Геометрическая механика

Геометрическая механика - это раздел математики, применяющий определенные геометрические методы во многих областях механики, от механика частиц и твердых тел от до механика жидкости от до теория управления.

Геометрическая механика применяется в основном к системам, для которых конфигурационное пространство является Группа Ли, или группа диффеоморфизмов, или, в более общем смысле, когда некоторый аспект конфигурационного пространства имеет эту групповую структуру. Например, конфигурационное пространство твердого тела, такого как спутник, представляет собой группу евклидовых движений (перемещений и вращений в пространстве), а конфигурационное пространство для жидкого кристалла - это группа диффеоморфизмов, связанных с внутренним состоянием (калибровочная симметрия или параметр порядка).

• 1 Карта импульса и редукция
• 2 Вариационные принципы
• 3 Геометрические интеграторы
• 4 История
• 5 Приложения
• 6 Ссылки

Одна из основных идей геометрической механики - редукция, которая восходит к устранению Якоби узла в задаче трех тел, но в ее современной форме принадлежит К. Мейеру (1973) и независимо Дж. Э. Марсден и А. Weinstein (1974), оба вдохновлены работами Смейла (1970). Симметрия гамильтоновой или лагранжевой системы порождает сохраняющиеся величины согласно теореме Нётер, и эти сохраняющиеся величины являются компонентами отображения импульса J. Если P - фазовое пространство, а G - группа симметрии, отображение импульса - это отображение $J:\; P\; \to \; g\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}:\; P\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; ^\; \{*\}\; \}$, а редуцированные пространства являются факторами множеств уровня J по подгруппе G, сохраняющей рассматриваемый набор уровней: для $\mu \; \in \; g\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; му\; \backslash \; ин\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; ^\; \{*\}\}$определяется $P\; \mu \; =\; J\; -\; 1\; (\mu )\; /\; G\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; J\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mu)\; /\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$, и это уменьшенное пространство является симплектическим многообразием, если $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$является регулярным значением J.

• Принцип Гамильтона
• Принцип Лагранжа Даламбера
• Мопертюи
• Эйлер – Пуанкаре
• Вакономик

Одним из важных достижений геометрического подхода к механике является включение геометрии в численные методы. В частности, симплектические и вариационные интеграторы оказались особенно точными для длительного интегрирования гамильтоновых и лагранжевых систем.

Термин «геометрическая механика» иногда относится к механике 17 века.

Как современный предмет, геометрическая механика берет свое начало в четырех работах, написанных в 1960-х годах.. Это были Владимир Арнольд (1966), Стивен Смейл (1970) и Жан-Мари Сурио (1970), а также первое издание Авраама. и Фонд механики Марсдена (1967). Фундаментальная работа Арнольда показала, что уравнения Эйлера для свободного твердого тела являются уравнениями для геодезического потока на группе вращения SO (3), и перенесла это геометрическое понимание в динамику идеальных жидкостей, где группа вращения заменена группой объема сохраняющие диффеоморфизмы. В статье Смейла по топологии и механике исследуются сохраняющиеся величины, возникающие из теоремы Нётер, когда группа симметрий Ли действует на механическую систему, и определяется то, что теперь называется отображением импульса (которое Смейл называет угловым моментом), и он поднимает вопросы о топологии поверхностей уровня энергии-импульса и влияние на динамику. В своей книге Сурьяу также рассматривает сохраняющиеся величины, возникающие в результате действия группы симметрий, но он больше концентрируется на задействованных геометрических структурах (например, свойствах эквивариантности этого импульса для широкого класса симметрий) и меньше на вопросах динамики.

Эти идеи, и особенно идеи Смейла, были центральными во втором издании Основ механики (Abraham and Marsden, 1978).

• Компьютерная графика
• Теория управления - см. Bloch (2003)
• Жидкие кристаллы - см. Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)
• Магнитогидродинамика
• Молекулярные колебания
• Неголономные ограничения - см. Блох (2003)
• Нелинейная стабильность
• Плазма - см. Holm, Marsden, Weinstein (1985)
• Квантовая механика
• Квантовая химия - см. Foskett, Holm, Tronci (2019)
• Superfluids
• Планирование траектории для исследования космоса
• Подводные аппараты
• Вариационные интеграторы; см. Марсден и Вест (2001)

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики (2-е изд.), Аддисон-Уэсли
• Арнольд, Владимир (1966), "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de Dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits " (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 16 : 319–361, doi : 10.5802 / aif.233
• Арнольд, Владимир (1978), Математические методы классической механики, Springer-Verlag
• Блох, Энтони (2003). Неголономная механика и управление. Springer-Verlag.
• Foskett, Michael S.; Холм, Дэррил Д.; Трончи, Чезаре (2019). «Геометрия неадиабатической квантовой гидродинамики». Acta Applicandae Mathematicae. 162 (1): 63–103. arXiv : 1807.01031. doi : 10.1007 / s10440-019-00257-1.
• Гей-Балмаз, Франсуа; Ратиу, Тюдор ; Трончи, Чезаре (2013). «Эквивалентные теории динамики жидких кристаллов». Arch. Рацион. Мех. Анальный. 210 (3): 773–811. arXiv : 1102.2918. Bibcode : 2013ArRMA.210..773G. doi : 10.1007 / s00205-013-0673-1.
• Holm, Darryl D.; Марсден, Джерролд Э. ; Ратиу, Тюдор С. ; Вайнштейн, Алан (1985). «Нелинейная устойчивость равновесий жидкости и плазмы». Отчеты по физике. 123 (1–2): 1–116. Bibcode : 1985PhR... 123.... 1H. doi : 10.1016 / 0370-1573 (85) 90028-6.
• Либерманн, Полетт ; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика. Математика и ее приложения. 35 . Дордрехт: Д. Рейдел. DOI : 10.1007 / 978-94-009-3807-6. ISBN 90-277-2438-5.
• Марсден, Джерролд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с помощью симметрии», отчеты по математической физике, 5 (1): 121–130, Bibcode : 1974RpMP.... 5..121M, doi : 10.1016 / 0034-4877 (74) 90021-4
• Марсден, Джерролд ; Ратиу, Тюдор С. (1999). Введение в механику и симметрию. Тексты по прикладной математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98643-X.
• Мейер, Кеннет (1973), Симметрии и интегралы в механике, Нью-Йорк: Academic Press, стр. 259–272
• Ортега, Хуан -Пабло; Ратиу, Тюдор С. (2004). Отображения импульса и гамильтонова редукция. Успехи в математике. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Смейл, Стивен (1970), «Топология и механика I», Inventiones Mathematicae, 10 (4) : 305–331, Bibcode : 1970InMat..10..305S, doi : 10.1007 / bf01418778
• Сурио, Жан-Мари (1970), Structure des Systemes Dynamiques, Dunod