Обычное расширение

редактировать

В абстрактной алгебре нормальное расширение - это расширение алгебраического поля L / K, для которого каждый многочлен, который неприводим над K, либо не имеет корня в L, либо разбивается на линейные множители в L. Бурбаки называет такое расширение квази расширением Галуа.

Содержание

1 Определение
2 Эквивалентные свойства
3 Другие свойства
4 Примеры и контрпримеры
5 Нормальное замыкание
6 См. Также
7 Ссылки

Определение

Расширение алгебраического поля L / K является нормальным (мы также говорим, что L нормален над K), если каждый неприводимый многочлен над K, имеющий хотя бы один корень в L расщепляется над L. Другими словами, если α ∈ L, то все сопрягает α над K (т. е. все корни минимального многочлена α над K) принадлежат L.

Эквивалентные свойства

Нормальность L / K эквивалентна любому из следующих свойств. Пусть K - алгебраическое замыкание поля K, содержащее L.

Любое вложение σ из L в K, ограничивающее тождество на K, удовлетворяет равенству σ (L) = L (σ является автоморфизмом группы L над K.)
Каждый неприводимый многочлен в K [X], имеющий один корень в L, имеет все корни в L, то есть он разлагается на линейные множители в L [X]. (Говорят, что многочлен распадается в L.)

Если L - конечное расширение K, которое отделимо (например, это автоматически выполняется, если K конечно или имеет нулевую характеристику), то следующее свойство также эквивалентно:

Существует неприводимый многочлен, корни которого вместе с элементами K порождают L. (Говорят, что L является полем расщепления для многочлена.)

Другие свойства

Пусть L - расширение поля K. Тогда:

Если L - нормальное расширение поля K и если E - промежуточное расширение (т. Е. L ⊃ E ⊃ K), то L является нормальным расширением E.
Если E и F являются нормальными расширениями K, содержащимися в L, то compositum EF и E ∩ F также являются нормальными расширениями K.

Примеры и контрпримеры

Например, $Q (2) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ $\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})$ является нормальным расширением $Q, {\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ , поскольку это поле разделения $x 2–2. {\ Displaystyle x ^ { 2} -2.}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2.}$ С другой стороны, $Q (2 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ не является нормальным расширением $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , поскольку неприводимый многочлен $x 3 - 2 {\ displaystyle x ^ {3} -2 }$ ${\ displaystyle x ^ {3} -2}$ имеет один корень (а именно, $2 3 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ sqrt [ {3}] {2}}$ ), но не все из них ( у него нет невещественных кубических корней из 2). Напомним, что поле $Q ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ из алгебраических чисел является алгебраическим замыканием $Q, { \ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ т. е. содержит $Q (2 3). {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb { Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$ Поскольку,

Q (2 3) = {a + b 2 3 + c 4 3 ∈ Q ¯ | a, b, c ∈ Q} {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt [{3}] { 2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}} \, \, \ right | \, \, a, b, c \ in \ mathbb {Q} \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}} } \, \, \ right | \, \, a, b, c \ in \ mathbb {Q} \ right \}}

и, если ω - примитивный кубический корень из единицы, то отображение

{σ: Q (2 3) ⟶ Q ¯ a + b 2 3 + c 4 3 ⟼ a + b ω 2 3 + c ω 2 4 3 {\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) \ longrightarrow {\ overline {\ mathbb {Q}}} \\ a + b {\ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ longmapsto a + b \ omega {\ sqrt [{3 }] {2}} + c \ omega ^ {2} {\ sqrt [{3}] {4}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: \ mathbb { Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) \ longrightarrow {\ overline {\ mathbb {Q}}} \\ a + b {\ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ longmapsto a + b \ omega {\ sqrt [{3}] {2}} + c \ omega ^ {2} {\ sqrt [{3}] {4}} \ конец {случаи}}}

- это вложение $Q (2 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ в $Q ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ , ограничение которого на $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ является идентификатором. Однако σ не является автоморфизмом $Q (2 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ .

Для любого простого числа p расширение $Q (2 p, ζ p) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {2}}, \ zeta _ {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {2}}, \ zeta _ {p})}$ нормально по степени р (р - 1). Это поле разделения x - 2. Здесь $ζ p {\ displaystyle \ zeta _ {p}}$ $\ zeta _ {p}$ обозначает любой pth примитивный корень из единицы. Поле $Q (2 3, ζ 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ zeta _ {3})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q } ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ zeta _ {3})}$ является нормальное закрытие (см. ниже) $Q (2 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$ .

Нормальное закрытие

Если K - поле и L - алгебраическое расширение K, то существует некоторое алгебраическое расширение M поля L такое, что M - нормальное расширение K. Кроме того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение которое является минимальным, т. е. единственным подполем M, содержащим L и являющимся нормальным расширением K, является само M. Это расширение называется нормальным замыканием расширения L поля K.

Если L является конечным расширением K, то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

См. Также

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Якобсон, Натан (1989), Основы алгебры II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787