Квадратная решетка

редактировать

Квадратные решетки
Прямоугольный квадрат. Простой	диагональный квадрат. Центрированный

Вертикальный квадратная мозаика. Вершины всех квадратов вместе со своими центрами образуют прямую квадратную решетку. Для каждого цвета центры квадратов этого цвета образуют диагональную квадратную решетку, которая в линейном масштабе √2 раза больше, чем прямая квадратная решетка.

В математике квадратная решетка - это тип решетки в двумерном евклидовом пространстве. Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначенная как Z . Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицированных по их группам симметрии ; его группа симметрии в нотации IUC как p4m, нотации Кокстера как [4,4] и нотации орбифолда как * 442.

Две ориентации изображения решетки являются наиболее распространенными. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . Они различаются на угол 45 °. Это связано с тем, что квадратная решетка может быть разделена на две квадратные подрешетки, как видно из раскраски шахматной доски.

Симметрия

Симметрия квадратной решетки категория: группа обоев p4m. Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки, который в √2 раза больше, с добавленными центрами квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов вертикальной квадратной решетки мы получаем диагональную квадратную решетку с размером ячеек, который в √2 раз меньше, чем у исходной решетки. Узор с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раз тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии.

Относительно отражения оси есть три возможности:

Нет. Это группа обоев p4.
В четырех направлениях. Это группа обоев p4m.
В двух перпендикулярных направлениях. Это обои группы p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая имеет такую же тонкость и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти центры вращения находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.

p4, [4,4], (442)	p4g, [4,4], (4 * 2)	p4m, [4,4], (* 442)

Группа обоев p4, с расположением в примитивной ячейке 2- и 4-кратных центров вращения (также применимо для p4g и p4m). Фундаментальный домен обозначен желтым.	Группа обоев p4g. Оси отражения проходят в двух направлениях, а не через 4-кратные ротоцентры.	Группа обоев p4m. Оси отражения проходят в четырех направлениях через 4-кратные ротоцентры. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же, как и для p4g, и с такой же плотностью, но смещены. В двух других направлениях они линейно в √2 раз плотнее.

См. Также

Ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Квадратные решетки.