Primorial

редактировать

В математике и, в частности, в теории чисел, primorial, обозначенная знаком «#», является функцией от натуральных чисел до натуральных чисел, аналогичных функции факториал, но вместо последовательного умножения положительных целых чисел функция только умножает простые числа.

Название «первичный», придуманное Харви Дубнером, проводит аналогию с простыми числами, аналогично тому, как название «факториал» относится к факторам.

Содержание

1 Определение простых чисел
2 Определение натуральных чисел
3 Характеристики
4 Приложения и свойства
5 Внешний вид
6 Таблица примитивов
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Определение простых чисел

pn# как функция от n, построенная логарифмически.

Для n-го простого числа p n первичное p n # определяется как произведение первых n простых чисел:

pn # ≡ ∏ k = 1 npk {\ displaystyle p_ {n} \ # \ Equiv \ prod _ {k = 1} ^ {n} p_ {k}}

{\ displaystyle p_ {n} \ # \ Equiv \ prod _ {k = 1} ^ {n} p_ { k}}

, где p k - k-е простое число. Например, p 5 # означает произведение первых 5 простых чисел:

p 5 # = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. {\ displaystyle p_ {5} \ # = 2 \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 = 2310.}

p_5 \ # = 2 \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 = 2310.

Первые пять примитивов p n #:

2, 6, 30, 210, (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает p 0 # = 1 как пустой продукт. Асимптотически примитивы p n # растут в соответствии с на:

pn # = e (1 + o (1)) n log ⁡ n, {\ displaystyle p_ {n} \ # = e ^ {(1 + o (1)) n \ log n},}

p_n \ # = e ^ {(1 + o (1)) n \ log n},

где o () - Маленькая нотация O.

Определение натуральных чисел

n # как функция от n (красные точки) по сравнению с n !, оба графика построены логарифмически.

В целом, для положительного целого числа n, его примор, n #, является произведением тех простых чисел ≤ n, для которых:

n # ≡ ∏ i = 1 π (n) pi = p π (n) # {\ displaystyle n \ # \ Equiv \ prod _ {i = 1} ^ {\ pi (n)} p_ {i} = p _ {\ pi (n)} \ #}

{\ displaystyle n \ # \ Equiv \ prod _ {i = 1} ^ {\ pi (n)} p_ {i} = p _ {\ pi (n)} \ #}

где π (n) - простое число -счетная функция (последовательность A000720 в OEIS ), w это дает количество простых чисел ≤ n. Это эквивалентно:

n # = {1, если n = 0, 1 (n - 1) # × n, если n простое (n - 1) #, если n составное. {\ displaystyle n \ # = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n = 0, \ 1 \\ (n-1) \ # \ times n {\ text {if}} n {\ text {простое}} \\ (n-1) \ # {\ text {if}} n {\ text {составное}}. \ end {case}}}

{\ displaystyle n \ # = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} n = 0, \ 1 \\ (n-1) \ # \ times n {\ text {if}} n {\ text {простое}} \\ (n-1) \ # {\ text {if}} n {\ text {составное}}. \ end {cases}}}

Например, 12 # представляет продукт из этих простых чисел ≤ 12:

12 # = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. {\ displaystyle 12 \ # = 2 \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 = 2310.}

12 \ # = 2 \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 = 2310.

Поскольку π (12) = 5, это можно вычислить как:

12 # = p π (12) # = p 5 # = 2310. {\ displaystyle 12 \ # = p _ {\ pi (12)} \ # = p_ {5} \ # = 2310.}

12 \ # = p _ {\ pi (12)} \ # = p_5 \ # = 2310.

Рассмотрим первые 12 значений n #:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного n каждый член n # просто дублирует предыдущий член (n - 1) #, как указано в определении. В приведенном выше примере мы имеем 12 # = p 5 # = 11 #, поскольку 12 - составное число.

Примитивы связаны с первой функцией Чебышева, записываемой ϑ (n) или θ (n) в соответствии с:

ln ⁡ (n #) = ϑ (n). {\ displaystyle \ ln (n \ #) = \ vartheta (n).}

{\ displaystyle \ ln (n \ #) = \ vartheta (n).}

Поскольку ϑ (n) асимптотически приближается к n для больших значений n, примориалы растут в соответствии с:

n # = e (1 + о (1)) п. {\ displaystyle n \ # = e ^ {(1 + o (1)) n}.}

{\ displaystyle n \ # = e ^ {(1 + o (1)) n}.}

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечности простых чисел, где он используется для вывода о существовании другого простого числа.

Характеристики

Пусть $p {\ displaystyle p}$ $p$ и $q {\ displaystyle q}$ $q$ будут двумя соседними простыми числами. Для любого $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ , где $p ≤ n < q {\displaystyle p\leq n$ ${\ displaystyle p \ leq n <q}$ :

n # = p # {\ displaystyle n \ # = p \ #}

{\ displaystyle n \ # = p \ #}

Для Primorial известно следующее приближение:

n # ≤ 4 n {\ displaystyle n \ # \ leq 4 ^ {n}}

{\ displaystyle n \ # \ leq 4 ^ {n }}

Кроме того:

lim n → ∞ n # n = e {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {n \ #}} = e}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {n \ #}} = e}

Для

n < 10 11 {\displaystyle n<10^{11}}

{\ displaystyle n <10 ^ {11}}

значения меньше, но для больших

n {\ displaystyle n}

n

значения функции превышают предел

e {\ displaystyle e}

e

и бесконечно колеблются вокруг

e { \ displaystyle e}

e

позже.

Пусть $pk {\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ будет $k {\ displaystyle k}$ $к$ -е простое число, тогда $pk # {\ displaystyle p_ {k} \ #}$ ${\ displaystyle p_ {k} \ #}$ имеет ровно $2 k {\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$ делители. Например, $2 # {\ displaystyle 2 \ #}$ $2 \ #$ имеет 2 делителя, $3 # {\ displaystyle 3 \ #}$ ${\ displaystyle 3 \ # }$ имеет 4 делителя, $5 # {\ displaystyle 5 \ #}$ ${\ displaystyle 5 \ #}$ имеет 8 делителей, а $97 # {\ displaystyle 97 \ #}$ ${\ displaystyle 97 \ #}$ уже имеет $2 25 {\ displaystyle 2 ^ { 25}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {25}}$ делители, поскольку 97 - это 25-е простое число.

Сумма обратных значений первичного сходится к константе

∑ p ∈ P 1 p # = 1 2 + 1 6 + 1 30 +… = 0. 7052301717918… {\ displaystyle \ sum _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} {1 \ over p \ #} = {1 \ over 2} + {1 \ over 6} + {1 \ over 30 } + \ ldots = 0 {.} 7052301717918 \ ldots}

{\ displaystyle \ sum _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} {1 \ over p \ #} = {1 \ более 2} + {1 \ более 6} + {1 \ более 30} + \ ldots = 0 {.} 7052301717918 \ ldots}

Расширение Энгеля этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (последовательность A064648 в OEIS ))

Согласно теореме Евклида, $p # + 1 {\ displaystyle p \ # + 1}$ ${\ displaystyle p \ # + 1}$ используется для доказательства бесконечности всех простых чисел.

Приложения и свойства

Примитивы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях. Например, 2236133941 + 23 # приводит к простому числу, начиная с последовательности из тринадцати простые числа, найденные путем многократного добавления 23 # и заканчивающегося на 5136341251. 23 # также является общей разницей в арифметических последовательностях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое сильно сложное число является произведением примориалов (например, 360 = 2 × 6 × 30).

Все примориалы - это целые числа без квадратов, и каждое из них имеет более отчетливые простые множители, чем любое число, меньшее его. Для каждого примориального n дробь φ (n) / n меньше, чем для любого меньшего целого числа, где φ - функция Эйлера.

Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в примориалах, поскольку он определяется своими значениями в простых числах, которые могут быть восстановлены путем деления смежных значений.

Базовые системы, соответствующие примориалам (например, основание 30, не путать с первичной системой счисления ), имеют меньшую долю повторяющихся дробей, чем любая меньшая основа.

Каждый первичный элемент является разреженным общим числом.

n-составной элемент составного числа n является произведением всех составных чисел до n включительно. N-составное число равно n- факториалу, разделенному на первичный n #. Составные элементы:

1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600,...

Внешний вид

дзета-функция Римана в положительных целых числах больше чем один может быть выражен с помощью примориальной функции и тотентиентной функции Джордана Jk(n):

ζ (k) = 2 k 2 k - 1 + ∑ r = 2 ∞ (pr - 1 #) к J К (пр #), к = 2, 3,… {\ displaystyle \ zeta (k) = {\ frac {2 ^ {k}} {2 ^ {k} -1}} + \ sum _ {r = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(p_ {r-1} \ #) ^ {k}} {J_ {k} (p_ {r} \ #)}}, \ quad k = 2,3, \ dots}

\ zeta (k) = \ frac {2 ^ k} {2 ^ k-1} + \ sum_ {r = 2} ^ \ infty \ frac {(p_ {r -1} \ #) ^ k } {J_k (p_r \ #)}, \ quad k = 2,3, \ dots

Таблица примориалов

n	n #	pn	pn#	Первичное простое число ?
n	n #	pn	pn#	pn# + 1	pn# - 1
0	1	Н / Д	1	Да	Нет
1	1	2	2	Да	Нет
2	2	3	6	Да	Да
3	6	5	30	Да	Да
4	6	7	210	Да	Нет
5	30	11	2310	Да	Да
6	30	13	30030	Нет	Да
7	210	17	510510	Нет	Нет
8	210	19	9699690	Нет	Нет
9	210	23	223092870	Нет	Нет
10	210	29	6469693230	Нет	Нет
11	2310	31	200560490130	Да	Нет
12	2310	37	7420738134810	Нет	Нет
13	30030	41	304250263527210	Нет	Да
14	30030	43	13082761331670030	Нет	Нет
15	30030	47	614889782588491410	Нет	Нет
16	30030	53	32589158477190044730	Нет	Нет
17	510510	59	1922760350154212639070	Нет	Нет
18	510510	61	117288381359406970983270	Нет	Нет
19	9699690	67	7858321551080267055879090	Нет	Нет
20	9699690	71	557940830126698960967415390	Нет	Нет
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	Нет	Нет
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	Нет	Нет
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	Нет	Нет
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	Нет	Да
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	Нет	Нет
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	Нет	Нет
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	Нет	Нет
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	№	№
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674674>	Нет	Нет
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	Нет	№
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	Нет	Нет
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	№	№
33	200560490130	137	72047817630210000>485677936198920541067383>	Нет
34	200560490130	139	10014646650599190067509233131649940057366334653200433090	Нет	Нет
35	200560490130	149	1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410	№	№
36	200560490130	151	225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910	Нет	Нет
37	7420738134810	157		7420738134810	157	35375547069976297707707705165166997377707705705165166247707705705	Нет	Нет
38	7420738134810	163	5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810	Нет	Нет
39	7420738134810	167	962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270	№	№
40 <547><138748>7420	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	Нет	Нет

См. Также

Notes

Ссылки

Dubner, Harvey (1987). «Факториальные и примитивные простые числа». Дж. Рекр. Математика. 19: 197–203.
Спенсер, Адам «Топ 100», номер 59, часть 4.