Порядок интегрирования (исчисление)

редактировать

порядок, в котором вычисляются кратные или повторяющиеся интегралы

В исчислении, замена порядка интегрирования - это методология преобразования повторных интегралов (или множественных интегралов с использованием теоремы Фубини ) функций в другие, надеюсь, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняется интегрирование. В некоторых случаях порядок интеграции может быть действительно изменен; в других - нет.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Связь с интегрированием по частям
3 Интегралы с главным значением
4 Основные теоремы
5 См. Также
6 Ссылки и примечания
7 Внешние ссылки

Постановка задачи

Задача для исследования - вычисление интеграла вида

∬ D f (x, y) dxdy, {\ displaystyle \ iint _ {D} \ f ( x, y) \ dx \, dy,}

\ iint _ {D} \ f ( x, y) \ dx \, dy,

где D - некоторая двумерная область в плоскости xy. Для некоторых функций f возможно прямое интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Сложность этого обмена заключается в определении изменения в описании области D.

Метод также применим к другим множественным интегралам.

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует При численном интегрировании двойной интеграл можно свести к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию делает числовую оценку намного проще и эффективнее.

Связь с интеграцией по частям

Рис. 1: Интегрирование по треугольной области может быть выполнено с использованием вертикальных или горизонтальных полос в качестве первого шага. Это вид сверху вниз по оси z на плоскость x-y. Наклонная линия - это кривая y = x.

Рассмотрим повторный интеграл

∫ az ∫ axh (y) dydx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy \, dx \}

\ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, час (y) \, dy \, dx \

которые мы будем писать, используя обычную в физике префиксную нотацию:

∫ azdx ∫ axh (y) dy {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy}

\ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x равен постоянным - полоса шириной dx сначала интегрируется по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется относительно переменной y по направлению y), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy по оси ординат. Это формирует трехмерный срез шириной dx вдоль оси x, от y = a до y = x вдоль оси y и в направлении z z = f (x, y). Обратите внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется только бесконечно мало на срезе. Мы можем считать, что x постоянный. Это интегрирование показано на левой панели рисунка 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h (y) интегрировать нелегко. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса шириной dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z, а затем результат интегрируется от y = a до y = z, в результате получается:

∫ azdx ∫ axh (y) dy = ∫ azh (y) dy ∫ yzdx = ∫ az (z - y) h (y) dy. {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \ dx \ \ int _ {a} ^ {x} \ h (y) \ dy \ = \ int _ {a} ^ {z} \ h (y) \ dy \ \ int _ {y} ^ {z} \ dx = \ int _ {a} ^ {z} \ \ left (zy \ right) h (y) \, dy \.}

\ int _ {a} ^ {z} \ dx \ \ int _ {a} ^ {x} \ h (y) \ dy \ = \ int _ {a} ^ {z} \ h (y) \ dy \ \ \ int _ {y} ^ {z} \ dx = \ int _ {a} ^ {z} \ \ left (zy \ right) час (y) \, dy \.

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям, как указано ниже:

∫ azf (x) g ′ (x) dx = [f (x) g (x)] аз - ∫ azf ′ (Икс) г (Икс) dx {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x) \, dx = \ left [f (x) g (x) \ right] _ {a} ^ {z} - \ int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x) \, dx \!}

\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx\!

Заменить:

f (x) = ∫ axh (y) dy и g ′ (x) = 1. {\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} \ h (y) \, dy {\ text {and}} g '(x) = 1 \.}

f(x)=\int _{a}^{x}\ h(y)\,dy{\text{ and }}g'(x)=1\.

Что дает результат.

Интегралы главного значения

Для применения к интегралам главного значения см. Уиттакер и Ватсон, Гахов, Лу или Цвиллинджер. См. Также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана в Оболашвили. Пример, в котором порядок интегрирования не может быть изменен, дал Канвал:

1 (2 π i) 2 ∫ L ∗ d τ 1 τ 1 - t ∫ L ∗ g (τ) d τ τ - τ 1 = 1 4 г (т), {\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d {\ tau} _ {1 }} {{\ tau} _ {1} -t}} \ \ int _ {L} ^ {*} \ g (\ tau) {\ frac {d \ tau} {\ tau - \ tau _ {1} }} = {\ frac {1} {4}} g (t) \,}

{\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d {\ tau} _ {1}} {{\ tau} _ {1} -t}} \ \ int _ {L} ^ {*} \ g (\ tau) {\ frac {d \ tau} {\ tau - \ tau _ {1}}} = {\ frac {1} {4}} g ( t) \,

, а:

1 (2 π i) 2 ∫ L ∗ g (τ) d τ (∫ L ∗ d τ 1 (τ 1 - t) (τ - τ 1)) = 0. {\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ left (\ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ left (\ tau _ {1} -t \ right) \ left (\ tau - \ tau _ {1} \ right)}} \ right) = 0 \.}

{\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ left (\ int _ { L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ left (\ tau _ {1} -t \ right) \ left (\ tau - \ tau _ {1} \ right)}} \ right) = 0 \.

Вторая форма вычисляется с использованием разложения частичной дроби и вычисления с использованием формулы Сохоцкого – Племеля :

∫ L ∗ d τ 1 τ 1 - t = ∫ L ∗ d τ 1 τ 1 - t = π i. {\ displaystyle \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ pi \ i \.}

\ int _ { L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1 }} {\ tau _ {1} -t}} = \ pi \ i \.

Обозначение $∫ L ∗ {\ displaystyle \ int _ {L} ^ { *}}$ $\ int _ {L} ^ {*}$ указывает главное значение Коши. См. Kanwal.

Основные теоремы

Обсуждение основы для изменения порядка интегрирования можно найти в книге «Анализ Фурье» Т.В. Кёрнер. Он вводит свое обсуждение примером, в котором перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, поскольку условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

∫ 1 ∞ x 2 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d y = [y x 2 + y 2] 1 ∞ = - 1 1 + x 2 [x ≥ 1]. {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ { 2}}} \ dy = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {1} ^ {\ infty} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \ \ left [x \ geq 1 \ right] \.}

\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {1} ^ {\ infty} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \ \ left [x \ geq 1 \ right] \.

∫ 1 ∞ (∫ 1 ∞ x 2 - y 2 (x 2 + y 2) 2 dy) dx = - π 4. {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy \ right) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} \.}

\ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy \ right) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} \.

∫ 1 ∞ (∫ 1 ∞ Икс 2 - Y 2 (Икс 2 + Y 2) 2 dx) dy = π 4. {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dx \ right) \ dy = {\ frac {\ pi} {4}} \.}

\ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dx \ right) \ dy = {\ frac {\ pi} {4}} \.

Две основные теоремы, определяющие допустимость ниже приведены цитаты из Чаудри и Зубайра:

Теорема I - Пусть f (x, y) - непрерывная функция знака константы, определенная для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, and let the integrals

J (y): = ∫ a ∞ f (Икс, Y) dx {\ Displaystyle J (Y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx}

${\ displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx}$ и $J ∗ (x) Знак равно ∫ c ∞ е (x, y) dy {\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy}$ ${\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy}$ рассматривается как функции соответствующего параметра будут, соответственно, непрерывными для c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Then if at least one of the iterated integrals $∫ c ∞ (∫ a ∞ f (x, y) dx) dy {\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$ ${\ displaystyle \ int _ {c } ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$ и $∫ a ∞ (∫ c ∞ f (x, y) dy) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ { c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$ сходится, другой интеграл также сходится, и их значения совпадают.
Теорема II - Пусть f (x, y) непрерывно для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, and let the integrals
$J (y): = ∫ a ∞ f (x, y) dx {\ displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx}$ ${\ displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx}$ и $J ∗ (x) = ∫ c ∞ f (x, y) dy {\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy}$ ${\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy}$ соответственно равномерно сходятся на каждом конечном интервале c ≤ y < C and on every finite interval a ≤ x < A. Then if at least one of the iterated integrals $∫ c ∞ (∫ a ∞ | е (x, y) | dx) dy {\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ | f (x, \ y) | dx \ right) dy}$ ${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ | f (x, \ y) | dx \ right) dy}$ и $∫ a ∞ (∫ c ∞ | f (x, y) | dy) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ { \ infty} \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ | f (x, \ y) | dy \ right) dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ | f (x, \ y) | dy \ right) dx}$ сходится, повторные интегралы $∫ c ∞ (∫ a ∞ е (x, y) dx) dy {\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$ ${\ displaystyle \ int _ {c } ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$ и $∫ a ∞ (∫ c ∞ f (x, y) dy) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ { c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$ также сходятся и их значения равны.
Самая важная теорема для приложений цитируется из Проттера и Морри:

Теорема - Предположим, что F - это область, заданная как $F = {(x, y): a ≤ x ≤ б, п (Икс) ≤ Y ≤ Q (Икс)} {\ Displaystyle F = \ влево \ {(х, \ у): а \ Leq х \ Leq b, р (х) \ Leq Y \ Leq q ( x) \ right \} \,}$ $F = \ left \ {(x, \ y): a \ leq x \ leq b, п (x) \ Leq y \ leq q (x) \ right \} \,$ где p и q непрерывны, а p (x) ≤ q (x) для a ≤ x ≤ b. Предположим, что f (x, y) непрерывна на F. Тогда
$∬ F f (x, y) d A = ∫ a b ∫ p (x) q (x) f (x, y) d y d x. {\ displaystyle \ iint _ {F} f (x, y) dA = \ int _ {a} ^ {b} \ \ int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, \ y) \, dy \ dx \.}$ $\ iint _ {F} f (x, y) dA = \ int _ {a} ^ {b} \ \ int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, \ y) \, dy \ dx \.$ Соответствующий результат верен, если замкнутая область F имеет представление $F = {(x, y): c ≤ y ≤ d, r (y) ≤ x ≤ s (Y)} {\ Displaystyle F = \ влево \ {(х, \ y): с \ Leq Y \ Leq d, \ r (y) \ Leq x \ Leq s (y) \ right \}}$ $F = \ left \ {(x, \ y): c \ leq y \ leq d, \ r (y) \ leq x \ leq s (y) \ right \}$ где r (y) ≤ s (y) для c ≤ y ≤ d. В таком случае
$∬ F f (x, y) d A = ∫ c d ∫ r (y) s (y) f (x, y) d x d y. {\ Displaystyle \ iint _ {F} е (х, \ y) dA = \ int _ {c} ^ {d} \ \ int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, \ y) \, dx \ dy \.}$ $\ iint _ {F} f (x, \ y) dA = \ int _ {c} ^ {d} \ \ int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, \ y) \, dx \ dy \.$
Другими словами, оба повторных интеграла, когда они вычислимы, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.
См. Также
Теорема Фубини
Ссылки и примечания
Внешние ссылки
Онлайн-математические заметки Пола: Исчисление III
Хорошие трехмерные изображения, показывающие вычисление «двойных интегралов» с использованием повторных интегралы, факультет математики Университета штата Орегон.
Задачи по исчислению UCLA Рона Мича Более сложные примеры изменения порядка интегрирования (см. задачи 33, 35, 37, 39, 41 и 43)
Веб-сайт Университета Миннесоты Дуэйна Никампа