Уравнение в частных производных первого порядка

В математике уравнение в частных производных первого порядка имеет вид уравнение в частных производных, которое включает только первые производные неизвестной функции от n переменных. Уравнение принимает вид

$F\; (x\; 1,\dots ,\; xn,\; u,\; ux\; 1,\dots \; uxn)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\},\; u,\; u\_\; \{\; x\_\; \{1\}\},\; \backslash \; ldots\; u\_\; \{x\_\; \{n\}\})\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Такие уравнения возникают при построении характеристических поверхностей для гиперболических уравнений в частных производных, в вариационное исчисление, в некоторых геометрических задачах, а также в простых моделях газовой динамики, для решения которых используется метод характеристик. Если можно найти семейство решений одного уравнения с частными производными первого порядка, то дополнительные решения могут быть получены путем формирования огибающих решений в этом семействе. В соответствующей процедуре общие решения могут быть получены путем интегрирования семейств обыкновенных дифференциальных уравнений.

• 1 Общее решение и полный интеграл
• 2 Характеристические поверхности для волнового уравнения
• 3 Двумерная теория
• 4 Определения линейной зависимости для дифференциальных систем
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки
• 7 Библиография

Общее решение уравнения в частных производных первого порядка - это решение, которое содержит произвольную функцию. Но решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с таким количеством произвольных констант, сколько независимых переменных, называется полным интегралом. Следующее семейство решений с n-параметрами

$u\; =\; \varphi \; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn,\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; an)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{\; 2\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\},\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\})\}$

является полным интегралом, если $det\; |\; \varphi \; x\; i\; a\; j\; |\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{det\}\}\; |\; \backslash \; phi\; \_\; \{x\_\; \{i\}\; a\_\; \{j\}\}\; |\; \backslash \; neq\; 0\}$.

Характеристические поверхности для волновое уравнение - это поверхности уровня для решений уравнения

$ut\; 2\; =\; c\; 2\; (ux\; 2\; +\; uy\; 2\; +\; uz\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (u\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; u\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; u\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\; \backslash ,\}$

Если мы установим $ut\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; =\; 1\}$: в этом случае u удовлетворяет

$ux\; 2\; +\; uy\; 2\; +\; uz\; 2\; =\; 1\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; u\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; u\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}.\; \backslash ,\}$

В векторных обозначениях пусть

$x\; \to \; =\; (x,\; y,\; z)\; и\; p\; \to \; =\; (ux,\; uy,\; uz).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hbox\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; =\; (u\_\; \{x\},\; u\_\; \{y\},\; u\_\; \{\; z\}).\; \backslash ,\}$

Семейство решений с плоскостями в качестве поверхностей уровня задается формулами

$u\; (x\; \to )\; =\; p\; \to \; \cdot \; (x\; \to \; -\; x\; 0\; \to ),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; =\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}),\; \backslash ,\}$

где

$|\; p\; \to \; |\; =\; 1\; c,\; а\; x\; 0\; \to \; произвольно.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; \backslash ,\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\; \backslash \; text\; \{произвольно\}\}.\; \backslash ,\}$

Если x и x 0 зафиксированы, оболочка этих решений получается путем нахождения точки на сфере радиуса 1 / c, где значение u стационарно. Это верно, если $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\}$параллельно $x\; \to \; -\; x\; 0\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\; \backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\}$. Следовательно, конверт имеет уравнение

$u\; (x\; \to )\; =\; \pm \; 1\; c\; |\; x\; \to \; -\; x\; 0\; \to \; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; |.\}$

Эти решения соответствуют сферам, радиус которых увеличивается или уменьшается со скоростью c. Это световые конусы в пространстве-времени.

Задача начального значения для этого уравнения состоит в задании поверхности уровня S, где u = 0 для t = 0. Решение получается путем взятия оболочки всех сфер с центрами на S, радиусы которых растут со скоростью c. Этот конверт получается, требуя, чтобы

$1\; c\; |\; x\; \to \; -\; x\; 0\; \to \; |\; стационарен\; при\; x\; 0\; \to \; \in \; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; |\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hbox\; \{стационарен\; для\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; in\; S.\; \backslash ,\}$

Это условие будет выполнено, если $|\; x\; \to \; -\; x\; 0\; \to \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; |\}$нормально к S. Таким образом, огибающая соответствует движению со скоростью c вдоль каждой нормали к S. Это конструкция волновых фронтов Гюйгенса: каждая точка на S излучает сферическую волну в момент времени t = 0, а фронт волны в более поздний момент времени t является огибающей этих сферических волн. Нормали к S - это световые лучи.

Обозначения относительно просты для двух пространственных измерений, но основные идеи обобщаются на более высокие измерения. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид

$F\; (x,\; y,\; u,\; p,\; q)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; u,\; p,\; q)\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

где

$p\; =\; ux,\; q\; =\; uy.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; u\_\; \{x\},\; \backslash \; quad\; q\; =\; u\_\; \{y\}.\; \backslash ,\}$

A полный интеграл этого уравнения является решением φ (x, y, u), которое зависит от двух параметров a и б. (В n-мерном случае требуется n параметров.) Оболочка таких решений получается путем выбора произвольной функции w, установки b = w (a) и определения A (x, y, u), требуя, чтобы полная производная

$d\; \phi \; da\; =\; \phi \; a\; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; +\; w\; \prime \; (A)\; \phi \; b\; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{da\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{a\}\; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; +\; w\; \text{'}(A)\; \backslash \; varphi\; \_\; \{b\}\; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

В этом случае решение $uw\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{w\}\}$также задается как

$uw\; знак\; равно\; \varphi \; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{w\}\; =\; \backslash \; phi\; (x,\; y,\; u,\; A,\; w\; (A))\; \backslash ,\}$

каждый выбор функции w приводит к решению УЧП. Подобный процесс привел к построению светового конуса как характеристической поверхности для волнового уравнения.

Если полный интеграл недоступен, решения могут быть получены путем решения системы обычных уравнений. Чтобы получить эту систему, сначала заметьте, что УЧП определяет конус (аналогичный световому конусу) в каждой точке: если УЧП линейно по производным от u (оно квазилинейно), то конус вырождается в линию. В общем случае пары (p, q), удовлетворяющие уравнению, определяют семейство плоскостей в данной точке:

$u\; -\; u\; 0\; =\; p\; (x\; -\; x\; 0)\; +\; q\; (y\; -\; y\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; u-u\_\; \{0\}\; =\; p\; (x-x\_\; \{0\})\; +\; q\; (y-y\_\; \{0\}),\; \backslash ,\}$

где

$F\; (x\; 0,\; y\; 0,\; u\; 0,\; p,\; q)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\},\; u\_\; \{0\},\; p,\; q)\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Огибающая этих плоскостей - конус, или линия, если PDE квазилинейный. Условие для конверта:

$F\; pdp\; +\; F\; qdq\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p\}\; \backslash ,\; dp\; +\; F\_\; \{q\}\; \backslash ,\; dq\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

где F вычисляется как $(x\; 0,\; y\; 0,\; u\; 0,\; p,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\},\; u\_\; \{0\},\; p,\; q)\}$и dp и dq - это приращения p и q, которые удовлетворяют F = 0. Следовательно, образующей конуса является линия с направлением

$d\; x:\; d\; y:\; d\; u\; =\; F\; p:\; F\; q:\; (p\; F\; p\; +\; q\; F\; q).\; \{\backslash \; displaystyle\; dx:\; dy:\; du\; =\; F\_\; \{p\}:\; F\_\; \{q\}\; :(\; pF\_\; \{p\}\; +\; qF\_\; \{q\}).\; \backslash ,\}$

Это направление соответствует световым лучам для волнового уравнения. Чтобы интегрировать дифференциальные уравнения по этим направлениям, нам потребуются приращения для p и q вдоль луча. Это может быть получено путем дифференцирования PDE:

$F\; x\; +\; F\; up\; +\; F\; ppx\; +\; F\; qpy\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{x\}\; +\; F\_\; \{u\}\; p\; +\; F\_\; \{p\}\; p\_\; \{x\}\; +\; F\_\; \{q\}\; p\_\; \{y\}\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

$F\; y\; +\; F\; uq\; +\; F\; pqx\; +\; F\; qqy\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{y\}\; +\; F\_\; \{u\}\; q\; +\; F\_\; \{p\}\; q\_\; \{\; x\}\; +\; F\_\; \{q\}\; q\_\; \{y\}\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

Следовательно, направление луча в $(x,\; y,\; u,\; p,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; u,\; p,\; q)\}$пробел

$dx:\; dy:\; du:\; dp:\; dq\; =\; F\; p:\; F\; q:\; (p\; F\; p\; +\; q\; F\; q):\; (-\; F\; x\; -\; F\; up):\; (-\; F\; y\; -\; F\; uq).\; \{\backslash \; displaystyle\; dx:\; dy:\; du:\; dp:\; dq\; =\; F\_\; \{p\}:\; F\_\; \{q\}\; :(\; pF\_\; \{p\}\; +\; qF\_\; \{q\}):\; (-\; F\_\; \{x\}\; -F\_\; \{u\}\; p)\; :(\; -F\_\; \{y\}\; -F\_\; \{u\}\; q).\; \backslash ,\}$

Интегрирование этих уравнений приводит к лучевому коноиду в каждой точке $(x\; 0,\; y\; 0,\; u\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\},\; u\_\; \{0\})\}$. Общие решения PDE затем могут быть получены из огибающих таких коноидов.

Эту часть можно отнести к $\S \; 1.2.3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; S\; 1.2.3\}$книги Куранта.

Мы предполагаем, что эти $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$уравнения независимы, т.е. что ни одно из них не может быть выведено из другого посредством дифференцирования и исключения.

— Курант Р. и Гильберт Д. (1962), Методы математической физики: уравнения в частных производных, II, стр. 15-18

Дается эквивалентное описание. Даны два определения линейной зависимости для линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

$(\ast )\; \{\sum \; ijaij\; (1)\; \partial \; yj\; \partial \; xi\; +\; f\; 1\; =\; 0\; ⋮\; \sum \; ijaij\; (n)\; \partial \; yj\; \partial \; xi\; +\; fn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (*)\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{array\; \}\; \{*\; \{20\}\; \{c\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\}\; \{a\_\; \{ij\}\; ^\; \{(1)\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; \{y\_\; \{j\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\}\; +\; \{f\_\; \{1\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\}\; \{a\_\; \{ij\}\; ^\; \{(n)\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; \{y\_\; \{j\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\}\; +\; \{f\_\; \{n\}\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\}$

Где $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$- независимые переменные; $y\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{j\}\}$- зависимые неизвестные; $a\; i\; j\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ij\}\; ^\; \{(k)\}\}$- линейные коэффициенты; и $f\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\}$- неоднородные элементы. Пусть $Z\; К\; \equiv \; \sum \; ijaij\; (k)\; \partial \; yj\; \partial \; xi\; +\; fk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{Z\_\; \{k\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\}\; \{a\_\; \{ij\}\; ^\; \{(k)\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{y\_\; \{j\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\}\; +\; \{f\_\; \{k\}\}\}$.

Определение I. Для числового поля $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \}$, когда есть коэффициенты ($ck\; \in \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{k\}\; \backslash \; in\; P\}$), а не все нулевые, такие, что $\sum \; kck\; Z\; к\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\{c\_\; \{k\}\}\; \{Z\_\; \{k\}\}\; =\; 0\}\}$; уравнения (*) линейно зависимы.

Определение II (дифференциальная линейная зависимость ): дано числовое поле $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, когда есть коэффициенты ($ck,\; dkl\; \in \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{c\_\; \{k\}\},\; d\_\; \{kl\}\; \backslash \; in\; P\}$), не все нули, такие, что $\sum \; kck\; Z\; k\; +\; \sum \; kldkl\; \partial \; \partial \; xl\; Z\; k\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\{c\_\; \{k\}\}\; \{Z\_\; \{k\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{kl\}\; \{\{d\_\; \{kl\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\; x\_\; \{l\}\}\}\}\; \{Z\_\; \{k\}\}\; =\; 0\}\}$, уравнения (*) считаются дифференциальными линейно зависимыми. Если $dkl\; \equiv \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\_\; \{kl\}\}\; \backslash \; Equiv\; 0\}$, это определение вырождается в определение I.

Системы, уравнения Максвелла, уравнения Эйнштейна (с четырьмя гармоническими координатами) и уравнения Янга-Миллса (с калибровочными условиями) хорошо определены в определении II, тогда как в определении I.

.

• Метод характеристик с приложениями к законам о сохранении

• R. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, Том II, Wiley (Interscience), Нью-Йорк, 1962.
• L.C. Эванс, Уравнения в частных производных, Американское математическое общество, Провиденс, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев и А. Муссио, Справочник по уравнениям с частными производными первого порядка, Taylor Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• А. Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых, Chapman Hall / CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• Сарра, Скотт. Метод характеристик с приложениями к законам сохранения, Журнал онлайн-математики и ее приложений, 2003.