Войти
В логике, расширенности или Экстенсиональное равенство относится к принципам, согласно которым объекты считаются равными, если они имеют одинаковые внешние свойства. Это контрастирует с концепцией интенсиональности, которая касается того, одинаковы ли внутренние определения объектов.
Рассмотрим две функции f и g, отображающие из и в натуральные числа, определяемые следующим образом:
Эти функции равны по расширению; при одинаковом вводе обе функции всегда производят одно и то же значение. Но определения функций не равны, и в этом интенсиональном смысле функции не совпадают.
Точно так же в естественном языке есть много предикатов (отношений), которые интенсионально различны, но идентичны экстенсионально. Например, предположим, что в городе есть человек по имени Джо, который также является самым старым человеком в городе. Затем два предиката аргумента «имеет имя одного человека», «является самым старым человеком в», интенсионально различны, но теперь экстенсивно равны для «Джо» в этом «городе».
Обсуждавшееся выше экстенсиональное определение равенства функций обычно используется в математике. Иногда к функции добавляется дополнительная информация, такая как явный кодовый домен , и в этом случае две функции должны не только согласовывать все значения, но также должны иметь один и тот же кодомен, чтобы быть равными.
Подобное экстенсиональное определение обычно используется для отношений: два отношения считаются равными, если они имеют одинаковые расширения.
В теории множеств аксиома экстенсиональности утверждает что два набора равны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковые элементы. В математике, формализованной в теории множеств, принято отождествлять отношения - и, что наиболее важно, функции - с их расширением, как указано выше, так что невозможно, чтобы два отношения или функции с одним и тем же расширением были отличился.
Другие математические объекты также построены таким образом, что интуитивное понятие «равенства» согласуется с экстенсиональным равенством на уровне множества; таким образом, равные упорядоченные пары имеют равные элементы, а элементы набора, которые связаны отношением эквивалентности, принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.
Теоретико-типологический основы математики обычно не являются экстенсиональными в этом смысле, и сетоиды обычно используются для поддержания различия между интенсиональным равенством и более общим отношением эквивалентности (которое обычно имеет плохую конструктивность или разрешимость свойств).
