Ляпуновское измерение

В математике динамических систем, понятие размерности Ляпунова была предложена Капланом и Yorke для оценки хаусдорфову из аттракторов. В дальнейшем концепция была развита и строго обоснована в ряде работ, и в настоящее время используются различные подходы к определению ляпуновской размерности. Отметим, что аттракторы с нецелой хаусдорфовой размерностью называются странными аттракторами. Поскольку прямое численное вычисление хаусдорфовой размерности аттракторов часто представляет собой проблему большой численной сложности, оценки через ляпуновскую размерность получили широкое распространение. Размерность Ляпунова была названа в честь русского математика Александра Ляпунова из-за тесной связи с показателями Ляпунова.

• 1 Определения
  • 1.1 Определение через конечную временную ляпуновскую размерность
    • 1.1.1 Точная размерность Ляпунова
  • 1.2 Определение с помощью подхода статистической физики и эргодичности
• 2 ссылки

Рассмотрим динамическую систему, в которой находится оператор сдвига вдоль решений:, из ОДУ, или разностного уравнения, с непрерывно дифференцируемой вектор-функции. Тогда - фундаментальная матрица решений линеаризованной системы и обозначим через, сингулярные значения относительно их алгебраической кратности, упорядоченные по убыванию для любых и. ${\ displaystyle {\ big (} \ {\ varphi ^ {t} \} _ {t \ geq 0}, (U \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}, \ | \ cdot \ |) {\ big)}}$${\ displaystyle \ varphi ^ {t}}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {т} (и_ {0}) = и (т, и_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ dot {u}} = f ({u})}$${\ Displaystyle т \ leq 0}$${\ Displaystyle {и} (т + 1) = е ({и} (т))}$${\ displaystyle t = 0,1,...}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle D \ varphi ^ {т} (и)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} (t, u) = \ sigma _ {i} (D \ varphi ^ {t} (u)), \ i = 1... n}$ ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle t}$

Определение через конечную временную ляпуновскую размерность

Концепция конечной ляпуновской размерности и связанное с ней определение ляпуновской размерности, развитые в работах Н. Кузнецова, удобны для численных экспериментов, в которых можно наблюдать только конечное время. Рассмотрим аналог формулы Каплана – Йорка для конечных показателей Ляпунова:

${\ displaystyle d _ {\ rm {KY}} (\ {{\ rm {LE}} _ {i} (t, u) \} _ {i = 1} ^ {n}) = j (t, u) + {\ frac {{\ rm {LE}} _ {1} (t, u) + \ cdots + {\ rm {LE}} _ {j (t, u)} (t, u)} {| { \ rm {LE}} _ {j (t, u) +1} (t, u) |}},}$

${\ Displaystyle J (т, и) = \ макс \ {м: \ сумма _ {я = 1} ^ {м} {\ rm {LE}} _ {я} (т, и) \ geq 0 \}, }$

относительно упорядоченного множества конечных показателей Ляпунова в точке. Конечное время ляпуновская размерность динамической системы относительно инвариантного множества определяется следующим образом${\ displaystyle \ {{\ rm {LE}} _ {i} (t, u) \} _ {i = 1} ^ {n} = \ {{\ frac {1} {t}} \ ln \ sigma _ {я} (т, и) \} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ dim _ {\ rm {L}} (t, K) = \ sup \ limits _ {u \ in K} d _ {\ rm {KY}} (\ {{\ rm {LE}} _ { i} (t, u) \} _ {i = 1} ^ {n}).}$

При таком подходе использование аналога формулы Каплан-Йорке строго оправданно по теореме Дуади-Oesterle, что доказывает, что при любом фиксированных к конечно-временном измерении Ляпунова для замкнутого ограниченного множества инвариантного является верхней оценкой хаусдорфовым: ${\ displaystyle tgt; 0}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ dim _ {\ rm {H}} K \ leq \ dim _ {\ rm {L}} (t, K).}$

В поисках лучшей такой оценки, размерность Ляпунова определяется следующим образом: ${\ displaystyle \ inf _ {tgt; 0} \ dim _ {\ rm {L}} (t, K) = \ liminf _ {t \ to + \ infty} \ sup \ limits _ {u \ in K} \ dim _ {\ rm {L}} (t, u)}$

${\ displaystyle \ dim _ {\ rm {L}} K = \ liminf _ {t \ to + \ infty} \ sup \ limits _ {u \ in K} \ dim _ {\ rm {L}} (т, u).}$

Возможности изменения порядка ограничения по времени и супремума над множеством обсуждаются, например, в.

Отметим, что определенная выше ляпуновская размерность инвариантна относительно липшицевых диффеоморфизмов.

Точное измерение Ляпунова

Пусть матрица Якоби в одном из положений равновесия имеет простые вещественные собственные значения:, тогда ${\ displaystyle Df (u _ {\ text {eq}})}$${\ displaystyle \ {\ lambda _ {i} (u _ {\ text {eq}}) \} _ {i = 1} ^ {n}, \ lambda _ {i} (u _ {\ text {eq}}) \ geq \ lambda _ {i + 1} (u _ {\ text {eq}})}$

${\ displaystyle \ dim _ {\ rm {L}} u _ {\ text {eq}} = d _ {\ rm {KY}} (\ {\ lambda _ {i} (u _ {\ text {eq}}) \ } _ {i = 1} ^ {n}).}$

Если супремум локальных ляпуновских размерностей на глобальном аттракторе, включающем все состояния равновесия, достигается в точке равновесия, то это позволяет получить аналитическую формулу точной ляпуновской размерности глобального аттрактора (см. Соответствующую гипотезу Идена ).

Определение с помощью подхода статистической физики и эргодичности

После статистической физики подход и предполагая эргодичность размерность Ляпунова аттрактора оценивается по предельному значению локального измерения Ляпунову в виде типичной траектории, которая принадлежит к аттрактору. В этом случае и. С практической точки зрения строгое использование эргодической теоремы Оселедека, проверка того, что рассматриваемая траектория является типичной траекторией, и использование соответствующей формулы Каплана – Йорка является сложной задачей (см., Например, обсуждения в). Точные предельные значения конечного времени Ляпунов, если они существуют и являются одинаковыми для всех, называются абсолютными из них и используются в формуле Каплан-Йорк. Примеры строгого использования эргодической теории для вычисления показателей Ляпунова и размерности можно найти в. ${\ Displaystyle \ lim _ {т \ к + \ infty} \ dim _ {\ rm {L}} (т, и_ {0})}$${\ displaystyle \ {\ lim \ limits _ {t \ to + \ infty} {\ rm {LE}} _ {i} (t, u_ {0}) \} _ {i} ^ {n} = \ { {\ rm {LE}} _ {i} (u_ {0}) \} _ {1} ^ {n}}$${\ displaystyle \ dim _ {\ rm {L}} u_ {0} = d _ {\ rm {KY}} (\ {{\ rm {LE}} _ {i} (u_ {0}) \} _ { i = 1} ^ {n}) = j (u_ {0}) + {\ frac {{\ rm {LE}} _ {1} (u_ {0}) + \ cdots + {\ rm {LE}} _ {j (u_ {0})} (u_ {0})} {| {\ rm {LE}} _ {j (u_ {0}) + 1} (u_ {0}) |}}}$ ${\ Displaystyle и (т, и_ {0})}$ ${\ displaystyle u_ {0} \ in U}$${\ displaystyle \ {\ lim \ limits _ {t \ to + \ infty} {\ rm {LE}} _ {i} (t, u_ {0}) \} _ {i} ^ {n} = \ { {\ rm {LE}} _ {i} (u_ {0}) \} _ {1} ^ {n} \ Equiv \ {{\ rm {LE}} _ {i} \} _ {1} ^ { n}}$