Мнемоника в тригонометрии

редактировать

Обзор мнемоники в тригонометрии

В тригонометрии обычно используется мнемоника, помогающая запомнить тригонометрические тождества и отношения между различными тригонометрическими функциями.

Содержание

1 SOH-CAH-TOA
2 Все учащиеся изучают исчисление
3 Синусы и косинусы особых углов
4 Шестиугольная диаграмма
5 См. Также
6 Ссылки

SOH-CAH-TOA

Мнемоника изображения, помогающая запомнить отношения сторон прямоугольного треугольника

Отношения синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их в виде цепочек букв, например SOH-CAH-TOA на английском языке:

Sine = O pposite ÷ H ypotenuse

Cosine = A djacent ÷ H ypotenuse

Tangent = O pposite ÷ A djacent

Один из способов запомнить буквы - это произнести их фонетически (например, ).

Другой метод - преобразовать буквы в предложение, например «Некоторые старые лошади счастливо жуют яблоки на протяжении всей старости», «Какой-то старый хиппи поймал другого хиппи, попавшего под кислоту» или «Изучение домашней работы всегда может Помогите достичь успеха ». Порядок может быть изменен, как в «Томми на своем корабле поймал селедку» (касательная, синус, косинус) или «Полковник старой армии и его сын часто икоты» (касательная, косинус, синус). Сообщества в китайских кругах могут запомнить его как TOA-CAH-SOH, что также означает «широконогая женщина» (кит. : 大腳 <; Pe̍h-ōe-jī : tōa-kha-só) в Hokkien.

Альтернативный способ запомнить буквы Sin, Cos и Tan - это запоминать бессмысленные слоги Oh, Ah, Oh-Ah (т.е. ) для O / H, A / H, O / A. Или, чтобы запомнить все шесть функций, Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Csc, запомните слоги O / H, A / H, Oh / Ah, Ah / Oh, H / A, H / O (т.е. ). Более длинные мнемоники для этих букв включают «Оскар держал Энджи» и «У Оскара была куча яблок».

Все учащиеся берут математику

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте.

Все S tudents T ake C alculus - это мнемоника для знака каждой тригонометрической функции в каждом квадранте из самолета. Буквы ASTC обозначают, какие тригонометрические функции являются положительными, начиная с правого верхнего 1-го квадранта и перемещаясь против часовой стрелки через квадранты 2-4.

Квадрант I (углы от 0 до 90 градусов или от 0 до π / 2 радиан): Все тригонометрические функции положительны в этом квадранте.
Квадрант II (углы от 90 до 180 градусов или от π / 2 до π радиан): S функции косеканса и косеканса положительны в этом квадранте.
Квадрант III (углы от 180 до 270 градусов или π до 3π / 2 радиан): T функции угла и котангенса равны
Квадрант IV (углы от 270 до 360 градусов или от 3π / 2 до 2π радиан): C функции осинуса и секанса положительны в этом квадранте.

Другие мнемоники включают:

Все S tations To Central
All S illy T om C ats
Add S Угар To Cофициант
Все Sнаука Т читатели (являются) С рази
ASмагазин Т буровая установка C девушка

Другое просто Мнемоника запоминания - это законы ACTS и CAST . У них есть недостатки, заключающиеся в том, что они не переходят последовательно от квадрантов 1 к 4 и не усиливают соглашение о нумерации квадрантов.

CAST все еще идет против часовой стрелки, но начинается в квадранте 4, проходя через квадранты 4, 1, 2, затем 3.
ACTS все еще начинается в квадранте 1, но идет по часовой стрелке, проходя через квадранты 1, 4, 3, затем 2.

Синусы и косинусы особых углов

Синусы и косинусы общих углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 ° следуют шаблону $n 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {n}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {n}} {2}}}$ с n = 0, 1,..., 4 для синуса и n = 4, 3,..., 0 для косинуса, соответственно:

$θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$	$sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta}$ $\ sin \ theta$	$cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta}$ $\ cos \ theta$	$tan ⁡ θ = sin ⁡ θ / соз ⁡ θ {\ displaystyle \ tan \ theta = \ sin \ theta {\ Big /} \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = \ sin \ theta {\ Big /} \ cos \ theta}$
0 ° = 0 радиан	$0 2 = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {blue} {0}}}} {2}} = \; \; 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\) цвет {синий} {0}}}} {2}} = \; \; 0}$	$4 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {красный) } {4}}}} {2}} = \; \; 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {красный} {4}}}} {2}} = \; \; 1}$	$0/1 = 0 {\ displaystyle \; \; 0 \; \; {\ Big /} \; \; 1 \; \; = \; \; 0}$ ${\ displaystyle \; \; 0 \; \; {\ Big /} \; \; 1 \; \; = \; \; 0}$
30 ° = π / 6 радиан	$1 2 = 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ m athbf {\ color {бирюзовый} {1}}}} {2}} = \; \, {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {teal} {1 }}}} {2}} = \; \, {\ frac {1} {2}}}$	$3 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf) {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$	$1 2/3 2 = 1 3 {\ displaystyle \; \, {\ frac {1} {2}} \; {\ Big /} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$ ${\ displaystyle \; \, {\ frac {1} {2}} \; {\ Big /} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$
45 ° = π / 4 радиана	$2 2 = 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2 }} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	$2 2 = 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {green} {2}}}} {2 }} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$	$1 2/1 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ Big /} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \; \; 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ Big /} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \; \; 1}$
60 ° = π / 3 радиана	$3 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {оранжевый} {3}}}} {2}}}$	$1 2 = 1 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {teal} {1}}}} {2}} = \; {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {бирюзовый} {1}}}} {2 }} = \; {\ frac {1} {2}}}$	$3 2/1 2 = 3 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ Big /} \; {\ frac {1} {2}} \; \, = {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ Big /} \; {\ frac {1} {2}} \; \, = {\ sqrt {3}}}$
90 ° = π / 2 радиана	$4 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {red} {4}}}} {2}} = \; \, 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {красный} {4}}}} {2}} = \; \, 1}$	$0 2 = 0 {\ displaystyle {\ frac { \ sqrt {\ mathbf {\ color {blue} {0}}}} {2}} = \; \, 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ mathbf {\ color {blue} {0}}}} {2}} = \; \, 0}$	$1/0 = {\ displaystyle \; \; 1 \; \; {\ Big /} \; \; 0 \; \; =}$ ${\ displaystyle \ ; \; 1 \; \; {\ Big /} \; \; 0 \; \; =}$ undefined

Шестиугольная диаграмма

Тригонометрическая мнемоника идентичностей

Другая мнемоника позволяет быстро считать все основные идентичности. Хотя словесная часть мнемоники, используемой для построения диаграммы, не подходит для английского языка, саму диаграмму довольно легко восстановить, немного подумав. Функции без «co» отображаются слева, ко-функции справа, 1 идет посередине, треугольники указывают вниз, и весь рисунок выглядит как убежище от радиоактивных осадков трилистник.

Начиная с любого угла шестиугольника:

Начальный угол равен единице над противоположным углом.
По часовой стрелке или против часовой стрелки начальный угол равен следующему углу, деленному на угол после этого.
Начальный угол равен произведению двух его ближайших соседей.
Сумма квадратов каждого элемента в верхней части треугольника равна квадрату элемента внизу. Это тригонометрические тождества Пифагора :

sin 2 ⁡ A + cos 2 ⁡ A = 1 {\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ cos ^ {2} A = 1 \}

\ sin ^ 2 A + \ cos ^ 2 A = 1 \

1 + cot 2 ⁡ A знак равно csc 2 ⁡ A {\ displaystyle 1+ \ cot ^ {2} A = \ csc ^ {2} A \}

1+ \ cot ^ {2} A = \ csc ^ { 2} A \

tan 2 ⁡ A + 1 = sec 2 ⁡ A {\ displaystyle \ tan ^ {2} A + 1 = \ sec ^ {2} A \}

\ tan ^ {2} A + 1 = \ sec ^ {2} A \

Помимо последнего маркера, в этой таблице приведены конкретные значения для каждого идентификатора:

Начальная функция	... равно единице по отношению к противоположному	... равняется первому по второму, по часовой стрелке	... равняется первому по второму, по часовой стрелке	... равно произведению двух ближайших соседей
$загар ⁡ A {\ displaystyle \ tan A}$ ${\ displaystyle \ tan A}$	$= 1 / cot ⁡ A {\ displaystyle = {1 / \ cot A}}$ ${\ displaystyle = {1 / \ cot A}}$	$= sin ⁡ A / соз ⁡ A {\ displaystyle = {\ sin A / \ cos A}}$ ${\ displaystyle = {\ sin A / \ cos A} }$	$= sec ⁡ A / csc ⁡ A {\ displaystyle = {\ sec A / \ csc A}}$ ${\ displaystyle = {\ sec A / \ csc A}}$	$= sin ⁡ A ⋅ sec ⁡ A {\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ sec A}$ ${\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ sec A}$
$грех ⁡ A {\ displaystyle \ sin A}$ $\ sin A$	$= 1 / csc ⁡ A {\ displaystyle = {1 / \ csc A }}$ ${\ displaystyle = {1 / \ csc A }}$	$= cos ⁡ A / кроватка ⁡ A {\ dis playstyle = {\ cos A / \ cot A}}$ ${\ displaystyle = {\ cos A / \ cot A}}$	$= tan ⁡ A / sec ⁡ A {\ displaystyle = {\ tan A / \ sec A}}$ ${\ displaystyle = {\ tan A / \ sec A}}$	$= cos ⁡ A ⋅ tan ⁡ A {\ displaystyle = \ cos A \ cdot \ tan A}$ ${\ displaystyle = \ cos A \ cdot \ tan A}$
$cos ⁡ A {\ displaystyle \ cos A}$ $\ cos A$	$= 1 / сек ⁡ A {\ displaystyle = {1 / \ sec A}}$ ${\ displaystyle = {1 / \ sec A}}$	$= детская кроватка ⁡ A / csc ⁡ A {\ displaystyle = {\ cot A / \ csc A}}$ ${\ displaystyle = {\ cot A / \ csc A}}$	$= грех ⁡ A / загар ⁡ A {\ displaystyle = {\ sin A / \ tan A}}$ ${\ displaystyle = {\ sin A / \ tan A}}$	$= грех ⁡ A ⋅ детская кроватка ⁡ A {\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ cot A}$ ${\ displaystyle = \ sin A \ cdot \ cot A}$
$детская кроватка ⁡ A {\ displaystyle \ cot A}$ ${\ displaystyle \ cot A}$	$= 1 / tan ⁡ A {\ displaystyle = {1 / \ tan A}}$ ${\ displaystyle = {1 / \ tan A}}$	$= csc ⁡ A / сек ⁡ A {\ displaystyle = {\ csc A / \ sec A}}$ ${\ displaystyle = {\ csc A / \ sec A}}$	$= cos ⁡ A / sin ⁡ A {\ displaystyle = {\ cos A / \ sin A}}$ ${\ displaystyle = {\ cos A / \ sin A}}$	$= соз ⁡ A ⋅ csc ⁡ A {\ displaystyle = \ cos A \ cdot \ csc A}$ ${\ displaystyle = \ cos A \ cdot \ csc A}$
$csc ⁡ A {\ displaystyle \ csc A}$ ${\ displaystyle \ csc A}$	$= 1 / sin ⁡ A { \ displaystyle = {1 / \ sin A}}$ ${\ displaystyle = {1 / \ sin A}}$	$= sec ⁡ A / tan ⁡ A {\ displaystyle = {\ sec A / \ tan A}}$ ${\ displaystyle = {\ sec A / \ tan A}}$	$= кроватка ⁡ A / cos ⁡ A {\ displaystyle = {\ детская кроватка A / \ соз A}}$ ${\ displaystyle = {\ cot A / \ cos A}}$	$= детская кроватка ⁡ A ⋅ сек ⁡ A {\ displaystyle = \ cot A \ cdot \ sec A}$ ${\ displaystyle = \ cot A \ cdot \ sec A}$
$sec ⁡ A {\ displaystyle \ sec A}$ ${\ displaystyle \ sec A }$	$= 1 / соз ⁡ А {\ Displaystyle = {1 / \ соз A}}$ ${\ displaystyle = {1 / \ cos A}}$	$= загар ⁡ A / грех ⁡ A {\ displaystyle = {\ tan A / \ sin A}}$ ${\ displaystyle = {\ загар A / \ грех A}}$	$= csc ⁡ A / детская кроватка ⁡ A {\ displaystyle = {\ csc A / \ cot A}}$ ${\ displaystyle = {\ csc A / \ cot A}}$	$= csc ⁡ A ⋅ tan ⁡ A {\ displaystyle = \ csc A \ cdot \ tan A}$ ${\ displaystyle = \ csc A \ cdot \ tan A}$

См. также

Список тригонометрических идентификаторов

Ссылки