Число Табита

В теории чисел число Табита, число Табита ибн Курра или 321 число является целым числом в форме $3\; \cdot \; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{n\}\; -1\}$для неотрицательного целого числа n.

Первые несколько чисел Табита:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863,... (последовательность A055010 в OEIS )

Девятый век математик, врач, астроном и переводчик Табит ибн Курра считается первым, кто изучил эти числа и их связь с дружескими числами.

• 1 Свойства
• 2 Связь с дружескими числами
• 3 Обобщение
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Двоичное представление числа Табита 3 · 2−1 состоит из n + 2 цифр, состоящих из «10» с последующими n единицами.

Первые несколько чисел Табита, которые являются простым (простые числа Табита или 321 простые числа ):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (последовательность A007505 в OEIS )

По состоянию на октябрь 2015 г. известно 62 простых числа Табита. Их n значения:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 231273425, 123273425 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718,... (последовательность A002235 в OEIS )

Простые числа для n≥234760 были найдены с помощью распределенных вычислений проект 321 поиск . Самый большой из них, 3 · 2−1, содержит 3580969 цифр и был обнаружен в июне 2015 года.

В 2008 году Primegrid взяла на себя поиск простых чисел Thabit. Он все еще ищет и уже нашел все известные на данный момент простые числа Thabit с n ≥ 4235414. Он также ищет простые числа формы 3 · 2 + 1, такие простые числа называются простыми числами Thabit второго рода или 321 простое число второго типа .

Первые несколько чисел Табита второго типа:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865,... (последовательность A181565 в OEIS )

Первые несколько простых чисел Thabit второго типа:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393,... (последовательность A039687 в OEIS )

Их значения n:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 183233496, 2145351, 2291610, 243068785, 5064, 10829346,... (последовательность A002253 в OEIS )

Когда и n, и n − 1 дают простые числа Thabit (первого типа), и $9\; \cdot \; 2\; 2\; n\; -\; 1-1\; \{\backslash \; displaystyle\; 9\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{2n-1\}\; -1\}$тоже простое число, пара дружественных чисел можно вычислить следующим образом:

$2\; n\; (3\; \cdot \; 2\; n\; -\; 1\; -\; 1)\; (3\; \cdot \; 2\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\; (3\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{n-1\}\; -\; 1)\; (3\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{n\}\; -1)\}$и $2\; n\; (9\; \cdot \; 2\; 2\; n\; -\; 1\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\; (9\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{2n-1\}\; -1).\}$

Например, n = 2 дает простое число Табита 11, а n − 1 = 1 дает простое число Табита 5, а наш третий член равен 71. Тогда 2 = 4, умноженное на 5 и 11 дает 220, делители которого в сумме дают 284, а 4 умноженные на 71 равно 284, чьи делители в сумме дают 220.

Единственные известные n, удовлетворяющие этим условиям, - это 2, 4 и 7, соответствующие простым числам Thabit 11, 47 и 383, заданным n, простым числам Thabit 5, 23 и 191, заданным как n − 1, а наши третьи члены - 71, 1151 и 73727. (Соответствующие дружественные пары: (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056))

Для целого числа b ≥ 2 a база числа Табита b представляет собой число вида (b + 1) · b - 1 для неотрицательного целого числа n. Кроме того, для целого числа b ≥ 2 a число Табита второго рода с основанием b представляет собой число формы (b + 1) · b + 1 для неотрицательного целого числа n.

Числа Вильямса также являются обобщением чисел Табита. Для целого числа b ≥ 2 a основание числа Вильямса b является числом вида (b − 1) · b - 1 для неотрицательного целого числа n. Кроме того, для целого числа b ≥ 2 a число Вильямса второго рода с основанием b является числом формы (b-1) · b + 1 для неотрицательного целого числа n.

Для целого числа b ≥ 2 основание простого табита b является основанием числа Табита b, которое также является простым. Аналогично, для целого числа b ≥ 2 основание простого числа Вильямса b является основанием числа Вильямса b, которое также является простым.

Каждое простое число p является простым Табитом с основанием первого рода p, простым числом Вильямса с основанием первого рода p + 2 и простым числом Вильямса с основанием второго рода p; если p ≥ 5, то p также является простым Табитом с основанием p − 2 второго рода.

Это гипотеза, что для любого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Табита первого рода с основанием b, бесконечно много простых чисел Вильямса с основанием b первого рода и бесконечно много простых чисел Вильямса второго рода. вид базы b; кроме того, для каждого целого числа b ≥ 2, которое не конгруэнтно 1 по модулю 3, существует бесконечно много простых чисел Табита с основанием b второго рода. (Если база b сравнима с 1 по модулю 3, то все числа Табита второго рода с основанием b делятся на 3 (и больше 3, так как b ≥ 2), поэтому нет простых чисел Табита второго рода с основанием b.)

Показатель простых чисел Табита второго типа не может совпадать с 1 по модулю 3 (кроме самого 1), показатель простых чисел Вильямса первого рода не может совпадать с 4 по модулю 6, а показатель степени Вильямса простые числа второго рода не могут быть сравнимы с 1 по модулю 6 (кроме самого 1), так как соответствующий многочлен b является приводимым многочленом. (Если n ≡ 1 mod 3, то (b + 1) · b + 1 делится на b + b + 1; если n ≡ 4 mod 6, то (b − 1) · b - 1 делится на b - b + 1; и если n ≡ 1 mod 6, то (b − 1) · b + 1 делится на b - b + 1) В противном случае, соответствующий многочлен b является неприводимым многочленом, поэтому, если Гипотеза Буняковского верна, тогда существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n, удовлетворяющем условию) простое. ((b + 1) · b - 1 неприводимо для всех неотрицательных целых n, поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (для фиксированного показателя n) простое)

Наименьшее k ≥ 1 таких что (n + 1) · n - 1 простое число: (начинаются с n = 2)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1,...

Наименьшее k ≥ 1 такое, что (n + 1) · n + 1 простое число: (начинаются с n = 2, 0, если такого k не существует)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0,...

Наименьшие k ≥ 1 такие, что (n − 1) · n - 1 простое число: (начинаются с n = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2,...

Наименьшее k ≥ 1 такое, что (n − 1) · n + 1 простое число: (начинаются с n = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1,...

• Вайсштейн, Эрик У. "Табит ибн Курра Число". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Табит ибн Куррах Прайм». MathWorld.
• Крис Колдуэлл, Самая большая известная база данных простых чисел на Prime Pages
• Простое число Табита первого рода с основанием 2: (2 + 1) · 2-1
• Простое число Табита второго рода с основанием 2: (2 + 1) · 2 + 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 2: (2−1) · 2 - 1
• Простое число Вильямса первого рода тип основания 3: (3−1) · 3 - 1
• Простое число Вильямса второго рода с основанием 3: (3−1) · 3 + 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 10: (10 −1) · 10-1
• Простое число Вильямса первого рода по основанию 113: (113-1) · 113-1
• Список простых чисел Вильямса
• Поиск 321 PrimeGrid, об открытии простого числа Табита первого рода по основанию 2: (2 + 1) · 2-1