Вероятность покера

В покере вероятность каждого типа 5-карточного hand можно вычислить, вычислив долю рук этого типа среди всех возможных рук.

• 1 История
• 2 Частота 5-карточных покерных комбинаций
• 3 Частота 7-карточных покерных комбинаций
• 4 Частота 5-карточных покерных комбинаций
• 5 Частота 7 -карточный лоуболл в покере
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Внешние ссылки

Идея вероятности и азартных игр возникла задолго до изобретения покера. Развитие теории вероятностей в конце 1400-х было связано с азартными играми; играя в игру с высокими ставками, игроки хотели знать, каковы будут шансы на победу. В 1494 году фра Лука Паччоли выпустил свою работу «Сумма арифметики, геометрия, пропорциональность», которая была первым письменным текстом о вероятности. По мотивам работ Паччоли Джироламо Кардано (1501–1576) продолжил развитие теории вероятностей. В его работе 1550 года под названием Liber de Ludo Aleae обсуждались концепции вероятности и их прямое отношение к азартным играм. Однако его работа не получила немедленного признания, так как была опубликована только после его смерти. Блез Паскаль (1623–1662) также внес свой вклад в теорию вероятностей. Его друг, шевалье де Мере, был заядлым игроком с целью разбогатеть на этом. Де Мере попробовал новый математический подход к азартной игре, но не получил желаемых результатов. Решив узнать, почему его стратегия не увенчалась успехом, он посоветовался с Паскалем. Работа Паскаля над этой проблемой положила начало важной переписке между ним и другим математиком Пьером де Ферма (1601-1665). Общаясь через письма, двое продолжали обмениваться своими идеями и мыслями. Эти взаимодействия привели к концепции базовой теории вероятностей. По сей день многие игроки по-прежнему полагаются на основные концепции теории вероятностей, чтобы принимать обоснованные решения во время игры.

A Диаграмма Венна, изображающая руки в покере и их шансы на типичном американском автомате 9/6 Jacks or Better

Следующая таблица перечисляет (абсолютную) частоту каждой руки, учитывая все комбинации из 5 карт , случайно взятые из полной колоды из 52 карт без замены. Подстановочные знаки не рассматриваются. На этой диаграмме:

• Разные руки - это количество различных способов нарисовать руку, не считая разных мастей.
• Частота - это количество способов нарисовать руку, включая одинаковые значения карт в разных мастях.
• Вероятность рисования данной руки рассчитывается путем деления количества способов рисования руки (Частота ) на общее количество 5-карточных рук (пробел ; $(52\; 5)\; =\; 2,\; 598,\; 960\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{52\; \backslash \; choose\; 5\}\; =\; 2,598,960\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$). Например, есть 4 различных способа получить флеш-рояль (по одному на каждую масть), поэтому вероятность составляет 4/2 598 960, или один из 649 740. Тогда можно было бы ожидать, что эта рука будет вытягиваться примерно один раз из каждых 649 740 розыгрышей, или почти 0,000154% случаев.
• Кумулятивная вероятность относится к вероятности получения руки такой же или лучшей, чем указанная. Например, вероятность выпадения тройки составляет приблизительно 2,11%, в то время как вероятность получения руки по крайней мере такой же хорошей, как тройка, составляет около 2,87%. Кумулятивная вероятность определяется путем сложения вероятности одной руки с вероятностями всех рук над ней.
• Odds определяется как отношение количества способов, не чтобы нарисовать руку, к количеству способов ее нарисовать. В статистике это называется шансом против . Например, с рояль-флешем есть 4 способа взять один и 2 598 956 способов взять что-нибудь еще, поэтому шансы против того, чтобы вытянуть флеш-рояль, равны 2 598 956: 4 или 649 739: 1. Формула для определения шансов также может быть записано как (1 / p) - 1: 1, где p - вышеупомянутая вероятность.
• Значения, указанные для Вероятность, Кумулятивная вероятность и Коэффициенты округлены для простоты; значения Distinct hands и Frequency являются точными.

Функция nCr на большинстве научных калькуляторов может использоваться для расчета частоты рук; ввод nCrс 52и 5, например, дает $(52\; 5)\; =\; 2,\; 598,\; 960\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\; \}\; \{52\; \backslash \; choose\; 5\}\; =\; 2\; 598\; 960\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$, как указано выше.

Рука	Четкие руки	Частота	Вероятность	Накопленная вероятность	Коэффициенты против	Математическое выражение абсолютной частоты
Роял флеш.	1	4	0,000154%	0,000154%	649,739: 1	$(4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\}$
Стрит-флеш (исключая королевский флэш).	9	36	0,00139%	0,0015%	72,192 1/3: 1	$(10\; 1)\; (\; 4\; 1)\; -\; (4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{10\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; -\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\}$
Одноклассники.	156	624	0,0240%	0,0256%	4,165: 1	$(13\; 1)\; (12\; 1)\; (4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{12\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\}$
Фулл-хаус.	156	3,744	0,1441%	0,17%	693,17 : 1	$(13\; 1)\; (4\; 3)\; (12\; 1)\; (4\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 3\}\; \{12\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 2\}\}$
Флеш (исключая флеш-рояль и стрит-флеш).	1,277	5,108	0,1965%	0,367%	508,8: 1	$(13\; 5)\; (4\; 1)\; -\; (10\; 1)\; (4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 5\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\; \}\; -\; \{10\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\}$
Стрит (исключая рояль-флеш и стрит-флеш).	10	10,200	0,3925%	0,76%	253,8: 1	$(10\; 1)\; (4\; 1)\; 5\; -\; (10\; 1)\; (4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{10\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; ^\; \{5\}\; -\; \{10\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\}$
Три одинаковых.	858	54,912	2,1128%	2,87%	46.33: 1	$(13\; 1)\; (4\; 3)\; (12\; 2)\; (4\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 3\}\; \{12\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; ^\; \{2\}\}$
Две пары.	858	123,552	4,7539%	7,62%	20.0: 1	$(13\; 2)\; (4\; 2)\; 2\; (11\; 1)\; (4\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 2\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 2\}\; ^\; \{2\}\; \{11\; \backslash \; choose\; 1\; \}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\}$
Одна пара.	2,860	1,098,240	42,2569%	49,9%	1,366: 1	$(13\; 1)\; (4\; 2)\; (12\; 3)\; (4\; 1)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; \{12\; \backslash \; выбрать\; 3\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; ^\; \{3\}\}$
Без пары / ​​Старшая карта.	1,277	1,302,540	50,1177%	100%	0,995: 1	$[(13\; 5)\; -\; 10]\; [(4\; 1)\; 5–4]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 5\}\; -10\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; ^\; \{5\}\; -4\; \backslash \; right]\}$
Итого	7,462	2,598,960	100%	---	0: 1	$(52\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{52\; \backslash \; choose\; 5\}\}$

Роял-флеш - это случай стрит-флеша. Его можно сформировать четырьмя способами (по одному для каждой масти), что дает вероятность 0,000154% и шансы 649,739: 1.

Когда стрит-флеш с тузом-лоу и стрит-флеш с тузом-лоу не учитываются, вероятности каждого из них уменьшаются: стриты и стрит-флеши становятся на 9/10 так же часто, как и в противном случае. 4 пропущенных стрит-флеша становятся флешами, а 1020 пропущенных стритов не становятся парой.

Обратите внимание, что, поскольку масти не имеют относительной ценности в покере, две руки могут считаться идентичными, если одна рука может быть преобразована в другую, меняя масти. Например, рука 3 ♣ 7 ♣ 8 ♣ Q ♠ A ♠ идентична 3 ♦ 7 ♦ 8 ♦ Q ♥ A ♥, поскольку заменяет все трефы в первой руке. с бубнами и всеми пиками с червой получается вторая рука. Таким образом, исключая идентичные руки, которые игнорируют относительные значения мастей, остается только 134 459 различных рук.

Количество различных покерных комбинаций еще меньше. Например, 3 ♣ 7 ♣ 8 ♣ Q ♠ A ♠ и 3 ♦ 7 ♣ 8 ♦ Q ♥ A ♥ не являются идентичными руками, если просто игнорировать назначения мастей, потому что в одной руке три масти, в то время как у другой руки только две - эта разница может повлиять на относительную ценность каждой руки, когда появятся новые карты. Однако, несмотря на то, что руки не идентичны с этой точки зрения, они все равно образуют эквивалентные руки в покере, потому что каждая рука представляет собой комбинацию со старшими картами A-Q-8-7-3 . В покере 7 462 различных рук.

В некоторых популярных разновидностях покера, таких как Техасский холдем, игрок использует лучшую пятикарточную покерную комбинацию из всех возможных. семь карт. Частоты вычисляются аналогично тому, как это показано для комбинации из 5 карт, за исключением того, что возникают дополнительные сложности из-за дополнительных двух карт в комбинации из 7 карт. Общее количество различных комбинаций из 7 карт: $(52\; 7)\; =\; 133,\; 784,\; 560\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{52\; \backslash \; choose\; 7\}\; =\; 133,784,560\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$. Примечательно, что вероятность того, что у вас будет рука без пары, меньше, чем вероятность руки с одной или двумя парами.

Стрит-флеш или рояль-флеш со старшим тузом встречается немного чаще (4324), чем более низкие стрит-флеши (по 4140 каждый), поскольку оставшиеся две карты могут иметь любую ценность; например, стрит-флеш со старшим королем не может иметь в руке туза его масти (так как в этом случае вместо него будет туз-старший).

Рука	Частота	Вероятность	Накопление	Коэффициенты против	Математическое выражение абсолютной частоты
Роял флеш.	4 324	0,0032%	0,0032%	30 939: 1	$(4\; 1)\; (47\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{47\; \backslash \; choose\; 2\}\}$
Стрит-флеш (исключая рояль-флеш).	37,260	0,0279%	0,0311%	3,589,6: 1	$(9\; 1)\; (4\; 1)\; (46\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{9\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{46\; \backslash \; choose\; 2\}\}$
Одноклассники.	224 848	0,168%	0,199%	594: 1	$(13\; 1)\; (48\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{48\; \backslash \; choose\; 3\}\}$
Фулл-хаус.	3 473 184	2,60%	2,80%	35,7: 1	$[(13\; 2)\; (4\; 3)\; 2\; (44\; 1)]\; +\; [(13\; 1)\; (12\; 2)\; (4\; 3)\; (4\; 2)\; 2]\; +\; [(13\; 1)\; (12\; 1)\; (11\; 2)\; (4\; 3)\; (4\; 2)\; (4\; 1)\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 2\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 3\}\; ^\; \{2\}\; \{44\; \backslash \; choose\; 1\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{12\; \backslash \; choose\; 2\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 3\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; r\; ight]\; +\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{12\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{11\; \backslash \; choose\; 2\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 3\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 2\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$
Флеш (исключая рояль-флеш и стрит-флеш).	4,047,644	3,03%	5,82%	32,1: 1	$[(4\; 1)\; \times \; [(13\; 7)\; -\; 217]]\; +\; [(4\; 1)\; \times \; [(13\; 6)\; -\; 71]\; \times \; 39]\; +\; [(4\; 1)\; \times \; [(13\; 5)\; -\; 10]\; \times \; (39\; 2)\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 7\}\; -217\; \backslash \; right]\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [\{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; выбрать\; 6\}\; -71\; \backslash \; вправо]\; \backslash \; раз\; 39\; \backslash \; вправо]\; +\; \backslash \; влево\; [\{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; \backslash \; раз\; \backslash \; влево\; [\{13\; \backslash \; выбрать\; 5\}\; -10\; \backslash \; вправо]\; \backslash \; раз\; \{39\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; \backslash \; вправо\; ]\}$
Стрит (исключая рояль-флеш и стрит-флеш).	6,180,020	4,62% ​​	10,4%	20,6: 1	$[\; 217\; \times \; [4\; 7\; -\; 756\; -\; 4\; -\; 84]]\; +\; [71\; \times \; 36\; \times \; 990]\; +\; [10\; \times \; 5\; \times \; 4\; \times \; [256\; -\; 3]\; +\; 10\; \times \; (5\; 2)\; \times \; 2268]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\; 217\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [4\; ^\; \{7\}\; -756-4-84\; \backslash \; right]\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [71\; \backslash \; times\; 36\; \backslash \; times\; 990\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [10\; \backslash \; times\; 5\; \backslash \; times\; 4\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [256-3\; \backslash \; right]\; +10\; \backslash \; times\; \{5\; \backslash \; choose\; 2\}\; \backslash \; times\; 2\; 268\; \backslash \; right]\}$
Тройка.	6,461,620	4,83%	15,3%	19,7: 1	$[(13\; 5)\; -\; 10]\; (5\; 1)\; (4\; 1)\; [(4\; 1)\; 4–3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 5\}\; -10\; \backslash \; right]\; \{5\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{4\; \backslash \; choose\; 1\}\; \backslash \; left\; [\{4\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; ^\; \{4\}\; -3\; \backslash \; right]\}$
Две пары.	31 433 400	23,5%	38,8%	3,26: 1	$[1277\; \times \; 10\; \times \; [6\; \times \; 62\; +\; 24\; \times \; 63\; +\; 6\; \times \; 64]]\; +\; [(13\; 3)\; (4\; 2)\; 3\; (40\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [1277\; \backslash \; times\; 10\; \backslash \; раз\; \backslash \; влево\; [6\; \backslash \; раз\; 62\; +\; 24\; \backslash \; раз\; 63\; +\; 6\; \backslash \; раз\; 64\; \backslash \; вправо]\; \backslash \; вправо]\; +\; \backslash \; влево\; [\{13\; \backslash \; выбрать\; 3\}\; \{4\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; ^\; \{3\}\; \{40\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; \backslash \; right]\}$
Одна пара.	58,627,800	43,8%	82,6%	1,28: 1	$[(13\; 6)\; -\; 71]\; \times \; 6\; \times \; 6\; \times \; 990\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{13\; \backslash \; choose\; 6\}\; -71\; \backslash \; right]\; \backslash \; times\; 6\; \backslash \; times\; 6\; \backslash \; times\; 990\}$
Без пары / ​​старшая карта.	23,294,460	17.4%	100%	4,74: 1	$1499\; \times \; [4\; 7\; -\; 756\; -\; 4\; -\; 84]\; \{\backslash \; displaystyle\; 1499\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [4\; ^\; \{7\; \}\; -756-4-84\; \backslash \; right]\}$
Итого	133,784,560	100%	---	0: 1	$(52\; 7)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{52\; \backslash \; choose\; 7\}\}$

(Приведенные частоты являются точными; вероятности и шансы являются приблизительными.)

Поскольку масти не имеют относительной ценности в покере, две руки могут считаться идентичными, если одна рука может быть преобразована в другую, меняя масти. Исключение идентичных рук, игнорирующих относительные значения мастей, оставляет 6 009 159 отдельных 7-карточных рук.

Количество различных 5-карточных покерных комбинаций, которые возможны из 7-ми карт, составляет 4824. Возможно, удивительно, что это меньше, чем количество 5-карточных покерных комбинаций из 5-ти карт, потому что некоторые 5-карточные комбинации невозможны с 7-ю картами (например, 7-хай).

В некоторых вариантах покера, называемых лоуболл, для определения выигрышной комбинации используется низкая рука. В большинстве вариантов лоубола туз считается самой младшей картой, а стриты и флеши не учитываются против младшей руки, поэтому самая младшая рука - это комбинация из пяти старших A-2-3-4-5, также называемое колесом. Вероятность рассчитывается на основе $(52\; 5)\; =\; 2,\; 598,\; 960\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{52\; \backslash \; choose\; 5\}\; =\; 2,598,960\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$, общее количество комбинаций из 5 карт. (Приведенные частоты являются точными; вероятности и шансы являются приблизительными.)

Рука	Четкие руки	Частота	Вероятность	Накопленная	Коэффициенты против
5- высокие	1	1,024	0.0394%	0.0394%	2,537,05: 1
6-высокие	5	5120	0,197%	0,236%	506,61: 1
7- высокий	15	15,360	0,591%	0,827%	168,20: 1
8- высокий	35	35,840	1,38%	2,21%	71,52: 1
9 -высокий	70	71,680	2,76%	4,96%	35,26: 1
10-высокий	126	129,024	4,96%	9,93%	19,14: 1
Джек-высокий	210	215,040	8,27%	18,2%	11,09: 1
Высшая королева	330	337,920	13,0%	31,2%	6,69: 1
Высшее королевство	495	506,880	19,5%	50,7%	4,13: 1
Всего	1,287	1,317,888	50,7%	50.7%	0.97: 1

Как видно из таблицы, чуть более половины случаев игрок получает руку, в которой нет пар, тройки или четверки. (50,7%)

Если тузы не младшие, просто поменяйте описание рук так, чтобы 6-хай заменяло 5-хай-хэнд, а хай-туз заменял хай-король как худшую руку.

В некоторых вариантах покера игрок использует лучшую комбинацию из пяти карт lowball, выбранную из семи карт. В большинстве вариантов лоубола туз считается самой младшей картой, а стриты и флеши не учитываются против младшей руки, поэтому самая младшая рука - это комбинация из пяти старших A-2-3-4-5, также называемое колесом. Вероятность рассчитывается на основе $(52\; 7)\; =\; 133,\; 784,\; 560\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{52\; \backslash \; choose\; 7\}\; =\; 133,784,560\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$, общее количество комбинаций из 7 карт.

Таблица не распространяется на комбинации из пяти карт, по крайней мере, с одной парой. Его «Тотал» представляет собой 95,4% случаев, когда игрок может выбрать младшую руку из 5 карт без пары.

Рука	Частота	Вероятность	Кумулятивная	Шансы против
5- высокие	781,824	0,584%	0,584%	170,12: 1
6- высокий	3,151,360	2,36%	2,94%	41,45: 1
7-высокий	7,426,560	5,55%	8,49%	17.01: 1
8-высокий	13,171,200	9,85%	18,3%	9,16: 1
9- высокий	19,174,400	14,3%	32,7%	5,98: 1
10- высокий	23,675,904	17,7%	50,4%	4,65: 1
Джек-высокий	24,837,120	18,6%	68.9%	4,39: 1
Королева	21,457,920	16,0%	85,0%	5,23: 1
Высокий король	13,939,200	10.4%	95.4%	8.60: 1
Итого	127,615,488	95,4%	95,4%	0,05: 1

(Приведены точные частоты; вероятности и шансы приблизительны.)

Если тузы не являются низкими, просто измените описания рук так, чтобы старшая 6 заменяла 5 старшую руку, а старшая рука туза заменяла старшую руку короля как худшую руку.

• Портал игр

• Вероятность
• Шансы
• Пробел
• Событие (теория вероятности)
• Биномиальный коэффициент
• Комбинация
• Перестановка
• Комбинаторная теория игр
• Сложность игры
• Теория множеств
• Игровая математика

• Математика и страница покера Брайана Альспаха
• MathWorld: Покер
• Вероятности в покере включая условные вычисления
• Многочисленные таблицы вероятностей покера
• 5, 6 и 7-карточные вероятности покера
• Коэффициенты покера для чайников
• Классы эквивалентности 7 462 и 4824
• Префлоп, постфлоп и вероятность собрать руку Шансы
• Таблица вероятностей шансов и исходов
• Калькулятор вероятности покера 5, 6 и 7 карт
• Визуальный калькулятор шансов