Первичный идеал

редактировать

В математике, а именно коммутативная алгебра, собственный идеал Q коммутативного кольца A называется pr imary если всякий раз, когда xy является элементом Q, то x или y также является элементом Q для некоторого n>0. Например, в кольце целых чисел Z(p) - первичный идеал, если p - простое число.

Понятие первичных идеалов важно в теории коммутативных колец, потому что каждый идеал нётерова кольца имеет примарное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера – Нётер. Следовательно, неприводимый идеал нётерова кольца примарен.

Существуют различные методы обобщения примарных идеалов на некоммутативные кольца, но чаще всего эта тема изучается для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Содержание

1 Примеры и свойства
2 Сноски
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Примеры и свойства

Определение можно перефразировать более симметрично: идеальный $q {\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ mathfrak {q}}$ является первичным, если $xy ∈ q {\ displaystyle xy \ in {\ mathfrak {q}}}$ $xy \ in {\ mathfrak {q}}$ у нас есть $x ∈ q {\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {q}}}$ $x \ in {\ mathfrak {q}}$ или $y ∈ q {\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {q}} }$ $y \ in {\ mathfrak {q}}$ или $x, y ∈ q {\ displaystyle x, y \ in {\ sqrt {\ mathfrak {q}}}}$ $x, y \ in {\ sqrt {{\ mathfrak {q}}}}$ . (Здесь $q {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {q}}}}$ ${\ sqrt {{\ mathfrak {q}}}}$ обозначает радикал из $q {\ displaystyle {\ mathfrak {q} }}$ ${\ mathfrak {q}}$ .)
Идеал Q кольца R первичен тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где P простое тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / P на самом деле равен нулю.)
Любой простой идеал первичен, и, кроме того, идеал первичен тогда и только тогда, когда он первичен и полупервичный.
Каждый первичный идеал первичен.
Если Q первичный идеал, то радикал в Q обязательно является первичным идеалом P, и этот идеал называется ассоциированным первичным идеалом Q. В этой ситуации Q называется P-примарным .
- С другой стороны, идеал с простым радикалом не обязательно первичен: например, если R = k [ x, y, z] / (ху - z 2) {\ displaystyle R = k [x, y, z] / (xy-z ^ {2})}, p = (x ¯, z ¯) { \ displaystyle {\ mathfrak {p}} = ({\ overline {x}}, {\ overline {z}})}и q = п 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {q}} = {\ mathfrak {p}} ^ {2}}, затем p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}простое число и q = p {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {q}}} = {\ mathfrak {p}}}, но у нас есть x ¯ y ¯ знак равно z ¯ 2 ∈ p 2 = q {\ displaystyle {\ overline {x}} {\ overline {y}} = {\ overline {z}} ^ {2} \ in {\ mathfrak {p} } ^ {2} = {\ mathfrak {q}}}, х ¯ ∉ q {\ displaystyle {\ overline {x}} \ not \ in {\ mathfrak {q}}}, и y ¯ n ∉ q {\ displaystyle {\ overline {y}} ^ {n} \ not \ in {\ mathfrak {q}}}для всех n>0, поэтому q {\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}не является основным. Первичное разложение q {\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}равно (x ¯) ∩ (x ¯ 2, x ¯ z ¯, y ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x}}) \ cap ({\ overline {x}} ^ {2}, {\ overline {x}} {\ overline {z}}, {\ overline {y}})}; здесь (x ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x}})}равно p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}- первичный и (x ¯ 2, x ¯ z ¯, y ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x}} ^ {2}, {\ overline {x}} {\ overline {z}}, { \ overline {y}})}равно (x ¯, y ¯, z ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x}}, {\ overline {y}}, {\ overline {z}})}-первичный.
  - Идеал, радикал которого максимален, однако, является примарным.
  - Каждый идеал Q с радикалом P содержится в наименьшем P-примарном идеале: все элементы a такие, что ax ∈ Q для некоторого x ∉ P. Наименьший P-примарный идеал, содержащий P, называется n-й символической степенью матрицы P.
Если P - максимальный простой идеал, то любой идеал, содержащий степень P является P-примарным. Не все P-первичные идеалы должны быть степенями P; например, идеал (x, y) является P-примарным для идеала P = (x, y) в кольце k [x, y], но не является степенью P.
Если A является a нётерово кольцо и P простой идеал, затем ядро $A → AP {\ displaystyle A \ to A_ {P}}$ $от A \ до A_ {P}$ , отображение из A в локализация A в P, является пересечением всех P-примарных идеалов.
Конечное непустое произведение $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -первичные идеалы - это $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -primary, но бесконечное произведение $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -первичные идеалы не могут быть $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak p$ -primary; поскольку, например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ $\ mathfrak m$ , $∩ n>0 mn = 0 {\ displaystyle \ cap _ {n>0} {\ mathfrak {m}} ^ {n} = 0}$ $\cap _{n>0} {\ mathfrak {m}} ^ {n} = 0$ (теорема Крулля ), где каждое $mn {\ displaystyle {\ mathfrak {m }} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {n}}$ является $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -primary. Фактически, в нётеровом кольце непустое произведение $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -первичные идеалы $Q i {\ displaystyle Q_ {i}}$ $Q_ {i}$ is $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -первичный тогда и только тогда, когда существует какое-то целое число $n>0 {\ displaystyle n>0}$ $n>0$ таким образом, что $pn ⊂ ∩ i Q i {\ display {\ m athfrak {p}} ^ {n} \ subset \ cap _ {i} Q_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p }} ^ {n} \ subset \ cap _ {i} Q_ {i}}$ .

Сноски

^Если быть точным, обычно этот факт используется для доказательства теоремы.
^См. Ссылки на Чаттерс-Хаджарнавис, Гольдман, Гортон-Хизерли и Лезье-Круазо.
^Доказательство второй части см. В статье Фукса.
^Атья-Макдональд, следствие 10.21
^Бурбаки, гл. IV, § 2, упражнение 3. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbaki (help )

Ссылки

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introduction to Коммутативная алгебра, Westview Press, p. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
Бурбаки, коммутативная Альгебра.
Болтун, AW; Hajarnavis, CR (1971), «Некоммутативные кольца с примарным разложением», Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 22 : 73–83, doi : 10.1093 / qmath /22.1.73, ISSN 0033-5606, MR 0286822
Гольдман, Оскар (1969), «Кольца и модули частных», J. Algebra, 13 : 10–47, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90004-0, ISSN 0021-8693, MR 0245608
Гортон, Кристин; Хизерли, Генри (2006), «Обобщенные первичные кольца и идеалы», Math. Pannon., 17 (1): 17–28, ISSN 0865-2090, MR 2215638
О первичных идеалах, Ladislas Fuchs
Lesieur, L.; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne noncomutative (на французском), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, Париж, стр. 119, MR 0155861

Внешние ссылки

Основной идеал в Энциклопедии математики