Телеграфный процесс

редактировать

Стохастический процесс без памяти с непрерывным временем, который показывает два различных значения

В теории вероятностей телеграфный процесс представляет собой случайный процесс без памяти с непрерывным временем , который показывает два различных значения. Он моделирует импульсный шум (также называемый шумом попкорна или случайным телеграфным сигналом). Если два возможных значения, которые может принимать случайная величина, это $c 1 {\ displaystyle c_ {1}}$ $c_ {1}$ и $c 2 {\ displaystyle c_ {2} }$ $c_ {2}$ , то процесс можно описать следующими основными уравнениями :

∂ t P (c 1, t | x, t 0) = - λ 1 P (c 1, t | Икс, T 0) + λ 2 P (с 2, T | Икс, T 0) {\ Displaystyle \ partial _ {t} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) = - \ lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) + \ lambda _ {2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0})}

{\ displaystyle \ partial _ {t} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) = - \ lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) + \ lambda _ {2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0})}

∂ t P (c 2, t | x, t 0) = λ 1 P (c 1, t | x, t 0) - λ 2 P (c 2, t | x, t 0). {\ displaystyle \ partial _ {t} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}) = \ lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) - \ лямбда _ {2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}).}

{\ displaystyle \ partial _ {t} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}) = \ lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0 }) - \ lambda _ {2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}).}

где $λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ - это скорость перехода для перехода из состояния $c 1 {\ displaystyle c_ {1}}$ $c_ {1}$ в состояние $c 2 {\ displaystyle c_ {2}}$ $c_ {2}$ и $λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ - скорость перехода из состояния $c 2 {\ displaystyle c_ {2}}$ $c_ {2}$ в состояние $с 1 {\ displaystyle c_ {1}}$ $c_ {1}$ . Процесс также известен под названиями процесс Каца (в честь математика Марка Каца ) и дихотомический случайный процесс .

Содержание

1 Решение
2 Свойства
3 Приложение
4 См. Также
5 Ссылки

Решение

Основное уравнение компактно записывается в матричной форме путем введения вектора $P = [P (c 1, T | Икс, T 0), P (C 2, T | X, T 0)] {\ Displaystyle \ mathbf {P} = [P (c_ {1}, t | x, t_ {0}), P (c_ {2}, t | x, t_ {0})]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = [P (c_ {1 }, t | x, t_ {0}), P (c_ {2}, t | x, t_ {0})]}$ ,

d P dt = WP {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {P}} {dt}} = W \ mathbf {P} }

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {P}} {dt}} = W \ mathbf {P}}

где

W = (- λ 1 λ 2 λ 1 - λ 2) {\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} - \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \\\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} - \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ \\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}}}

- это матрица скорости перехода. Формальное решение строится из начального условия $P (0) {\ displaystyle \ mathbf {P} (0)}$ ${\ mathbf {P}} (0)$ (которое определяет, что при $t = t 0 {\ displaystyle t = t_ {0}}$ $t = t_0$ , состояние равно $x {\ displaystyle x}$ $x$ ) на

P (t) = e W t P (0) {\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = e ^ {Wt} \ mathbf {P} (0)}

{\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = e ^ {Wt} \ mathbf {P} (0)}

Можно показать, что

e W t = I + W (1 - e - 2 λ t) 2 λ {\ displaystyle e ^ {Wt} = I + W {\ frac {(1-e ^ {- 2 \ lambda t})} {2 \ lambda}}}

{\ displaystyle e ^ {Wt} = I + W {\ frac {(1-e ^ {- 2 \ lambda t})} {2 \ lambda}}}

где $I {\ displaystyle I}$ $Я$ - единичная матрица, а $λ = (λ 1 + λ 2) / 2 {\ displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) / 2}$ - средняя скорость перехода. Поскольку $t → ∞ {\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ $t \ rightarrow \ infty$ , решение приближается к стационарному распределению $P (t → ∞) = P s {\ displaystyle \ mathbf {P} ( t \ rightarrow \ infty) = \ mathbf {P} _ {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} (t \ rightarrow \ infty) = \ mathbf {P} _ {s}}$ , задаваемый

P s = 1 2 λ (λ 2 λ 1) {\ displaystyle \ mathbf {P} _ { s} = {\ frac {1} {2 \ lambda}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} \\\ lambda _ {1} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {s} = {\ frac {1} {2 \ lambda}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} \\\ lambda _ {1} \ end {pmatrix}}}

Свойства

Знание начального состояния экспоненциально затухает. Следовательно, за время $t ≫ (2 λ) - 1 {\ displaystyle t \ gg (2 \ lambda) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle t \ gg (2 \ lambda) ^ {- 1}}$ , процесс достигнет следующих стационарных значений, обозначенных индексом s:

Среднее значение:

⟨X⟩ s = c 1 λ 2 + c 2 λ 1 λ 1 + λ 2. {\ displaystyle \ langle X \ rangle _ {s} = {\ frac {c_ {1} \ lambda _ {2} + c_ {2} \ lambda _ {1}} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}.}

{\ displaystyle \ langle X \ rangle _ { s} = {\ frac {c_ {1} \ lambda _ {2} + c_ {2} \ lambda _ {1}} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}.}

Дисперсия:

var ⁡ {X} s = (c 1 - c 2) 2 λ 1 λ 2 (λ 1 + λ 2) 2. {\ displaystyle \ operatorname {var} \ {X \} _ {s} = {\ frac {(c_ {1} -c_ {2}) ^ {2} \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {var} \ {X \} _ {s} = {\ frac {(c_ {1} -c_ {2}) ^ {2} \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {2}}}.}

Также можно вычислить корреляционную функцию :

⟨X (t), X (u) ⟩ S = e - 2 λ | т - у | var ⁡ {X} s. {\ displaystyle \ langle X (t), X (u) \ rangle _ {s} = e ^ {- 2 \ lambda | tu |} \ operatorname {var} \ {X \} _ {s}.}

{\ displaystyle \ langle X (t), X (u) \ rangle _ {s} = e ^ {- 2 \ lambda | tu |} \ operatorname {var} \ {X \} _ {s}.}

Применение

Этот случайный процесс находит широкое применение при построении моделей:

В физике, спиновых системах и флуоресценции перемежаемости показать дихотомические свойства. Но особенно в экспериментах с одной молекулой распределения вероятностей используются вместо экспоненциального распределения, подразумеваемого во всех приведенных выше формулах.
В Finance для описания запасов цен
В биологии для описания связывания и отсоединения фактора транскрипции.

См. также

Литература

^ Бондаренко Ю.В. (2000). «Вероятностная модель для описания эволюции финансовых показателей». Кибернетика и системный анализ. 36 (5): 738–742. doi : 10.1023 / A: 1009437108439.
^Марголин, G; Баркай, Э (2006). "Неэргодичность временного ряда, подчиняющегося статистике Леви". Журнал статистической физики. 122 (1): 137–167. arXiv : cond-mat / 0504454. Bibcode : 2006JSP... 122..137M. doi : 10.1007 / s10955-005-8076-9.
^Балакришнан, В. (2020). Математическая физика: приложения и проблемы. Издательство Springer International. стр. 474