Джон Пенн Мэйберри

Джон Пенн Мэйберри (18 ноября 1939 - 19 августа 2016) был американским философом-математиком и создателем отличительной Аристотелевская философия математики, которую он выразил в своей книге «Основы математики в теории множеств». После получения докторской степени в Иллинойсе под руководством Гайси Такеути он занял в 1966 году должность на математическом факультете Бристольского университета. Он оставался там до выхода на пенсию в 2004 г. в качестве читателя по математике.

С одной стороны, философия Мэйберри отвергает платоническую традицию, которая считает математику трансцендентальной наукой, связанной с открытием истин о нематериальных, но понятных, объективные сущности, как метафизически тщеславные. Эта позиция отличает его от того, что, вероятно, является точкой зрения «молчаливого большинства» среди практикующих математиков. Роджер Пенроуз красноречиво выражает типичную платоническую позицию.

«Натуральные числа существовали до того, как на земле появились люди или любые другие существа, и они останутся после того, как вся жизнь погибнет. Всегда было так, что каждое натуральное число представляет собой сумму четырех квадратов, и не нужно было ждать, пока Лагранж вызовет этот факт ».

С другой стороны, Мэйберри также яростно отвергает любое понимание математики, испорченное, как он думает, операционализмом. Он пишет:

«Я считаю операционализм в математике доктриной, согласно которой основы математики должны быть открыты в деятельности (реальной или идеализированной) математиков, когда они считают, вычисляют, записывают доказательства, придумывают символы, рисуют диаграммы и т. д. …… Рассмотрению деятельности и способностей человека, фактических или идеализированных, нет места в основах математики, и мы должны приложить все усилия, чтобы исключить их из элементов, принципов и методов, на которых мы намерены основывать нашу математику ».

Самая архетипичная и наиболее широко распространенная из таких операционалистских доктрин состоит в том, что натуральные числа могут быть построены, начиная с 1, добавляя 1, чтобы получить 2, снова прибавив 1, чтобы получить 3 и продолжая бесконечно. Это выражается обозначением N = 1, 2, 3 ……. где точки обозначают неопределенное повторение «прибавления 1». Принимая эти точки многоточия, человек соглашается с разборчивостью неопределенной итерации. Мэйберри не считает, что определение этого типа достаточно ясно и в достаточной степени отделено от наивных и, возможно, ошибочных интуитивных представлений о природе времени, чтобы гарантировать его включение в математику без дальнейшего обоснования. Он пишет:

«Когда натуральная система счисления берется за первичные данные, что-то просто« данное », естественно видеть принципы доказательства математической индукцией и определения рекурсией по этой системе как« данные ».. ….. Натуральные числа, таким образом, рассматриваются как то, что мы получаем в процессе отсчета: 1,2….. где точки многоточия «…..» как-то говорят сами за себя - в конце концов, мы знаем как продолжать подсчет, как бы далеко мы ни зашли. Но в этих точках многоточия кроется вся загадка понятия натурального числа!.... Не следует также рассматривать операции подсчета или вычисления в качестве первичных данных: их следует анализировать с точки зрения более фундаментальных понятий. Таким образом, мы вынуждены отвергать операционализм, который разделяют все антиканторианские школы.

Для нас, современных, числа основываются на том, что мы можем с ними делать, а именно считать и вычислять: но греческие «числа» ( arithmoi) были самостоятельными объектами с простой понятной природой. Наши натуральные числа - это то, что мы можем (в принципе) построить (считая до них): греческие числа просто «там», так сказать........

Я убежден, что эта операционалистская концепция натурального числа является центральной ошибкой, лежащей в основе всех наших размышлений об основах математики. Это не ограничивается еретиками, но разделяется ортодоксальным канторианским большинством ».

Его позиция ставит его в противоречие не только с педагогической практикой последних нескольких веков, но и с традициями, уходящими корнями в древность. В Определении 4 Книги V своего Элементов Евклид определяет две величины одного типа, A и B, как «имеющие отношение друг к другу» следующим образом:

«Считается, что величины имеют отношение друг к другу, которые при умножении способны превосходить друг друга »

Другими словами, если повторное добавление одного из них, скажем, А, к самому себе приводит к величине, которая превышает другой, скажем, В, т.е. некоторое натуральное число n, nA>B. И наоборот, числа A и B не имеют отношения друг к другу, если бесконечно повторяющееся добавление одного из них к самому себе никогда не дает величины, превышающей другое. В книге V Евклид развивает общую теорию соотношений и в Книге VI демонстрирует силу концепции отношения как для значительного упрощения выводов, приведенных в Книгах I - IV, так и для расширения области применения некоторых теорем Книг I – IV. Особенно примечательными примерами являются Книга III Предложение 35, где сразу же доступно гораздо более простое доказательство с использованием подобных треугольников, и Книга VI, предложение 31, где h е расширяет теорему Пифагора от квадратов до общих подобных фигур.

В книге VII Евклид вводит в качестве еще одного типа величины наряду с его геометрическими величинами линии, угла и фигуры понятие «арифмос». Это следует понимать как «множество единиц», где единица - это «то, что мы называем чем-то одним». Таким образом, с некоторыми оговорками относительно статуса синглетонов и пустого множества, греческое понятие «арифмос» по сути является современным понятием «множество». Мэйберри отмечает, что его поразила сила откровения, что значение общего понятия 5 Евклида - «целое больше, чем часть» - в применении к арифмои состоит в том, что арифмос не может быть конгруэнтным, где это слово понимается следующим образом Хит как «может быть размещен с точным соответствием» любой собственной части, или, другими словами, что набор конечен в современном смысле, когда не существует соответствия 1-1 между набором и надлежащим подмножеством самого себя. Тот факт, что греческая арифметика, и в частности книги Евклида VII-IX, на самом деле является изучением конечных множеств, был затемнен повсеместным переводом «арифмоса» как «число» и преобразованием понятия числа из его первоначального «арифмоса». «Означает отношение», которое произошло в 17 веке. Преобразование смысла было ясно выражено Ньютоном в его лекциях.

«Под числом я имею в виду не столько множество единиц, сколько абстрактное Отношение любой Величины к другой Величине того же вида, которое мы принимаем за Единство»

Убеждения Мэйберри относительно истинной исторической последовательности событий в Развитие ключевых математических концепций занимает центральное место в его философской ориентации. К ним его привело чтение книги Якоба Клейна «Греческая математическая мысль и происхождение алгебры». и мемуары Ричарда Дедекинда "Was sind und was sollen die Zahlen".

С середины 17-го по 19-й век натуральные числа и понятие неограниченного повторения, на котором они rely приобрел основополагающий статус в математике как с прагматической, так и с философской точек зрения. С философской точки зрения Кант классифицировал арифметические предложения как синтетическое априорное знание и, параллельно с аналогичным анализом геометрических теорем, который он проследил до нашей интуиции пространства, проследил их неотразимую природу до нашей интуиции времени. Общая позиция Канта в отношении арифметики получила одобрение величайших математиков-практиков XIX века. Даже Гаусс, хотя и не согласен с позицией Канта о статусе геометрии, поддержал его позицию по арифметике.

«Я все больше прихожу к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим пониманием для человеческого понимания. Возможно, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам доступны в настоящее время. До тех пор нельзя ставить геометрию в один ряд с арифметикой, которая стоит априори, а скорее в один ряд, скажем, с механикой ».

Почти столетие спустя Пуанкаре пишет:

«В этой области арифметики мы можем думать, что очень далеки от анализа бесконечно малых, но идея математической бесконечности уже играет преобладающую роль, и без нее не было бы науки вообще, потому что не было бы ничего общего. …… Таким образом, мы не можем избежать вывода о том, что правило рассуждений путем повторения несводимо к принципу противоречия. … Это правило, недоступное аналитическому доказательству и эксперименту, является точным типом априорной синтетической интуиции ».

Из значимых фигур XIX века, похоже, только Дедекинд выступил против кантианского консенсуса. В «Was sind und was sollen die Zahlen» он хладнокровно пишет:

«Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа полностью независимым от понятий или интуиции. пространства и времени ».

Дедекинд, которым Мэйберри очень восхищался, показал, что натуральные числа могут быть установлены без какой-либо зависимости от кантовской интуиции времени или опоры на бесконечно повторяющиеся операции. Однако он сделал это на основе явного принятия канторовской аксиомы бесконечности, которая, как указывает Мэйберри, лучше всего понимается как простое противоречие с общим понятием 5 Евклида в применении к арифмоусам. Однако работа Дедекинда не привела к мнению, что натуральные числа и итерационные процессы имеют особый фундаментальный статус, чтобы потерять авторитет среди большинства математиков. Движение интуиционистов, разделяя с Мэйберри отказ от платонистского понимания смысла математики, прибегло к операционалистскому пониманию предмета, что привело к принятию бесконечно длительных итеративных процессов в самое сердце их мышления.. Формалистское движение, следуя программе Гильберта по сохранению математических плодов канторовской аксиомы бесконечности посредством доказательств финитной непротиворечивости, аналогичным образом в самих определениях формальных систем и установлении их свойств, присвоило особый статус неопределенной итерации и связанным с ней определениям посредством рекурсии. и доказательства по индукции.

Позиция Мэйберри заключается в том, что все это прямо из Книги V Евклида представляет собой отклонение от истинного духа математики, примером которого является Евклид Книги I-IV. Главная цель его книги - объяснить его позицию и показать, что она не разрушает существенное содержание или современную математическую практику, но в его рекомендации более четкого аристотелевского понимания того, что такое математика, и стандарта строгости В соответствии с его более требовательным пониманием значения, он следует традиции, начатой ​​Кантором по восстановлению смысла математики после трех столетий формализма. Однако в глазах Мэйберри современная платоническая доктрина, которая утверждает, что, скажем, надлежащие классы объективно существуют, является таким же отходом от здравого смысла и вероятной правдивости, как, скажем, формалистически вдохновленная доктрина начала 19-го века, «Принцип существования эквивалентность постоянных форм ”.

Позитивные философские взгляды Мэйберри проистекают из его решительной приверженности небольшому количеству философских доктрин, частично вдохновленных Аристотелем, а частично размышлениями о почти двух с половиной тысячелетиях математического опыта, особенно в 19 веке..

Он является аристотелевским реалистом и полностью согласен с мнением Аристотеля о том, что математика, и в частности изучение арифметики, является естественной наукой, занимающей свое место рядом с другими научными предметами, представляющими особый интерес, такими как энтомология или орнитология, и объективно рассматривающими существующие сего-мирские вещи. Аристотель пишет:

«Универсальные утверждения в математике не касаются отдельных сущностей, которые находятся за пределами величин и арифм. Они касаются именно этих вещей, но не как таких вещей, которые имеют величину или делимы ».

(Аристотель имеет в виду, что в геометрии каждый рассматривает конкретные размеры конкретных объектов как случайные и не имеющие отношения к геометрии, а в арифметике, также игнорируется тот факт, что конкретные единицы - люди, камешки и т. д. - на самом деле могут быть делимыми.)

и в другом месте:

«Каждая наука имеет дело со своей собственной областью, так что наука из здоровых - это то, что изучает что-то как здоровое, а наука о человеке - это то, что изучает что-то как человек. То же самое и с геометрией. Математические науки не собираются рассматривать воспринимаемые сущности в качестве своей области только потому, что их предмет случайное свойство быть воспринимаемыми (хотя, конечно, они не изучаются как воспринимаемые). Но, с другой стороны, они также не возьмут в качестве своей области какие-то другие сущности, отделенные от воспринимаемых ».

Наука, которая Мэйберри озабочен тем, что Ар ифметика, понимаемая как в очищенной версии того смысла, который Евклид дает слову в книгах VII - IX, а также, как он утверждает, в том смысле, который дал этому слову Кантор. Первой из основных позиций Мэйберри является согласие с Аристотелем в том, что арифметик изучает вещи и определенные множества вещей как единицы и арифмы, по существу, аналогично изучению энтомологом вещей и определенных множеств вещей как насекомых и колоний насекомых. Он принимает лапидарное определение «единицы» Евклида, возражая только против перевода Хита «εκαστον των οντων» как «каждая из вещей, которые существуют» как философски перегруженные. Что касается определения «арифмоса», Мэйберри решительно префикс слова «множество» »В определении Евклида:« Арифмос - это множество, состоящее из единиц »- словом« определенный ». Под этим он подразумевает, что арифмоиды имеют определенные объективно существующие границы или пределы - не в том смысле, что арифмоиды ограничены по размеру или поддаются любой операционной процедуре, такой как отсчет, или включают в себя именно те вещи, для которых выполняется какое-либо лингвистически сформулированное условие. но только в том смысле, что для любой индивидуальной вещи верно то, что она находится либо в арифмосе, либо не в нем. В частности, соответствие Общему понятию 5 (целое больше, чем часть) не подразумевается в самом понятии «арифмос», а просто суждение о том, что все арифмои обладают этим свойством. Для множественности, определяемой соответствием некоторому условию или соответствием некоторому нарицательным существительным - например, «Arithmoi с более чем тремя единицами» или «лошади» - Мэйберри использует аристотелевское слово «вид». Вид существует просто потому, что мы можем его представить: это не объективная вещь в мире, а мысль в наших головах, тогда как вещи, которые попадают в вид, могут совпадать, а могут и не совпадать с арифмосом. Подобные замечания применимы и к другим понятиям, таким как «собственность», например бытие и порядковый номер или "глобальная функция", например операторы Power Set и Union. Мэйберри пишет:

«Существенная разница между наборами и видами состоит в том, что наборы существуют, а виды - нет. Под этим я подразумеваю, что виды - это не объекты: это фикции или виртуальные объекты ».

« Но важно помнить, что в конечном итоге - и все разговоры о глобальных функциях различных видов, несмотря на обратное, - существуют не являются такими вещами, как глобальные функции: и когда мы говорим о таких функциях, мы, в конечном счете, говорим о наших собственных условных обозначениях для обозначения множеств ».

Вторая из основных философских доктрин Мэйберри состоит в том, что вещи и арифмы вещей объективно существуют и являются частью ткани внешней реальности. Онтологические характеристики арифмоса в точности соответствуют его составляющим единицам. Однако задача математика не состоит в том, чтобы исследовать или размышлять о том, достаточно ли четко индивидуализированы объекты, относящиеся к определенному виду, такие как облака в небе, оттенки красного, человеческие эмоциональные состояния, люди 22-го века, чтобы составить единицы возможных arithmoi или границы множественности вещей - например, следует ли считать кентавров и русалок относящимися к виду «человеческий род»? точно ли определяется, когда заканчиваются оттенки красного и начинаются оттенки фиолетового? - достаточно четко очерчены, чтобы составлять арифм. Работа арифметика может начинаться с простого предположения, что существуют объективные четко индивидуализированные вещи, которые он может принять за единицы, и определенные множества таких вещей, которые он может принять за арифмои. Мэйберри пишет:

«В концепции математических чисел Аристотеля у нас есть лучший из когда-либо изобретенных средств для объяснения фактов теоретической арифметики. В арифметических рассуждениях математик рассматривает вещи наиболее абстрактным и общим мыслимым образом, а именно, только постольку, поскольку они подчиняются законам тождества и различия. То, что есть вещи, подчиняющиеся таким законам, он просто считает само собой разумеющимся ».

и, немного позже:

« Однако число в первоначальном смысле - арифмои - множественные числа, состоящие из единиц - эти вещи не похожи на « натуральные числа », простые вымыслы разума, а наоборот, являются подлинными обитателями мира, независимыми от людей и их умственной деятельности; это то, что мы обязаны признать, если хотим осмыслить весь наш математический опыт ».

Третья из основных философских доктрин Мейберри состоит в том, что определения, свойства и аргументы построены с использованием количественных выражений« Ибо все »и« Существует »могут быть понятны как утверждения объективного факта, только если объем каждого квантора ограничен определенным арифмом. Так, например, если мы имеем дело с девушками в качестве единиц и знаем, как сравнивать двух девушек по признаку «умная», мы можем разумно сказать «Джоан - самая умная девочка в своем классе», но не «Джоан - самая умная». Самая умная девочка », так как последнее утверждение имеет целью дать количественную оценку всему, что относится к виду« девочка ». Эта позиция дает ему дополнительную причину отвергать основополагающие претензии двух классических аксиоматических систем первого порядка - арифметики Пеано и теории множеств Цермело-Френкеля. Он не только возражает против операционализма, присущего самой конструкции таких формальных систем, но также отвергает понятность свободного использования неограниченных кванторов при формировании предикатов в схемах аксиом индукции и замещения.

Четвертая основная доктрина Мэйберри связана с его третьей. Он утверждает, что при работе с единицами и арифмоидами, то есть с вещами, мы можем беспроблемно использовать классическую логику, тогда как при работе с мыслями, такими как виды, глобальные функции, общие свойства конструкций и т. Д., Соответствующая логика является интуиционистской. В частности, если мы знаем, что предположение «Все члены арифмоса a обладают свойством P» подразумевает абсурд, то мы можем законно сделать вывод, что «существует некоторый член а, x, для которого P (x) не выполняется». Однако, если мы сделаем утверждение, используя квантификатор над видом, например «существует что-то, обладающее P» или «P имеет отношение ко всем вещам», мы больше не сообщаем об объективном факте, который должен быть либо так, либо нет. Подтверждающий такое утверждение следует понимать как утверждающий, что он имеет в виду его обоснование, т. Е. В случае универсального квантора, основания полагать, что данная любая мыслимая вещь P имеет его, или в случае экзистенциального квантора, он знает пример вида, для которого выполняется P. Поскольку утверждения, включающие неограниченные кванторы, должны пониматься субъективно, ясно, что тогда принцип исключенного среднего просто недействителен. Например, если значение «Для всех вещей P имеет место»: «Я имею в виду общую конструкцию, чтобы произвести для каждой вещи аргумент, который P имеет для этой вещи», а значение «существует вещь, для которой P не имеет значения». hold "означает" я имею в виду конструкцию, позволяющую произвести вещь, для которой P не может удерживаться ". тогда я не могу обязательно утверждать, что дизъюнкция истинна, поскольку я могу, например, вообще не иметь в виду никаких конструкций. По этой теме Мэйберри пишет:

«Какие логические принципы должны управлять глобальной количественной оценкой? Это трудный вопрос, и я не уверен, что смогу ответить на него полностью. Но я предлагаю принять частичный ответ, а именно принцип Брауэра:

(i) Обычная (то есть то, что Брауэр называет «классической») логикой является логика конечных областей. В частности, математические законы количественной оценки применимы только тогда, когда области количественной оценки конечны. [«конечный» здесь используется в смысле «определенного» или «ограниченного» Мейберри - определяющей характеристики арифм.]

(ii) Предложениям, которые требуют глобального количественного определения для их выражения, нельзя присвоить общепринятые значения истинности, истинные или ложные. Их можно только классифицировать как обоснованные или необоснованные.

.....

Тогда в соответствии с принципом Брауэра утверждение «Fo r все объекты x в S (x) »не является обычным (« классическим ») утверждением с определенным значением истинности. Это не истинно или ложно, но оправдано или неоправданно.

Сказать, что такое предложение оправдано, значит сказать, что у нас есть основания утверждать, что любое предложение формы (t) истинно, где t - любое выражение который обозначает или может обозначать объект. С другой стороны, сказать, что утверждение необоснованно, значит просто сказать, что у нас нет таких оснований; и это не то же самое, что сказать, что у нас есть основания отрицать это ».

Пятая основная доктрина Мэйберри состоит в том, что, в широком смысле, по аналогии с постулатами Евклида по геометрии, постулаты для арифметики могут быть сформулированы, что делает товар недостатком в Элементах, которые вопреки ожиданиям, создаваемым структурой Общие понятия и постулаты геометрии, не содержат таких постулатов. Мэйберри выполняет эту программу в главе 4 своей книги. Его постулаты следуют в некоторой степени Евклиду по форме, но по содержанию аксиоматические идеи о множествах, происходящие из 19 и начала 20 веков. В целом аналогичные постулатам Евклида о построении круга с учетом точки и линии или о построении уникальной прямой линии с учетом двух точек являются постулаты, относящиеся к Союзу, Набору мощности и Декартовому произведению, которые постулируют глобальные конструкции, производящие новые арифмои из одного или более данных. Однако несколько иные его постулаты о замещении и понимании. Они не излагают отдельные конструкции, которые просто необходимо понять, а скорее содержат утверждения обо всех возможных конструкциях и всех мыслимых свойствах. В некотором смысле их можно понять как подтверждение существования общих мостов от мыслей к вещам. Однако и то и другое можно, подобно постулатам, касающимся конкретных конструкций, понимать как «принципы конечности», подтверждающие существование новых арифм. Таким образом, «исправленный» Евклид Мэйберри будет поддерживать родственные дисциплины геометрии и арифметики с общими понятиями, применимые к обоим, дополненные двумя наборами постулатов, по одному для каждой дисциплины. Действительно, поскольку геометрия действительно полагается на понятие арифмоса - она ​​делает это даже при определении треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т. Д., Но более требовательно в некоторых предложениях, например, в Книге VI, Предложение 31, в которых содержатся утверждения об общих многоугольниках. - «исправленный» Евклид поставил изучение Арифмоза перед изучением геометрии.

Последним элементом основной философии Мэйберри является его вера в то, что в неспособности Евклида признать силу Общего понятия 5 - в применении к арифмоизму была упущена великая историческая возможность, и, когда он позволил себе определение путем итераций, Была сделана огромная ошибка, последствия которой разошлись в истории математики. Обладая должным пониманием Общего понятия 5 и избегая повторения, «исправленный» Евклид изучал бы те части математики, которые имеют отношение к конечному - в дополнение к фактическому скромному содержанию Книг 7-9, теории натуральных чисел, конечной комбинаторика, конечные группы и теория поля и в более общем плане изучение конечных структур. Мэйберри называет эту тему евклидовой арифметикой и посвящает значительную часть своей книги развитию ее основ. Он, в частности, озабочен установлением того, в какой степени доказательство по индукции и определение с помощью рекурсии вообще оправдано. Он показывает, что, в отличие от евклидовой теории арифметики, являющейся незначительной переработкой современной теории натуральных чисел, на самом деле никакое жизнеспособное понятие натуральных чисел не может быть установлено в евклидовой арифметике. Дополняя свой взгляд на евклидову арифметику, Мэйберри придерживается точки зрения, что, подобно тому, как альтернативные геометрии были созданы путем отрицания аксиомы параллелей Евклида, альтернативная арифметика создается путем отрицания общего понятия 5 и подтверждения существования по крайней мере одного арифмета, для которого все может поставить в соответствие 1-1 с деталью. Эта теория, которую Мэйберри предпочел бы назвать канторовской арифметикой, является, конечно, современной теорией множеств, которая показала себя способной (возможно) охватить всю математику и, в частности, геометрию, которая в евклидовом устроении приверженности Общему понятию 5, является отдельной сестринской дисциплиной арифметики.

Философия Мэйберри стремится навязать новый стандарт, проистекающий из его онтологических и семантических убеждений, ясности и строгости в математике, который должен быть достигнут в первую очередь посредством программы систематического отделения евклидовой математики от канторианской. В евклидовом случае этот стандарт потребовал бы от специалистов, занимающихся геометрией и арифметикой, воздерживаться от всех обращений к итерационным процессам. Вследствие этого наиболее непосредственная задача в геометрии состоит в том, чтобы «исправить» Евклида, установив теоремы из Книги VI на основе методов и техник из Книг I-IV, избегая использования концепции отношения, введенной в Книге V. Для Арифметики соответствующие Задача состоит в том, чтобы установить результаты Книг VII-IX, не прибегая к той итеративной процедуре, которую Евклид допускает при определении умножения. (Книга VII, определение 15.) Для канторианской арифметики главной задачей было бы показать, что большая часть бесконечной математики - дисциплин, так или иначе вытекающих из исчисления - не требует неограниченных кванторов и, следовательно, что экземпляры Схема замены аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств, включающая такие кванторы, не только запрещена общей философией Мэйберри, но и в любом случае технически избыточна.