Спиридонов В.П. (2003) "Тета-гипергеометрические интегралы", Российская Академия Наук. Алгебра и анализ, 15 (6): 161–215, arXiv : math / 0303205, doi : 10.1090 / S1061-0022-04-00839-8, MR 2044635
• Спиридонов, В.П. (2008), «Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций», Российская академия наук. Московское математическое общество. Успехи математических наук, 63 (3): 3–72, arXiv : 0805.3135, Bibcode : 2008RuMaS..63..405S, doi : 10.1070 / RM2008v063n03ABEH004533, MR 2479997
• Варнаар, С. Оле (2002), «Формулы суммирования и преобразования для эллиптических гипергеометрических рядов», Конструктивное приближение. Международный журнал приближений и расширений, 18 (4): 479–502, arXiv : math / 0001006, doi : 10.1007 / s00365-002-0501-6, MR 1920282