Фильтрация (теория вероятностей)

редактировать

модель информации доступны в заданной точке случайного процесса

В теории случайных процессов под дисциплиной теории вероятностей, фильтрации являются полностью упорядоченные наборы подмножеств, которые используются для моделирования имеющейся информации являются стабильными в данной точке и поэтому играют важную роль в формализации случайных процессов.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Типы фильтрации
- 3.1 Сплошная правосторонняя фильтрация
- 3.2 Полная фильтрация
- 3.3 Расширенная фильтрация
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

Пусть $(Ω, A, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ будет вероятностное пространство и пусть $I {\ displaystyle I}$ $Я$ будет индексным набором с общим порядком $≤ {\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ (часто $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} }$ , $R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ , или подмножество $R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ).

Для каждого $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ пусть $F i {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i}}$ быть суб σ-алгеброй из $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . Тогда вызывается

F: = (F i) i ∈ I {\ displaystyle \ mathbb {F}: = ({\ mathcal {F}} _ {i}) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle \ mathbb {F} : = ({\ mathcal {F}} _ {i}) _ {я \ in I}}

фильтрация, если $F k ⊆ F ℓ ⊆ A {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} \ substeq {\ mathcal {F}} _ {\ ell} \ substeq {\ mathcal {A} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} \ substeq {\ mathcal {F}} _ {\ ell} \ substeq {\ mathcal {A}}}$ для всех $k ≤ ℓ {\ displaystyle k \ leq \ ell}$ ${\ displaystyle k \ leq \ ell}$ . Таким образом, фильтрации - это неубывающие семейства σ-алгебр. Если $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb F}$ - фильтрация, то $(Ω, A, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}) }, \ mathbb {F}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {F }, P)}$ называется фильтрованным вероятностным пространством .

Пример

Пусть $(X n) n ∈ N {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ быть случайным процессом в вероятностном пространстве $(Ω, A, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ . Тогда

F n: = σ (Икс К ∣ k ≤ n) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}: = \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}: = \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}

является σ-алгеброй, а $F = (F n) n ∈ N {\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N }}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {п \ in \ mathbb {N}}}$ - фильтрация. Здесь $σ (X k ∣ k ≤ n) {\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}$ ${\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}$ обозначает σ-алгебру, порожденную случайными величинами $Икс 1, Икс 2,…, Икс n {\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ .

$F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb F}$ действительно является фильтрацией, поскольку по определению все $F n {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal { F}} _ {n}}$ являются σ-алгебрами, а

σ (X k k ≤ n) ⊆ σ (X k ∣ k ≤ n + 1). {\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n) \ substeq \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n + 1).}

{\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n) \ substeq \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n + 1).}

Типы фильтрации

Right -непрерывная фильтрация

Если $F = (F i) i ∈ I {\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {i}) _ {i \ in I }}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {i}) _ {i \ in I}}$ - фильтрация, тогда соответствующая непрерывная справа фильтрация определяется как

F +: = (F i +) i ∈ I, {\ displaystyle \ mathbb { F} ^ {+}: = ({\ mathcal {F}} _ {i} ^ {+}) _ {i \ in I},}

{\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {+}: = ({\ mathcal {F}} _ {i} ^ {+ }) _ {я \ in I},}

F i +: = ⋂ i < z F z. {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} ^ {+}: = \ bigcap _ {i <z} {\ mathcal {F}} _ {z}.}

Сама фильтрация $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb F}$ называется непрерывной справа, если $F + = F {\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {+} = \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle \ mat hbb {F} ^ {+} = \ mathbb {F}}$ .

Полная фильтрация

Пусть

NP: = {A ⊂ Ω ∣ A ⊂ B для некоторого B с P (B) = 0} {\ displaystyle {\ mathcal {N }} _ {P}: = \ {A \ subset \ Omega \ mid A \ subset B {\ text {для некоторых}} B {\ text {with}} P (B) = 0 \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {P}: = \ { A \ subset \ Omega \ mid A \ subset B {\ text {для некоторых}} B {\ text {with}} P (B) = 0 \}}

быть набор всех наборов, содержащихся в $P {\ displaystyle P}$ $P$ -нулевом наборе.

Фильтрация $F = (F i) i ∈ I {\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ ma thcal {F}} _ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {i}) _ {i \ in I}}$ называется полной фильтрацией, если каждые $F i {\ displaystyle {\ mathcal { F}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i}}$ содержит $NP {\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {P}}$ . Это эквивалентно тому, что $(Ω, F i, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {i}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {i}, P)}$ является полной мерой пробел для любого $i ∈ I. {\ displaystyle i \ in I.}$ ${\ displaystyle i \ in I.}$

Расширенная фильтрация

Фильтрация называется расширенной фильтрацией, если она является полной и непрерывной. Для каждой фильтрации $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb F}$ существует наименьшая расширенная фильтрация $F ~ {\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {F}}}}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathbb {F}}}}$ из $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb F}$ .

Если фильтрация является расширенной фильтрацией, считается, что она удовлетворяет обычным гипотезам или обычным условиям .

См. Также

Ссылки

^Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 191. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 350-351. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 462. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.