Octomino

Octomino (или 8-omino ) - это полимино порядка 8, то есть многоугольник в плоскости, состоящий из 8 равных по размеру квадратов, соединенных ребром к край. Когда вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 369 различных свободных октамино. Когда отражения считаются отчетливыми, получается 704 односторонних октимино. Когда вращения также считаются отдельными, имеется 2725 фиксированных октимино.

На рисунке показаны все возможные свободные октамино, окрашенные в соответствии с их группами симметрии :

• 316 октамино (окрашенными серый) не имеют симметрии. Их группа симметрии состоит только из идентичности отображения.
• . 23 октамино (окрашены в красный цвет) имеют ось симметрии отражения , выровненную с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и отражения в линии, параллельной сторонам квадратов.

• 5 октимино (окрашены в зеленый цвет) имеют ось симметрии отражения под углом 45 ° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и диагонального отражения.

• 18 октамино (окрашены в синий цвет) имеют точечную симметрию, также известную как вращательная симметрия порядка 2. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичность и поворот на 180 °.

• 1 октомино (окрашено желтым цветом) имеет вращательную симметрию порядка 4. Его группа симметрии состоит из четырех элементов, идентичности и поворота на 90 °, 180 ° и 270 °.

• 4 октамино ( окрашены в фиолетовый цвет) имеют две оси симметрии отражения, обе совпадающие с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: идентичности, двух отражений и поворота на 180 °. Это диэдральная группа порядка 2, также известная как группа Клейна с четырьмя группами.
• 1 (окрашена в оранжевый цвет), имеет две оси симметрии отражения, обе выровненные с диагоналями. Его группа симметрии также является двугранной группой порядка 2 с четырьмя элементами.
• 1 октомино (окрашено сине-зеленым цветом) имеет четыре оси симметрии отражения, выровненные с линиями сетки и диагоналями, и вращательную симметрию порядка 4 Его группа симметрии, группа диэдра порядка 4, состоит из восьми элементов.

Набор октамино - это самый низкий набор полимино, в котором реализуются все восемь возможных симметрий. Следующим более высоким набором с этим свойством является набор додекомино (12-омино).

Если отражения октомино считаются отдельными, как в случае односторонних октимино, то первая, четвертая и пятая категории выше вдвое больше, что дает дополнительные 335 октамино, всего 704. Если вращения также считаются отдельными, то октамино из первой категории засчитываются восьмикратно, из следующих трех категорий засчитываются четырехкратно, а из категорий от пятой до семи посчитайте дважды, а последнее октомино считается только один раз. В результате получается 316 × 8 + (23 + 5 + 18) × 4 + (1 + 4 + 1) × 2 + 1 = 2,725 фиксированных октимино.

Из 369 бесплатных октимино 320 удовлетворяют критерию Конвея, а еще 23 могут образовывать заплатку, удовлетворяющую этому критерию. Остальные 26 октимино (включая 6 с отверстиями) не могут составить мозаику плоскости.

Поскольку 6 свободных октимино имеют отверстие, легко доказать, что полный набор октамино не может быть упакованы в прямоугольник, и что не все октамино можно выложить плиткой.