Рационализация (математика)

В элементарной алгебре рационализация корня - это процесс, посредством которого радикалы в знаменателе в алгебраической дроби удаляются.

Если знаменатель является одночленом в некотором радикале, например $axnk,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{x\}\}\; ^\; \{k\},\}$с k < n, rationalisation consists of multiplying the numerator and the denominator by $xnn\; -\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{x\}\}\; ^\; \{nk\},\}$и заменой $xnn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{x\}\}\; ^\; \{n\}\}$, автор $|\; х\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; x\; \backslash \; right\; |,\}$, если n четное, или на x, если n нечетное (если k ≥ n, та же замена позволяет нам уменьшить k, пока оно не станет меньше n.

Если знаменатель линейный в некотором квадратном корне, скажем, $a\; +\; bx,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\},\}$рационализация состоит в умножении числителя и знаменателя на $a\; -\; bx,\; \{\backslash \; displaystyle\; ab\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\},\}$и разложения произведения в знаменателе.

Этот метод можно распространить на любой алгебраический знаменатель, умножив числитель и знаменатель на все алгебраические сопряжения знаменателя и расширив новый знаменатель до нормы старого знаменатель. Однако, за исключением особых случаев, результирующие дроби могут иметь огромные числители и знаменатели, и, следовательно, этот метод обычно используется только в указанных выше элементарных случаях.

• 1 Рационализация квадратного корня монома и кубический корень
• 2 Работа с большим количеством квадратные корни
• 3 Обобщения
• 4 Ссылки

Для фундаментальной техники числитель и знаменатель должны быть умножены на один и тот же коэффициент.

Пример 1:

$10\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\}$

Чтобы рационализировать этот вид выражения, введите коэффициент $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}$:

$10\; a\; =\; 10\; a\; \cdot \; aa\; =\; 10\; a\; (a)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Квадратный корень исчезает из знаменателя, потому что он возведен в квадрат:

$10\; a\; (a)\; 2\; =\; 10\; аа\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; \{a\}\}\}$

Это дает результат после упрощения:

$10\; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\; \{a\}\}\}$

Пример 2:

$10\; b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\}\}$

Чтобы рационализировать этот радикал, введите множитель $b\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}$:

$10\; b\; 3\; =\; 10\; b\; 3\; \cdot \; b\; 3\; 2\; b\; 3\; 2\; =\; 10\; b\; 3\; 2\; b\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}\; ]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\; \}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{3\}\}\}\}$

Корень куба исчезает из знаменателя, потому что он кубизирован:

$10\; b\; 3\; 2\; b\; 3\; 3\; =\; 10\; b\; 3\; 2\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{b\}\}\}$

Это дает результат после упрощения:

$10\; b\; 3\; 2\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{b\}\}\}$

Для знаменателя:

$2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

Рационализация может быть достигнута путем умножения на сопряженное :

$2–3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

и применяя разность двух квадратов идентичности, которая здесь даст -1. Чтобы получить этот результат, всю дробь нужно умножить на

$2\; -\; 3\; 2\; -\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; =\; 1.\}$

Этот метод работает в более общем плане. Его можно легко приспособить для удаления одного квадратного корня за раз, т.е. рационализировать

$x\; +\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\; \backslash ,\}$

умножением на

$x\; -\; y\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}$

Пример:

$3\; 3\; +\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \}\}$

Дробь должна быть умножена на частное, содержащее $3–5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}$.

$3\; 3\; +\; 5\; \cdot \; 3\; -\; 5\; 3\; -\; 5\; =\; 3\; (3-5)\; 3\; 2\; -\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Теперь мы можем приступить к удалению квадратных корней из знаменатель:

$3\; (3-5)\; 3\; 2-5\; 2\; =\; 3\; (3-5)\; 3-5\; =\; 3\; (3-5)\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\})\; \}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\; \}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\; \{3-5\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}\; \{-\; 2\}\}\}$

Пример 2:

Этот процесс также работает с комплексным числом rs с $я\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\}$

$7\; 1\; +\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; -5\}\}\}\}\}$

Дробь должна быть умножена на частное, содержащее $1\; -\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}\}$.

$7\; 1\; +\; -\; 5\; \cdot \; 1\; -\; -\; 5\; 1\; -\; -\; 5\; знак\; равно\; 7\; (1\; -\; -\; 5)\; 1\; 2\; -\; -\; 5\; 2\; =\; 7\; (1\; -\; -\; 5)\; 1\; -\; (-\; 5)\; =\; 7-7\; 5\; я\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\})\}\; \{1\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; 5\}\})\}\; \{1\; -\; (-\; 5)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7-7\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; i\}\; \{6\}\}\}$

Рационализация может быть расширена ко всем алгебраическим числам и алгебраическим функциям (как приложение норм форм ). Например, чтобы рационализировать кубический корень , следует использовать два линейных фактора, включающих кубический корень из единицы, или, что то же самое, квадратичный коэффициент.

Этот материал переносится в тексты по классической алгебре. Например:

• Джордж Кристал, Введение в алгебру: для использования в средних школах и технических колледжах - текст девятнадцатого века, первое издание 1889 года, в печати (ISBN 1402159072 ); пример трехчлена с квадратными корнями находится на стр. 256, а общая теория рационализирующих факторов для сурдов приведена на стр. 189–199.