Ребро (расширенная поверхность)

редактировать

Некоторые ребристые элементы

В исследовании теплопередачи, ребра - это поверхности, которые отходят от объекта для увеличения скорости передачи тепла в окружающую среду или из нее за счет увеличения конвекции. Величина проводимости, конвекции или излучения объекта определяет количество тепла, которое он передает. Увеличение градиента температуры между объектом и окружающей средой, увеличение конвекционного коэффициента теплопередачи или увеличение площади поверхности объекта увеличивает теплоотдачу. Иногда невозможно или экономично изменить первые два варианта. Таким образом, добавление ребра к объекту увеличивает площадь поверхности и иногда может быть экономичным решением проблем теплопередачи.

Цельные оребренные радиаторы изготавливаются путем экструзии, литья, зуботочения или фрезерования.

Содержание

1 Общий случай
2 Равномерная площадь поперечного сечения
3 Решения
4 Рабочие характеристики
5 Перевернутые ребра (полости)
6 Использование
7 См. Также
8 Ссылки

Общий случай

Чтобы создать управляемое уравнение теплопередачи ребра, необходимо сделать много предположений:

Устойчивое состояние
Постоянные свойства материала (независимо от температуры)
Отсутствие внутреннего тепловыделения
Одномерная теплопроводность
Равномерная площадь поперечного сечения
Равномерная конвекция по всей площади поверхности

С этими допущениями сохранение энергии может быть используется для создания баланса энергии для дифференциального сечения ребра:

Q Q (x + dx) = Q ˙ (x) + d Q ˙ усл. {\ displaystyle {\ dot {Q}} (x + dx) = {\ dot {Q}} (x) + d {\ dot {Q}} _ {conv}.}

{\ dot {Q}} (x + dx) = {\ dot {Q}} (x) + d {\ dot {Q}} _ {{conv}}.

Закон Фурье гласит, что

Q ˙ (Икс) = - К A с (d T dx), {\ Displaystyle {\ точка {Q}} (х) = - kA_ {c} \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ справа),}

{\ dot {Q}} (x) = - kA_ {c} \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ right),

где $A c {\ displaystyle A_ {c}}$ $A_ {c }$ - площадь поперечного сечения дифференциального элемента. Кроме того, конвективный тепловой поток можно определить с помощью определения коэффициента теплопередачи h,

q ″ = h (T - T ∞), {\ displaystyle q '' = h \ left (T-T _ {\ infty } \ right),}

q''=h\left(T-T_{\infty }\right),

где $T ∞ {\ displaystyle T _ {\ infty}}$ $T _ {\ infty}$ - температура окружающей среды. Затем дифференциальный конвективный тепловой поток может быть определен по периметру поперечного сечения ребра P,

d Q ˙ c o n v = P h (T - T ∞) d x. {\ displaystyle d {\ dot {Q}} _ {conv} = Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) dx.}

d {\ dot {Q}} _ {{conv}} = Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) dx.

Теперь уравнение сохранения энергии можно выразить через температуру,

- k A c (d T dx) | x + d x = - k A c (d T d x) | х + P h (T - T ∞) d х. {\ displaystyle -kA_ {c} \ left. \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {x + dx} = - kA_ {c} \ left. \ left ({ \ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {x} + Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) dx.}

-kA_ {c} \ left. \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {{x + dx}} = - kA_ {c} \ left. \ left ({ \ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {{x}} + Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) dx.

Преобразуя это уравнение и используя определение производная дает следующее дифференциальное уравнение для температуры:

kddx (A cd T dx) - P h (T - T ∞) = 0 {\ displaystyle k {\ frac {d} {dx}} \ left (A_ {c } {\ frac {dT} {dx}} \ right) -Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) = 0}

{\ displaystyle k {\ frac {d} {dx}} \ left (A_ {c} {\ frac {dT} {dx}} \ right) -Ph \ left (T-T_ { \ infty} \ right) = 0}

;

производная слева может быть разложена до наиболее общего вида уравнение плавника,

k A cd 2 T dx 2 + kd A cdxd T dx - P h (T - T ∞) = 0. {\ displaystyle kA_ {c} {\ frac {d ^ {2} T} { dx ^ {2}}} + k {\ frac {dA_ {c}} {dx}} {\ frac {dT} {dx}} - Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) = 0. }

{\ displaystyle kA_ {c} {\ frac {d ^ {2} T} {dx ^ {2}}} + k {\ frac {dA_ {c}} {dx}} {\ frac {dT} {dx}} - Ph \ left (T-T _ {\ infty} \ right) = 0.}

Площадь поперечного сечения, периметр и температура могут быть функциями x.

Равномерная площадь поперечного сечения

Если ребро имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, площадь и периметр постоянны, и дифференциальное уравнение для температуры значительно упрощается до

d 2 T dx 2 знак равно h P k A c (T - T ∞). {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} T} {dx ^ {2}}} = {\ frac {hP} {kA_ {c}}} \ left (T-T _ {\ infty} \ right). }

{\ frac {d ^ {2} T} {dx ^ {2}}} = {\ frac {hP} {kA_ {c}}} \ left (T-T _ {\ infty} \ right).

где $m 2 = h P k A c {\ displaystyle m ^ {2} = {\ frac {hP} {kA_ {c}}}}$ $m ^ {2} = {\ frac {hP} {kA_ {c}}}$ и $θ (Икс) знак равно Т (Икс) - T ∞ {\ Displaystyle \ theta (x) = T (x) -T _ {\ infty}}$ $\ theta (x) = T (x) -T _ {\ infty}$ . Константы $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ и $C 2 {\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ теперь можно найти, применив правильную границу условия.

Решения

Основание ребра обычно устанавливается на постоянную эталонную температуру, $θ b (x = 0) = T b - T ∞ {\ displaystyle \ theta _ { b} (x = 0) = T_ {b} -T _ {\ infty}}$ ${\ di splaystyle \ theta _ {b} (x = 0) = T_ {b} -T _ {\ infty}}$ . Однако существует четыре обычно возможных состояния наконечника ребра ( $x = L {\ displaystyle x = L}$ $x=L$ ): наконечник может подвергаться конвективной теплопередаче, изолирован, выдерживаться при постоянной температуре, или так далеко от основания, чтобы достичь температуры окружающей среды.

Для первого случая вторым граничным условием является наличие свободной конвекции на вершине. Следовательно,

h A c (T (L) - T ∞) = - k A c (d T d x) | Икс = L, {\ Displaystyle hA_ {c} \ left (T (L) -T _ {\ infty} \ right) = - kA_ {c} \ left. \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {x = L},}

hA_ {c} \ left (T (L) -T _ {\ infty} \ right) = - kA_ {c} \ left. \ left ({\ frac {dT} {dx}} \ right) \ right \ vert _ {{x = L}},

что упрощается до

h θ (L) = - kd θ dx | х = L. {\ displaystyle h \ theta (L) = - k \ left. {\ frac {d \ theta} {dx}} \ right \ vert _ {x = L}.}

h \ theta (L) = - k \ left. {\ Frac {d \ theta} {dx}} \ right \ vert _ {{x = L}}.

Теперь два граничных условия можно комбинировать для получения

h (C 1 em L + C 2 e - m L) = km (C 2 e - m L - C 1 em L). {\ displaystyle h \ left (C_ {1} e ^ {mL} + C_ {2} e ^ {- mL} \ right) = km \ left (C_ {2} e ^ {- mL} -C_ {1} e ^ {mL} \ right).}

h \ left (C_ {1} e ^ {{mL}} + C_ {2} e ^ {{- mL}} \ right) = km \ left (C_ {2} e ^ {{- mL}} - C_ {1} e ^ {{mL}} \ right).

Это уравнение может быть решено для констант $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ и $C 2 {\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ , чтобы найти распределение температуры, указанное в таблице ниже.

Аналогичный подход можно использовать для поиска постоянных интегрирования для остальных случаев. Во втором случае предполагается, что наконечник изолирован или, другими словами, имеет нулевой тепловой поток. Следовательно,

d θ d x | x = L = 0. {\ displaystyle \ left. {\ frac {d \ theta} {dx}} \ right \ vert _ {x = L} = 0.}

\ left. {\ Frac {d \ theta} {dx}} \ right \ vert _ {{x = L}} = 0.

В третьем случае температура на наконечник остается постоянным. Следовательно, граничное условие:

θ (L) = θ L {\ displaystyle \ theta (L) = \ theta _ {L}}

\ theta (L) = \ theta _ {L}

Для четвертого и последнего случая предполагается, что плавник имеет бесконечное длинный. Следовательно, граничное условие:

lim L → ∞ θ L = 0 {\ displaystyle \ lim _ {L \ rightarrow \ infty} \ theta _ {L} = 0 \,}

\ lim _ {{L \ rightarrow \ infty}} \ theta _ {L} = 0 \,

Наконец, мы можем использовать распределение температуры и закон Фурье в основании ребра для определения общей скорости теплопередачи,

Q ˙ total = h P k A c (C 2 - C 1). {\ displaystyle {\ dot {Q}} _ {\ text {total}} = {\ sqrt {hPkA_ {c}}} (C_ {2} -C_ {1}).}

{\ dot Q} _ {{\ text {total}}} = {\ sqrt {hPkA_ {c}}} (C_ {2} -C_ {1}).

Результаты решения кратко изложены в таблице ниже.

Распределение температуры и скорость теплопередачи для ребер с равномерной площадью поперечного сечения
Случай	Состояние наконечника (x = L)	Распределение температуры	Теплопередача ребер скорость
A	Конвекционная теплопередача	$θ θ b = cosh ⁡ m (L - x) + (hmk) sinh ⁡ m (L - x) cosh ⁡ m L + (hmk) sinh ⁡ m L {\ displaystyle { \ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {\ ch {m (Lx)} + \ left ({\ frac {h} {mk}} \ right) \ sinh {m ( Lx)}} {\ ch {mL} + \ left ({\ frac {h} {mk}} \ right) \ sinh {mL}}}}$ ${\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {\ ch {m (Lx)} + \ left ({\ frac {h} {mk}} \ right) \ sinh {m (Lx)}} {\ cosh {mL} + \ left ({\ frac {h} {mk}} \ right) \ sinh {mL}}}$	$h P k A c θ b sinh ⁡ m L + hmk cosh ⁡ m L cosh ⁡ m L + hmk sinh ⁡ m L {\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} {\ frac {\ sinh {mL} + {\ frac {h} {mk}} \ ch {mL}} {\ cosh {mL} + {\ frac {h} {mk}} \ sinh {mL}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} {\ frac {\ sh {mL} + {\ frac {h} {mk}} \ ch {mL}} {\ ch {mL} + {\ frac {h} {mk}} \ sinh {mL}}}}$
B	Адиабатический	$θ θ b = ch ⁡ m ( L - x) cosh ⁡ м L {\ displaystyle {\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {\ cosh {m (Lx)}} {\ cosh {mL}}}}$ ${\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {\ cosh {m ( Lx)}} {\ ch {mL}}}$	$h P K A c θ b tanh ⁡ m L {\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} \ tanh {mL}}$ ${\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} \ tanh {mL}$
C	Постоянная температура	$θ θ b = θ L θ b sinh ⁡ mx + sh ⁡ m (L - х) зп ⁡ м L {\ Displaystyle {\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {{\ frac {\ theta _ {L}} {\ theta _ {b}}} \ sinh {mx} + \ sinh {m (Lx)}} {\ sinh {mL}}}}$ ${\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = {\ frac {{\ frac {\ theta _ {L}} {\ theta _ {b}}} \ sinh {mx } + \ sinh {m (Lx)}} {\ sinh {mL}}}$	$h P k A c θ b cosh ⁡ m L - θ L θ b sinh ⁡ m L {\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} {\ frac {\ cosh {mL} - {\ frac {\ theta _ {L}} {\ theta _ {b}}}} {\ sinh {mL}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b} {\ frac {\ cosh {mL} - {\ frac {\ theta _ {L}} {\ theta _ {b}}}} {\ sinh {mL}}}}$
D	Бесконечная длина ребра	$θ θ b = e - mx {\ displaystyle {\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = e ^ {- mx}}$ ${\ frac {\ theta} {\ theta _ {b}}} = e ^ {{- mx}}$	$h P k A c θ b {\ displaystyle {\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b}}$ ${\ sqrt {hPkA_ {c}}} \ theta _ {b}$

Производительность

Производительность плавников можно описать тремя разными способами. Первое - это эффективность плавников. Это отношение скорости теплопередачи ребер ( $Q ˙ f {\ displaystyle {\ dot {Q}} _ {f}}$ ${\ dot {Q}} _ {f}$ ) к скорости теплопередачи объекта, если бы он нет плавника. Формула для этого:

ϵ f = Q ˙ fh A c, b θ b, {\ displaystyle \ epsilon _ {f} = {\ frac {{\ dot {Q}} _ {f}} {hA_ {c, b} \ theta _ {b}}},}

\ epsilon _ {f} = {\ frac {{\ dot {Q}} _ {f}} {hA_ {{c, b}} \ theta _ {b}}},

где $A c, b {\ displaystyle A_ {c, b}}$ $A _ {{c, b}}$ - площадь поперечного сечения плавника в база. Рабочие характеристики плавников также можно охарактеризовать их эффективностью. Это отношение скорости теплопередачи ребра к скорости теплопередачи ребра, если бы все ребро было при базовой температуре,

η f = Q ˙ f h A f θ b. {\ displaystyle \ eta _ {f} = {\ frac {{\ dot {Q}} _ {f}} {hA_ {f} \ theta _ {b}}}.}

\ eta _ {f} = {\ frac {{\ dot {Q}} _ {f}} {hA_ {f} \ theta _ {b}}}.

$A f {\ displaystyle A_ {f}}$ $A_f$ в этом уравнении равно площади поверхности ребра. Эффективность ребра всегда будет меньше единицы, так как предположение, что температура по всему ребру находится на уровне базовой температуры, увеличит скорость теплопередачи.

Третий способ описания характеристик плавников - это общая эффективность поверхности,

η o = Q ˙ th A t θ b, {\ displaystyle \ eta _ {o} = {\ frac {{\ точка {Q}} _ {t}} {hA_ {t} \ theta _ {b}}},}

\ eta _ {o} = {\ frac {{\ dot {Q}} _ {t}} {hA_ {t} \ theta _ {b}}},

где $A t {\ displaystyle A_ {t}}$ $A_ {t}$ - это общая площадь, а $Q ˙ t {\ displaystyle {\ dot {Q}} _ {t}}$ ${\ dot {Q}} _ {t}$ - это сумма теплопередачи от незащищенной площади основания и всех ребер. Это эффективность для множества плавников.

Алюминиевый радиатор с низкоэффективными охлаждающими ребрами
Алюминиевый радиатор с высокоэффективными охлаждающими ребрами.

Перевернутые ребра (полости)

Открытые полости - это области, образованные между соседними ребрами и являющиеся основными промоторами пузырькового кипения или конденсации. Эти полости обычно используются для отвода тепла от различных тепловыделяющих тел. С 2004 года до настоящего времени многие исследователи были заинтересованы в поиске оптимальной конструкции полостей.

Использование

Ребра чаще всего используются в теплообменных устройствах, таких как радиаторы в автомобилях, компьютерах CPU радиаторы и теплообменники в электростанциях. Они также используются в более новых технологиях, таких как водородные топливные элементы. Природа также воспользовалась феноменом плавников. Уши зайцев и лисиц фенек действуют как плавники, выделяя тепло из крови, протекающей через них.

См. Также

Плавник

Ссылки

Инкропера, Фрэнк ; ДеВитт, Дэвид П.; Бергман, Теодор Л.; Лавин, Адриенн С. (2007). Основы тепломассообмена (6-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. Стр. 2 –168. ISBN 978-0-471-45728-2.