Фолиант Декарта

Лист Декарта (зеленый) с асимптотой (синий), когда a = 1.

В геометрии лист Декарта является алгебраической кривой, определенной по уравнению

$x\; 3\; +\; y\; 3\; -\; 3\; axy\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; -3axy\; =\; 0\; \backslash ,\}$.

Он образует цикл в первом квадранте с двойной точкой в начале координат и асимптотой

$x\; +\; y\; +\; a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; a\; =\; 0\; \backslash ,\}$.

Он симметричен относительно $y\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\}$.

Название происходит от латинского слова folium, что означает «лист ».

Кривая была изображена вместе с портретом Декарта на албанской марке в 1966 году.

• 1 История
• 2 Построение кривой
• 3 Отношение к трисектрисе Маклаурин
• 4 Примечания
• 5 Источники
• 6 Внешние ссылки

Кривая была впервые предложена Декартом в 1638 году. инцидент в развитии исчисления. Декарт поставил перед Ферма задачу найти касательную к кривой в произвольной точке, поскольку Ферма недавно открыл метод поиска касательных. Ферма легко решил проблему, чего не мог сделать Декарт. С момента изобретения исчисления наклон касательной можно легко найти с помощью неявного дифференцирования.

Поскольку уравнение имеет степень 3 как по x, так и по y, и не учитывает, по одной из переменных решить сложно.

Однако уравнение в полярных координатах имеет следующий вид:

$r\; =\; 3\; a\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; sin\; 3\; \; \theta \; +\; cos\; 3\; \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3a\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\}\}.\}$

который можно легко построить. Используя эту формулу, мы получаем, что площадь внутренней части цикла равна $3\; a\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; 3a\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}$.

Другой способ - написать y = px и решить для x и y в терминах p. Это дает рациональные параметрические уравнения :

$x\; =\; 3\; ap\; 1\; +\; p\; 3,\; y\; =\; 3\; ap\; 2\; 1\; +\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\{3ap\}\; \backslash \; over\; \{1+\; p\; ^\; \{3\}\}\},\; \backslash ,\; y\; =\; \{\{3ap\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{1\; +\; p\; ^\; \{3\}\}\}\}$.

Мы видим, что параметр связан с положением на кривой следующим образом:

• p < -1 corresponds to x>0, y <0: the right, lower, "wing".
• -1 < p < 0 corresponds to x<0, y>0: левое, верхнее «крыло».
• p>0 соответствует x>0, y>0: цикл кривая.

Другой способ построения графика функции может быть получен из симметрии относительно y = x. Симметрию можно увидеть прямо из его уравнения (x и y можно поменять местами). Например, применяя поворот на 45 ° по часовой стрелке, можно построить график функции симметрично относительно повернутой оси x.

Эта операция эквивалентна замене:

$x\; =\; u\; +\; v\; 2,\; y\; =\; u\; -\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\{u\; +\; v\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \},\; \backslash ,\; y\; =\; \{\{uv\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}$

и дает

$v\; =\; \pm \; u\; 3\; a\; 2\; -\; 2\; u\; 6\; u\; +\; 3\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; pm\; u\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3a\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 2u\}\; \{6u\; +\; 3a\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}$

Построение графика в декартовой системе (u, v) дает лист, повернутый на 45 ° и, следовательно, симметричный относительно оси u.

Поскольку лист симметричен относительно $y\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\}$, он проходит через точку $(3\; a\; /\; 2,\; 3\; a\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (3a\; /\; 2,3a\; /\; 2)\}$.

Лист Декарта связан с трисектрисой Маклорена посредством аффинное преобразование. Чтобы убедиться в этом, начните с уравнения

$x\; 3\; +\; y\; 3\; =\; 3\; axy\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; =\; 3axy\; \backslash ,\}$,

и измените переменные, чтобы найти уравнение в система координат повернута на 45 градусов. Это равносильно установке $x\; =\; X\; +\; Y\; 2,\; y\; =\; X\; -\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\{X\; +\; Y\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\},\; y\; =\; \{\{XY\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}$. В плоскости $X,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y\}$уравнение:

$2\; X\; (X\; 2\; +\; 3\; Y\; 2)\; =\; 3\; 2\; a\; (X\; 2\; -\; Y\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 2X\; (X\; ^\; \{2\}\; +\; 3Y\; ^\; \{2\})\; =\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; a\; (X\; ^\; \{2\}\; -Y\; ^\; \{2\})\}$.

Если растянуть кривую в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$направление с коэффициентом $3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}$это становится

$2\; X\; (X\; 2\; +\; Y\; 2)\; =\; a\; 2\; (3\; X\; 2\; -\; Y\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2X\; (X\; ^\; \{2\}\; +\; Y\; ^\; \{2\})\; =\; a\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; (3X\; ^\; \{2\}\; -Y\; ^\; \{2\})\}$

который является уравнением трисектрисы Маклорена.

• J. Деннис Лоуренс: Каталог специальных плоских кривых, 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5, стр. 106–108
• Джордж Ф. Симмонс : Камни исчисления: краткие жизни и памятная математика, новинка Йорк 1992, Макгроу-Хилл, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; новое издание 2007 г., The Mathematical Association of America (MAA )

На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Folium of Descartes.

• Ричард Л. Аморосо: Fe, Fi, Fo, Folium: Беседа о математическом любопытстве Декарта
• Вайсштейн, Эрик У. «Folium of Descartes». MathWorld.
• «Folium of Descartes» в MacTutor's Famous Curves Index
• «Декартово фолиум» в MathCurve