Квадратное треугольное число

Целое число, которое является как полным квадратом, так и треугольным числом Квадратное треугольное число 36, изображенное как треугольное число и как квадратное число.

В математике, квадратное треугольное число (или треугольное квадратное число ) является числом, которое одновременно является треугольным числом и полный квадрат. бесконечно много квадратных треугольных чисел; первые несколько:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (последовательность A001110 в OEIS )

• 1 Явные формулы
• 2 Уравнение Пелла
• 3 Повторяющиеся отношения
• 4 Другие характеристики
• 5 Числовые данные
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Внешние ссылки

Напишите N k для k-го квадратного треугольного числа и запишите s k и t k для сторон соответствующего квадрата и треугольника, поэтому что

$N\; k\; =\; sk\; 2\; =\; tk\; (tk\; +\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{k\}\; =\; s\_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\_\; \{k\}\; (t\_\; \{k\}\; +1)\}\; \{2\}\}.\}$

Определите треугольный корень треугольного числа N = n (n + 1) / 2 как n. Из этого определения и формулы корней квадратного уравнения

$n\; =\; 8\; N\; +\; 1\; -\; 1\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{8N\; +\; 1\}\}\; -\; 1\}\; \{2\}\}.\}$

Следовательно, N треугольное (n - целое число) , если и только если 8N + 1 квадратное. Следовательно, квадратное число M также является треугольным тогда и только тогда, когда 8M + 1 квадратное, то есть, существуют числа x и y такие, что x - 8y = 1. Это пример уравнения Пелла с n = 8. Все уравнения Пелла имеют тривиальное решение x = 1, y = 0 для любого n; это называется нулевым решением и индексируется как (x 0, y 0) = (1,0). Если (x k, y k) обозначает k-е нетривиальное решение любого уравнения Пелла для конкретного n, методом спуска можно показать, что

$xk\; +\; 1\; =\; 2\; xkx\; 1\; -\; xk\; -\; 1,\; yk\; +\; 1\; =\; 2\; ykx\; 1\; -\; yk\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; 2x\_\; \{k\}\; x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{k-1\},\; \backslash \backslash \; y\_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; 2y\_\; \{k\}\; x\_\; \{1\; \}\; -y\_\; \{k-1\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, существует бесконечное множество решений любого уравнения Пелля, для которого существует одно нетривиальное решение, которое выполняется, когда n не является квадратом. Первое нетривиальное решение при n = 8 найти легко: это (3,1). Решение (x k, y k) уравнения Пелла для n = 8 дает квадратно-треугольное число и его квадратные и треугольные корни следующим образом:

$sk\; =\; yk,\; tk\; =\; xk\; -\; 1\; 2,\; N\; k\; =\; yk\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{k\}\; =\; y\_\; \{k\},\; \backslash \; quad\; t\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{k\}\; -1\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; N\_\; \{k\}\; =\; y\_\; \{k\}\; ^\; \{2\; \}.\}$

Следовательно, первое квадратно-треугольное число, полученное из (3,1), равно 1, а следующее, полученное из 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6), равно 36.

Последовательности N k, s k и t k являются последовательностями OEIS OEIS : A001110, OEIS : A001109 и OEIS : A001108 соответственно.

В 1778 г. Леонард Эйлер определил явную формулу

$N\; k\; =\; ((3\; +\; 2\; 2)\; k\; -\; (3\; -\; 2\; 2)\; k\; 4\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (3\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; -\; \backslash \; left\; (3-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash )\; right)\; ^\; \{k\}\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Другие эквивалентные формулы (полученные расширением этой формулы), которые могут быть удобными, включают

$N\; k\; =\; 1\; 32\; ((1\; +\; 2)\; 2\; k\; -\; (1-2)\; 2\; k)\; 2\; =\; 1\; 32\; ((1\; +\; 2)\; 4\; k\; -\; 2\; +\; (1-2)\; 4\; k)\; =\; 1\; 32\; ((17\; +\; 12\; 2)\; к\; -\; 2\; +\; (17\; -\; 12\; 2)\; к).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{32\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{32\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4k\}\; -2+\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{32\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (17\; +\; 12\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; -2+\; \backslash \; left\; (17-12\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Соответствующие явные формулы для s k и t k :

$sk\; =\; (3\; +\; 2\; 2)\; k\; -\; (3\; -\; 2\; 2)\; k\; 4\; 2,\; tk\; =\; (3\; +\; 2\; 2)\; k\; +\; (3\; -\; 2\; 2)\; k\; -\; 2\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; s\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (3\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; -\; \backslash \; left\; (3-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\},\; \backslash \backslash \; t\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (3\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; +\; \backslash \; left\; (3-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; -2\}\; \{4\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Задача нахождения квадратных треугольных чисел сводится к уравнению Пелла следующим образом:

Каждое треугольное число имеет вид t (t + 1) / 2. Поэтому ищем целые числа t, s такие, что

$t\; (t\; +\; 1)\; 2\; =\; s\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\; (t\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; =\; s\; ^\; \{2\}.\}$

После перестановки получается

$(2\; t\; +\; 1)\; 2\; =\; 8\; s\; 2\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (2t\; +\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 8s\; ^\; \{2\}\; +1,\}$

, а затем, полагая x = 2t + 1 и y = 2s, мы получаем диофантово уравнение

$x\; 2\; -\; 2\; y\; 2\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -2y\; ^\; \{2\}\; =\; 1,\}$

который является экземпляром уравнения Пелла. Это конкретное уравнение решается с помощью чисел Пелла Pkas

$x\; =\; P\; 2\; k\; +\; P\; 2\; k\; -\; 1,\; y\; =\; P\; 2\; k;\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; P\_\; \{2k\}\; +\; P\_\; \{2k-1\},\; \backslash \; quad\; y\; =\; P\_\; \{2k\};\}$

и, следовательно, все решения даются как

$sk\; =\; P\; 2\; k\; 2,\; tk\; =\; P\; 2\; k\; +\; P\; 2\; k\; -\; 1\; -\; 1\; 2,\; N\; k\; =\; (P\; 2\; k\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{2k\}\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; t\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{2k\}\; +\; P\_\; \{2k-1\}\; -1\}\; \{2\}\; \},\; \backslash \; quad\; N\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{2k\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Числа Пелла имеют много тождеств, и они переводятся в тождества о квадратных треугольных числах.

Существуют повторяющиеся отношения для квадратных треугольных чисел, а также для сторон квадрата и треугольника. Имеем

$N\; k\; =\; 34\; N\; k\; -\; 1\; -\; N\; k\; -\; 2\; +\; 2,\; где\; N\; 0\; =\; 0\; и\; N\; 1\; =\; 1;\; N\; k\; =\; (6\; N\; k\; -\; 1\; -\; N\; k\; -\; 2)\; 2,\; где\; N\; 0\; =\; 0\; и\; N\; 1\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\_\; \{k\}\; =\; 34N\_\; \{k-1\}\; -\; N\_\; \{k-2\}\; +2,\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; N\_\; \{0\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; N\_\; \{1\}\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; N\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; left\; (6\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\_\; \{k-1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\_\; \{k-2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; N\_\; \{0\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; N\_\; \{1\}\; =\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

У нас есть

$sk\; =\; 6\; sk\; -\; 1\; -\; sk\; -\; 2,\; где\; s\; 0\; =\; 0\; и\; s\; 1\; =\; 1;\; tk\; =\; 6\; tk\; -\; 1\; -\; tk\; -\; 2\; +\; 2,\; где\; t\; 0\; =\; 0\; и\; t\; 1\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; s\_\; \{k\}\; =\; 6s\_\; \{k-1\}\; -s\_\; \{k-\; 2\},\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; s\_\; \{0\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; s\_\; \{1\}\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; t\_\; \{k\}\; =\; 6t\_\; \{k-1\}\; -t\_\; \{k\; -2\}\; +2,\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; t\_\; \{0\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; t\_\; \{1\}\; =\; 1.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Все квадратные треугольные числа имеют форму bc, где b / c - это сходящееся к разложению непрерывной дроби числа √2.

A. В. Сильвестер дал краткое доказательство того, что существует бесконечное количество квадратных треугольных чисел: если n-е треугольное число n (n + 1) / 2 является квадратным, то квадратным является и большее 4n (n + 1) -ое треугольное число, поскольку:

$(4\; п\; (п\; +\; 1))\; (4\; п\; (п\; +\; 1)\; +\; 1)\; 2\; =\; 4\; п\; (п\; +\; 1)\; 2\; (2\; п\; +\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; bigl\; (\}\; 4n\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; bigr)\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; 4n\; (n\; +\; 1)\; +1\; \{\backslash \; bigr)\}\}\; \{2\}\}\; =\; 4\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (2n\; +\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Как произведение трех квадратов, правая часть равна квадрату. Треугольные корни t k попеременно одновременно на один меньше квадрата и дважды на квадрат, если k четно, и одновременно на квадрат и на один меньше квадрата, если k нечетное. Таким образом,

49 = 7 = 2 × 5 - 1,

288 = 17 - 1 = 2 × 12 и

1681 = 41 = 2 × 29 - 1.

В каждом случае два задействованных квадратных корня умножаются, чтобы получить s k : 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204 и 29 × 41 = 1189.

Дополнительно:

$N\; k\; -\; N\; k\; -\; 1\; =\; s\; 2\; k\; -\; 1;\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{k\}\; -N\_\; \{k-1\}\; =\; s\_\; \{2k-1\};\}$

36 - 1 = 35, 1225 - 36 = 1189 и 41616 - 1225 = 40391. Другими словами, разница между двумя последовательными квадратными треугольными числами является квадратным корнем из другого квадратного треугольного числа.

Производящая функция для квадратных треугольных чисел:

$1\; +\; z\; (1\; -\; z)\; (z\; 2\; -\; 34\; z\; +\; 1)\; знак\; равно\; 1\; +\; 36\; z\; +\; 1225\; z\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; z\}\; \{(1-z)\; \backslash \; left\; (z\; ^\; \{2\}\; -34z\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; =\; 1\; +\; 36z\; +\; 1225z\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

По мере увеличения k отношение t k/skприближается к √2 ≈ 1,41421356, а отношение последовательные квадратные треугольные числа приближаются к (1 + √2) = 17 + 12√2 ≈ 33,970562748. В таблице ниже показаны значения k от 0 до 11, которые охватывают все квадратно-треугольные числа до 10.

k	Nk	sk	tk	tk/sk	Nk/Nk - 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,33333333	36
3	1225	35	49	1,4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562 748

• Задача о пушечном ядре, о числах, которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными
• Шестая степень, числами, которые одновременно являются квадратными и кубическими

• Треугольные числа, которые также имеют квадрат на узелок
• Вайсштейн, Эрик У. «Квадратное треугольное число». MathWorld.
• Решение Майкла Дамметта